2 Punkte auf der gleichen Seite einer Ebene

16.08.2012, 23:18	Saumarez	Auf diesen Beitrag antworten »
2 Punkte auf der gleichen Seite einer Ebene Moin, ich hab mal wieder ein Problem mit Linearer Algebra (im Moment noch ein rotes Tuch für mich). Gegen sind $\begin{eqnarray} p{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} p{2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sowie die Ebenengleichung: $\begin{eqnarray} x_{1}+x_{2}-2x_{3}=5 \end{eqnarray}$ Gezeigt werden soll jetzt, dass beide Punkte auf der gleichen Seite der Ebene liegen. Ich hab jetzt so angefangen, dass ich eine Hesse'sche Normalform der Ebene aufstelle. $\begin{eqnarray} n=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Normiert wäre das dann: $\begin{eqnarray} n_{0}=\frac{1}{\sqrt{6} }\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also wäre die Hesse'sche Normalform: $\begin{eqnarray} \langle n_{0},x \rangle -5=0 \end{eqnarray}$ So und dann soll man nach Aussage meiner Formelsammlung den Abstand eines beliebigen Punktes von der Ebene ausrechnen durch: $\begin{eqnarray} d_{1}=\langle n_{0},x_{1} \rangle -5 \end{eqnarray}$ So, nur leider hab ich für beide Punkte einen negativen Abstand herausbekommen, was ja jetzt eigentlich heißen müsste, dass beide Punkte auf der gleichen Seite der Ebene sind (oder?). Die Lösung ist da aber anderer Meinung. Bitte helft mir
16.08.2012, 23:28	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2 Punkte auf der gleichen Seite einer Ebene Hallo, ich möchte dir ja nicht deine Rechnung verderben, aber hier wäre mein Vorschlag: Sieh dir an, wann ein Punkt mit $\begin{eqnarray} x_1=x_2=1 \end{eqnarray}$ in der Ebene liegt. Ansonsten: Sieh dir mal deine Normalform an. Der zufolge wäre $\begin{eqnarray} (5,0,0)^{\mathrm T} \end{eqnarray}$ nicht in der Ebene. Die 5 ist da nämlich falsch. Edit: mit der 5 meine ich natürlich die 5 in deiner Normalform, nicht die in meinem Vektor. mfg, Ché Netzer
16.08.2012, 23:50	Saumarez	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, aber was ist dann der Abstand der Ebene vom Ursprung wenn nicht 5? Wie genau ist deine erste Aussage gemeint? Sorry, ich steh im Moment voll auf dem Schlauch Er liegt in der Ebene wenn x3=-1,5 oder?
16.08.2012, 23:54	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Abstand kannst du ermitteln, indem du einen Punkt der Ebene in $\begin{eqnarray} \langle n_0,x\rangle \end{eqnarray}$ einsetzt. Zur ersten Aussage: Ja, und wann ist ein Punkt nun "oberhalb" bzw. "unterhalb" der Geraden, wenn für ihn auch $\begin{eqnarray} x_1=x_2=1 \end{eqnarray}$ gilt? Übrigens: Das würde ich allerdings nicht lineare Algebra nennen, sondern eher analytische Geometrie (die mag ich auch nicht...).
17.08.2012, 00:42	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
der einfachste weg wäre wohl, E in die HNF zu bringen und beide punkte einzusetzen. (wobei man hier nicht einmal normieren muß) damit sieht man sofort am vorzeichen, ob beide punkte auf derselben seite von E liegen analytische geometrie
17.08.2012, 00:46	Saumarez	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, das läuft bei uns alles unter LA in der Uni Ich werd mir das morgen nochmal genauer ansehen =/ Noch peil ich nicht ganz was da abgeht
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17.08.2012, 01:02	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
dazu genügt: $\begin{eqnarray} 1+1+4-5>0 \end{eqnarray}$ und analog mit P2
17.08.2012, 01:11	Saumarez	Auf diesen Beitrag antworten »
Also setz ich einfach die Punkte in die Gleichung ein und guck was rauskommt? Dann sind das ja beinahe geschenkte 2 Punkte in der Klausur

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