Integral bestimmen (Partialbruchzerlegung??)

14.08.2012, 17:50

steviehawk

Integral bestimmen (Partialbruchzerlegung??)

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne das folgende unbestimmte Integral bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x^2+2x+3} \, dx \end{eqnarray*}$

ich dachte dabei erstmal an Partialbruchzerlegung mit komplexen Nullstellen, aber die liefert mir ja wieder das selbe.. Hab es dann mal in Wolfram - Alpha eingegeben, weil ich dachte ich mache nen Fehler bei der Partialbruchzerlegung, aber die machen es ganz anders..

Auch ein schöner weg dort, aber ich kenne leider das Integral von: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u^2+2} \end{eqnarray*}$ nicht auswendig

Wie würdet ihr das Integral bestimmen??

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe!!

Edit:

Ich merke mit jetzt eben, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x^2+\alpha } \, dx = \frac{1}{\sqrt{\alpha } } arctan(\frac{x}{\sqrt{\alpha } } ) \end{eqnarray*}$

dann kann man es schön mit der Substitution u = x+1 lösen, wenn man zuvor den Nenner umschreibt!!!

Gibt es einen anderen Weg... würde mich ja schon intetessieren smile

14.08.2012, 17:59

Che Netzer

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RE: Integral bestimmen (Partialbruchzerlegung??)
Hallo,

kennst du denn "die" Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \tfrac1{x^2+1} \end{eqnarray*}$ ?
Dieses Integral kannst du nämlich darauf zurückführen, wenn man noch einen Vorfaktor/die Kettenregel berücksichtigt.

mfg,
Ché Netzer

14.08.2012, 18:26

steviehawk

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RE: Integral bestimmen (Partialbruchzerlegung??)
ja das ist der arctan(x)

wie führst du das darauf zurück?

14.08.2012, 19:15

Che Netzer

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RE: Integral bestimmen (Partialbruchzerlegung??)
Naja, nicht direkt darauf, aber bei deinem $\begin{eqnarray*} \frac1{u^2+2} \end{eqnarray*}$ kann man so erweitern bzw. kürzen, dass im Nenner auch ein $\begin{eqnarray*} \dots+1 \end{eqnarray*}$ steht.

15.08.2012, 10:50

steviehawk

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RE: Integral bestimmen (Partialbruchzerlegung??)
mhh genau das verstehe ich nicht, wie man das umschreibt! Mit was erweiterst du denn den Bruch?

Mir würde einfallen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2(\frac{u^2}{2}+1)} \end{eqnarray*}$

das ist ja das gleich wie:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{u^2}{2} +1} \end{eqnarray*}$

aufgeleitet gibt das:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot arctan(\frac{x}{\sqrt{2}}) \end{eqnarray*}$

es muss noch durch die innere Ableitung geteilt (Kehrbruch multiplizieren) werden, also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot arctan(\frac{x}{\sqrt{2}}) \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

es passt fast, nur ist der Faktor 0,5 zu viel... wie fällt der weg??

Okay ich habe gerade gesehen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{\alpha}}{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \end{eqnarray*}$

dann passt es ja.. aber warum gilt das letzte??

15.08.2012, 11:02

Cheftheoretiker

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RE: Integral bestimmen (Partialbruchzerlegung??)
Entschuldige wenn ich mich einmische, aber man kann genau so gut folgendes tun:

$\begin{eqnarray*} \rm \int \! \frac{1}{x^2+2x+3} \, dx=\int\frac{1}{(x+1)^2+2}dx \end{eqnarray*}$

Und nun $\begin{eqnarray*} \rm x+1=\sqrt{2}\cdot tanu \end{eqnarray*}$ substituieren. Das ist genau die Form die Che Netzer angesprochen hat.

Schönen Gruß Wink

15.08.2012, 11:25

steviehawk

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RE: Integral bestimmen (Partialbruchzerlegung??)
Okay dass, das mit dem Wurzel - Alpha stimmt ist eigentlich klar, wenn man sich die Gleichung mal ansieht.. ist wohl ein schöner Kniff um die Sachen zu verschönern smile

15.08.2012, 13:26

Che Netzer

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RE: Integral bestimmen (Partialbruchzerlegung??)

Zitat:

Original von steviehawk
aufgeleitet gibt das:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot arctan(\frac{x}{\sqrt{2}}) \end{eqnarray*}$

Naja, nicht ganz, aber die Idee stimmt natürlich.
1. heißt es "integriert" und nicht "aufgeleitet" Augenzwinkern

und 2. ist das ja nur eine Art Ansatz und keine Stammfunktion.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{\alpha}}{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \end{eqnarray*}$

dann passt es ja.. aber warum gilt das letzte??

Für nichtnegatives $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ kannst du $\begin{eqnarray*} \alpha=\sqrt{\alpha^2} \end{eqnarray*}$ schreiben.

15.08.2012, 14:18

steviehawk

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RE: Integral bestimmen (Partialbruchzerlegung??)
Okay ich habe es jetzt gerafft und sorry für den faupax mit dem aufleiten Augenzwinkern

15.08.2012, 16:29

steviehawk

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RE: Integral bestimmen (Partialbruchzerlegung??)
Ich hab in einem Tutorium gelesen, dass Integrale der Form:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{f(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

wobei f(x) keine reellen Nullstellen hat immer durch Umformungen auf die Ableitung der arctan(x) gebracht werden können..

gut zu wissen Wink

15.08.2012, 17:55

Che Netzer

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RE: Integral bestimmen (Partialbruchzerlegung??)
Wie habt ihr das denn gemacht?

Mich irritiert da folgendes: Wenn man am Ende einen Arcustangens erhält, müsste das Integral über ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ immer existieren, da der Arcustangens beschränkt ist.

Inwiefern wurde das denn also auf den $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ zurückgeführt?

16.08.2012, 16:19

steviehawk

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RE: Integral bestimmen (Partialbruchzerlegung??)
Also, ich hab das wohl zu sehr verallgemeinert, f(x) war halt ein Polynom 2ten Grades.. mit komplexen Nullstellen

16.08.2012, 16:23

Che Netzer

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RE: Integral bestimmen (Partialbruchzerlegung??)
Ja, das hört sich schon besser an Augenzwinkern

Wobei man da aber auch mit der Funktionentheorie und dem Residuensatz herangehen könnte...

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Integral bestimmen (Partialbruchzerlegung??)

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