Hauptachsentransformation

Neue Frage »

claritia Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptachsentransformation
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich übe zur Zeit die Hauptachsentransformation.
Meine Aufgabe lautet:
16 x^2 + 24xy + 9y^2 + 60x - 80y = 0

Ich komme nicht auf den richtigen Eigenvektor.

Meine Ideen:
Matix A=
( 16 12)
( 12 9),

b=
( 60)
(-80)

und c=0

Eigenwerte: 25 und 0
Meine Eigenvektoren:
zu EW: 25 :
(4)
(3)
zu EW: 0 :
(-3)
( 4)
In der Lösung sollte der Eigenvektor zu 0:
( 3) heißen.
(-4)
Insgesamt kommt eine Parabel (25x^2 +100y = 0) heraus (aber nur mit dem richtigen Eigenvektor)

Wie schaffe ich es, den richtigen Eigenvektor ohne Lösung zu erkennen? Denn meine beiden Eigenvektoren sind auch orthogonal.
Dieses Problem habe ich bei mehreren ähnlichen Aufgaben.
Ich bitte um Hilfe smile

Liebe Grüße Claritia
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptachsentransformation
Wenn V(-3|4) ein Eigenvektor ist, dann sind Vielfache davon auch Eigenvektoren, so auch -V=(3|-4).
Ebenso gibt es nicht nur eine Darstellung der Lösung:

,etc

Der EV wurde so gewählt, dass er zur bevorzugten Lösungssdarstellung passt.
Jeder andere führt natürlich auch zum korrekten Ergebnis.
Ob du den "richtigen" EV genommen hast, weißt du also erst hinterher.
claritia Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptachsentransformation
Vielen Dank für deine Antwort! smile

Ich habe die Aufgabe nochmal (mit meinem Vektor) nachgerechnet.

Leider kommt bei mir immer nur: 25 x^2-100y = 0 raus.

Liebe Grüße Claritia
claritia Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptachsentransformation
Hallo,
also bei anderen Aufgaben (ich habe einige nachgerechnet) stimmt die Aussage, dass die die Wahl des Eigenvektors egal ist, Hauptsache orthogonal.
Aber bei der von mir geposteten Aufgabe geht es nur mit dem "richtigen" Eigenvektor. unglücklich

Die Aufgabe hab ich mir nicht ausgedacht,
sie steht in: Wille, Repetitorium der Lin. Algebra Teil I, Binomi Verlag, S. 167, 2.9.3 b)

Liebe Grüße
Claritia
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptachsentransformation
Die Matrix aus Eigenvektoren stellt eine Drehmatrix dar und deshalb muss die Determinante 1 (normierte Form) bzw. >0 in nicht normierter Form sein.
D.h. die beiden EVen müssen so aufeinander stehen wie X- und Y-Achse. Wenn der eine "nach oben" zeigt, muss der andere nach rechts und nicht nach links zeigen.
Bei Bedarf also Vorzeichen wechseln.
claritia Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptachsentransformation
Vielen Dank! Die Feinheiten sind manchmal sehr kompliziert. Wink

Liebe Grüße Claritia
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich halte es überdies auch für wenig hilfreich, die Originalvariablen aus der Gleichung



nach der vorgenommenen Hauptachsentransformation wieder zu nennen! Eine Umbenennung ( oder o.ä.) dürfte weniger Verwirrung stiften.
claritia Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure tolle Hilfen! Freude

Ich hab es verstanden smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »