Extremwertaufgabe: kürzeste Paketschnur

Neue Frage »

Nigo Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe: kürzeste Paketschnur
Meine Frage:
Hallo

Könnte mir jemanden helfen? Komme nichtweiter:

Ein Quader mit dem Volumen 2592 hat die Seiten x,y,z wobei y doppelt so gross ist wie x. Eine möglichst kurze Schnurr soll umgebinden werden.

Meine Ideen:
x*y*z=2592 Gibt 2x^2 * z = 2592

2x + 2y + 4z=F gibt 6x + 4z = F


edit von sulo: Ich habe den Titel mal der Aufgabe angepasst.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es eine genauere Angabe wie die Schnurr um den Quader gebunden wird?

Wenn dies nicht die original Aufgabenstellung ist, könntest du diese dann freundlicherweise posten?

smile
Nigo Auf diesen Beitrag antworten »

Es heisst einfach dass die Schnurr möglichst kurz sein soll und es für den Knoten noch 20cm braucht.

z ist die höhe, y die Länge und y die Breite. 4z + 2x + 2y

Kann das Bild leider nicht anhängen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt ja 2 Möglichkeiten die fürs binden meiner Meinung nach in Frage kommen würden.

Ich denke mal das Bild was du nicht anhängen kannst sieht so aus wie ein Geschenk.

Demnach berührt die Schnurr aber nur 4Seiten und nicht 6.

Es wird 2 mal die Höhe und 2mal die Breite gebraucht.
Was ist nun die Länge y oder x? Da hast du dich bei deiner Angabe vertippt.

Meine Skizze sieht total dämlich aus ich weiß.
Nigo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Schnurr wird so gebunden wie in deiner Aufzeichnung und zusätzlich noch einmal auf die gleiche Weise im längsweg
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok.

Dann können wir ja nun zur Lösung gehen.




Wie lautet die Gleichung für die Länge der Schnurr?

Ich habe die Zeichnung mal ein wenig "ordentlicher" gemacht.
 
 
Nigo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte gesagt:

2x + 2y + 4z + 20 = F (Zielfunktion, schnurrlänge)

Gibt

2x + 4x + 4z + 20 = F
6x + 4z + 20= F
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde jetzt sagen das ist falsch. Augenzwinkern

Vorausgesetzt meine Skizze ist mit ihren Bezeichnungen und allem drum und dran korrekt, so haben wir

4 mal die Breite (x)

2 mal die Höhe (z)

2 mal die Länge (y)

(Kannst du ja mal nachzählen.)



Jetzt können wir unsere Bedingung



verarbeiten.

Danach müssen wir die Zielfunktion in Abhängigkeit einer Variablen angeben. Dazu stellen wir die Volumen Funktion um und setzen dann ein.
Im Anschluss leiten wir die Zielfunktion ab und setzen sie Null.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

OT: Schnurr(en) tut eine Katze :P.

Hier wird aber aller Wahrscheinlichkeit nach von einer Schnur gesprochen...




Und um noch was beizutragen...die Aufgabe im Originaltext (nix gegen dein Bild, Gmasterflash^^).

[attach]25500[/attach]

Wink
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh Meine Skizzen sind eh immer die besten.

Aber wenn es so aussieht wie bei dir, dann ist meine ja einwenig falsch.

So haben wir

4mal die Höhe

2mal die Länge

2mal die Breite

Edit:

Deine Zielfunktion sollte also richtig sein.
Nigo Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Originalaufgabe, Danke!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »



Jetzt die obere Gleichung nach x oder z umstellen und dann in die Zielfunktion einsetzen. Das Ergebnis wie gesagt ableiten und Null setzen.
Nigo Auf diesen Beitrag antworten »

Dann erhalte ich:

2x^2 * z = 2592. Gibt z=1296/x^2

Und eingesetzt:

6x+ 5184/x^2 + 20 - F= 0


Jetzt komme ich nicht mehr weiter...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
6x+ 5184/x^2 + 20 - F= 0


So ist das falsch.

Du musst die Ableitung gleich Null setzen und nicht die original Funktion.
Deine Umformung ist soweit korrekt, wen du nicht irgendwie das F versucht hättest rüber zu bringen.



Das musst du nun ableiten.
Und erst dann Null setzen.
Nigo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann es immer noch nicht lösen, gehe aber davon aus dass ich dafür noch zu wenige Kenntnisse habe ( ableitung).

Ich danke trotzdem herzlich für Eure Hilfe! Das ist ne tolle Sache was ihr hier tut! Danke
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Du weißt nicht was eine Ableitung ist?
Dann kannst du die Aufgabe tatsächlich nicht rechnerisch lösen.

Welche Klassenstufe gehst du den?

Die Ableitung von

ist



Wirklich noch nie gesehen?

