Lösungsmenge eines LGS mit hilfe von Gauß-Algo

17.08.2012, 10:11	Felix W.	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsmenge eines LGS mit hilfe von Gauß-Algo Meine Frage: Moin, ich schreibe hier zum ersten mal, also bitte ich wenn ich in der falschen Thema poste um Rücksicht, bin sonst nur fleißiger Mitleser. Es geht um folgende frage: Bestimmen Sie die Lösungsmengen des folgenden linearen Gleichungssysteme mit Hilfe des Gauß-Algorithmus. Ax=b $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}^T * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 4 \end{eqnarray}$ soweit so gut... ich finde im Internet und in meinen Mathebuch nur Beispiele wo A eine echte Matrix ist jetzt weiß ich nicht wie ich bei einen Zeilenvektor vorgehen muss? denn den kann ich ja nicht in eine Dreiecksgestalt bringen oder? über jede Hilfestellung freue ich mich! Meine Ideen:* In eine Dreiecksgestalt bringen um die Lösungsmenge abzulesen... nur wie? Oder is die Lösungsmenge einfach eine Ebene?
17.08.2012, 10:19	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Bücher arbeiten vermutlich meistens mit einer "erweiterten" Matrix $\begin{eqnarray} (A\|b) \end{eqnarray}$ und wenden darauf den Gauß-Algorithmus an. Das geht hier auch: $\begin{eqnarray} (2 ~ -3 ~ 4 ~\|~ 4) \end{eqnarray}$ . Nun hat man nur eine Gleichung für drei Unbekannte bzw. man hat nur eine Stufe für die Zeilenstufengestalt. Also fügt man einfach neue Stufen mit Parametern ein: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc\|c} 2 & -3 & 4 & 4 \\ 0&1&0&r \\ 0&0&1 & s \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kommst du damit weiter? Nachtrag: Wenn man mehr über die Struktur der Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen weiß, bekommt man die Lösung auch schneller. Von $\begin{eqnarray} (2,-3,4) \end{eqnarray}$ kann man leicht den Kern und eine spezielle Lösung ablesen, was dann ebenfalls die gesamte Lösungsmenge liefert.
17.08.2012, 10:26	Felix W.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube nicht! bin jetz ein bischen verwirrt man darf einfach Zeilen dazuschreiben? aber was bringen die mir nun? in den Lösungen steht: es gibt keine Lösungmenge... nur halt ohne Lösungsweg... wahrscheinlich is die Antwort sehr trivial, für mich aber nicht
17.08.2012, 10:35	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
So funktioniert der Gauß-Algorithmus doch. Hat man nicht genug Gleichungen, so erhält man - sofern das LGS auch lösbar ist - Lösungen mit Parametern. Ein Extrembeispiel: $\begin{eqnarray} x+y=0 \end{eqnarray}$ - zwei Unbekannte, eine Gleichung, und Lösungen ohne Ende, nämlich alle Paare $\begin{eqnarray} (t,-t) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Und darauf kommt man, indem man $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auf den Parameter $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ setzt. Lies ggf. nochmal deine Notizen zum Gauß-Algorithms durch. Dein Gleichungssystem hat definitiv auch Lösungen. Eine, die man sofort sieht, ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Alle Lösungen erhältst du, indem du den Gauß-Algorithmus auf die um diese zwei Zeilen erweiterte Matrix anwendest.
17.08.2012, 10:55	Felix W.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh ok... also wenn ich meine Unterlagen richtig verstehe, dann gilt für mein Beispiel, dass ich alles nötige raus lesen kann: da mein Rang k, k=m, m->Zeilen gilt doch: $\begin{eqnarray} Ax=b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (R C)x=b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C=(-3 \| 4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=(4) \end{eqnarray}$ oder? und was mache ich jetzt?
18.08.2012, 08:49	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
In deinem letzten Beitrag verstehe ich leider nur noch Bahnhof...
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