Kann ich gar nicht glauben. Dazu ist die Aufgabe zu spezifisch für Extremwertaufgaben.
Nigo Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nicht. Ich muss nach 18 Jahren ohne Schule 3,5 Jahren Gymnasium in 3 Monaten nachholen und habe die Aufgabe aus einem Prüfungsbeispiel.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Autsch.

Dann solltest du dich zum Anfang vielleicht einfacheren Aufgaben widmen.

Kannst du zum Beispiel eine Kurvendiskussion durchführen, oder eine quadratische Gleichung lösen?

Weißt du wie man den Satz vom Nullprodukt verwendet, oder eine Substitution durchführt?

Eine Ableitung bilden ist eigentlich gar nicht schwer. Natürlich gibt es auch Funktionen (wie der e-Funktion) wo es komplizierter wird, aber bei deiner Aufgabe ist es noch sehr einfach.

Als Beispiel



Wie gesagt ist die Ableitung



gelesen f Strich von x

eine Ableitung kennzeichnet man immer mit diesen Strichen.
Die zweite Ableitung wäre demzufolge



gelesene: f zwei Strich von x

Die dritte würde man so bezeichnen



gelesen (du wirst es dir bereits denken): f drei Strich von x. Augenzwinkern

Eine Ableitung gibt die Steigung einer Funktion in einem Kurvenpunkt x an.

Die Formel um eine Ableitung zu bilden ist



Um wieder auf unser Beispiel zurück zu kommen.



hier ist n=2



eigentlich ja aber das lässt man der Einfachheit halber weg.

Die zweite Ableitung geht genau so. Wir leiten nun die erste Ableitung nochmal ab. Ein schöneres Wort ist übrigens differenzieren.

diesmal ist n=1 (klar, oder?)



und ist ja 1

Also



Die dritte Ableitung ist einfach



Naiv kann man sagen, dass man beim ableiten einfach den Exponenten vor die Variable multipliziert und danach den Exponenten um eins verringert. Wenn keine Variable vorhanden ist (wie bei der 2 in unserem Beispiel) fällt diese sog. Konstante in der nächsten Ableitung raus.


Ein anderes Beispiel wäre:



Die 20 fliegt raus.

Das ist jetzt alles sehr knapp und vorher sollte man sich dort diesen Limes-Prozess veranschaulichen.
Nigo Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre es demzufolge die zweite Ableitung des letzten Beispiels:

g''(x) = 12x^2 + 2 und
g''' (x) = 24x und
g'''' (x) = 24

Ist das richtig?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre richtig. Freude

Normalerweise reicht es die ersten 3 Ableitungen anzugeben.
Du siehst, dass ableiten an sich total simpel ist.

Am besten schaust du mal in das Thema Kurvendiskussion rein. Dort lernst du so gesehen die Grundlagen um eine Extremwertaufgabe zu lösen.


Wenn du die Funktion in dieser Aufgabe ableiten möchtest musst du dich noch einem Trick bedienen.



Wie du 6x und die 20 differenzierst ist dir denke ich mal klar. Schwerer ist es den Bruch zuverarbeiten.

Dazu kannst du zwei Methoden anwenden. Um Brüche abzuleiten gibt es eine spezielle Regel. Die sog. Quotientenregel. Es über diese zu differenzieren wäre möglich, keine Frage, aber das ist eigentlich hier ein wenig zu aufwendig. Stattdessen kann man sich einem kleinem Trick bedienen. Und zwar kann man



umschreiben zu


Wie lautet die Ableitung?
Nigo Auf diesen Beitrag antworten »

F' (x) = 6 + (-10368x^-3)

F'' (x) = 31104^-4

Kann das sein?
Nigo Auf diesen Beitrag antworten »

F'' (x) = 31104x^-4
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ebenfalls korrekt.

So jetzt müssen wir die erste Ableitung gleich Nullsetzen:




Dies musst du nun lösen.

Wieso wir das tuen ist dir nicht bewusst, oder?
Nigo Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht wirklich! Warum die erste Ableitung, damit die 6 noch bleibt glaube ich...


Die sechs auf die andere seite nehmen, dann *(-1), dann mal x^3, durch 6 und am Schluss die 3. Wurzel ziehen...

X= 12

Stimmt das?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt. Freude

Also wieso wir die erste Ableitung benutzen müssen kann ich dir glaubig nicht verständlich erklären.

Wenn du dir den Graphen einer Funktion vor Augen führst, dann haben diese ja (wenn es keine linearen Funktionen sind) Hoch- bzw. Tiefpunkte.

Einen Hoch- oder Tiefpunkt (Extrempunkte) berechnet man indem man die Ableitung gleich Null setzt (das was du gerade getan hast).
Weiter oben sagte ich ja, dass die Ableitung die Steigung einer Funktion angibt. Wenn wir also nun einen Funktionsgraphen haben, dann ist diese Steigung für einen minimalen Moment in diesem Punkt gleich Null. Wenn wir also eine Tangente anlegen würde, wäre diese parallel zur x-Achse.

Jetzt wollen wir in dieser Aufgabenstellung die kürzeste Strecke der Schnur finden.
Wir suchen also ein Minimum und damit einen Extrempunkt. Etwas klarer geworden?

Sowas lernst du im Thema Kurvendiskussion genauer. Ich empfehle dir dieses Thema vorzuschieben bevor du weiter an solche Extremwert-Aufgaben ran gehst.

x=12 ist unsere Lösung.

Diese müssen wir jetzt in der zweiten Ableitung durch Stumpfes einsetzen überprüfen, ob es auch tatsächlich ein Minimum ist.
Es ist ein Maximum wenn das Ergebnis kleiner als 0 ist.
Ist es größer Null so ist es ein Minimum. Sollte das Ergebnis gleich Null sein, so kann man keine nähere Aussage treffen. Dann handelt es sich meistens um einen sog. Sattelpunkt (eine spezielle Form des Wendepunktes)

Also:



Wir wissen jetzt, dass x=12 ist.

Wie du nun an die anderen Variablen y und z kommst weißt du, oder?

Diese ganzen Erklärungen die ich dir gebe bringen eigentlich so gut wie nichts, wenn du dich damit nicht näher auseinander setzt. Ich schreibe das bloß, damit du eine ungefähre Ahnung hast wieso du gerade die erste Ableitung benutzt und nicht die normale Gleichung. Das du das so beim lesen nicht nachvollziehen kannst ist klar. Es soll dir wie gesagt nur eine ungefähre Ahnung verschaffen was du da tust, damit du nicht mit leeren Händen da stehst.

Wie gesagt. Das Thema Kurvendiskussion ist extrem wichtig um dort näheren einblick zu bekommen. Es ist auch eines der ausschweifendesten Themen der Mathematik im Abitur. Da kommt dann noch Integralrechnung und Rekonstruktionsaufgaben.

Spätestens bei den Rekonstruktionsaufgaben musst du von den Begrifflichkeiten (Extrempunkt, Wendepunkt, Sattelpunkt, Berührpunkt, .....) genau bescheid wissen.

In dieser Funktionsskizze kannst du schön den Extrempunkt erkennen und wie dort die Steigung ganz unten an der tiefstenstelle Null wird.

Nigo Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast sehr viel geholfen! Habe es ungefähr verstanden. Mit der wenigen Zeit dass ich habe, war deine Hilfe gold wert. Vielen Dank!!!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.

Hast du noch Lösungen für y und z?

smile
Nigo Auf diesen Beitrag antworten »

Y=2x= 24
z= V/(x*y)= 2592/(12*24) = 9

Die Schnur ist also

108+ 20= 128 cm lang


1. Stimmt das?
2. Haben wir quasi eine Tangentensteigung berechnet zum gesuchten Punkt x=12?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

128 sollte Stimmen. Freude

Zu 2)

Das kann man so sagen. Wenn wir an den Punkt x=12 eine Tangente anlegen würden, dann hätte diese die Steigung Null. Sie wär also parallel zur x-Achse.

Wir müssen den Kurvenpunkt suchen, der die Eigenschaft hat, dass dessen Steigung Null ist.
Also berechnen wir so gesehen keine Steigung. Wir berechnen einen Punkt.

Bin mir gerade mit der Formulierung ein wenig unsicher.


Mal eine andere Frage:

In wie weit bist du mit den Lösungsmethoden für Gleichungen vertraut?
Kannst du mit den Begriffen

Satz vom Nullprodukt
Pq-Formel
Ausklammern
Substitution
Polynomdivison

etwas anfangen?

Ich finde es gerade komisch, dass du noch nie eine Ableitung gesehen hast, aber mit dem Begriff der Tangentensteigung vertraut bist.

Gleichungen der Form

y=mx+b

sind dir wahrscheinlich vertrauter?
Nigo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe heute kurz Differenzialrechnugen angeschaut, weshalb tangentsteigung. Mein Problem ist, dass ich zur Zeit alles überfliege, da mir die Zeit fehlt, weshalb nur die hälfte hängen bleibt.
Y=mx+b Gleichungen sindsicher viel einfacher.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest auf jeden Fall ein ordentliches Konzept beim lernen haben.

Es macht wenig Sinn sich mit Extremwertaufgaben zu befassen und nicht zu wissen wie eine Ableitung funktioniert. Augenzwinkern

Wie du Terme umformst scheinst du ja zu wissen. Das hat ja gut geklappt. Freude
Nigo Auf diesen Beitrag antworten »

Hast ja recht! Hatte am Anfang auch ein Konzept, aber die Zeit wurde zu knapp. Muss es auch lernen und komme nicht dazu es umfänglich zu verstehen, weshalb ich dann immer wieder durchgenommenes vergesse.

Du warst mir auf jeden Fall ne riesenhilfe!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.

Wink
Nigo Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmals vielen Dank und alles Gute!
Vielleicht auch bis bald!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »