Beweis zum Auswahlsatz von Helly mit Funktionalanalysis

17.08.2012, 13:55

Evelyn89

Beweis zum Auswahlsatz von Helly mit Funktionalanalysis

Hallo,

ich stehe gerade vor dem Problem den Helly'schen Auswahlsatz zu beweisen.
Es gibt einen bekannten Beweis, der über das Cantorsche Diagonalverfahren funktioniert.

Meine Aufgabe ist es nun diesen Satz mit Hilfe der Methoden der Funktionalanalysis zu beweisen. Genauer gesagt soll ich dabei den Satz von Banach- Alaoglu und den Rieszschen Darstellungssatz verwenden.

Leider kann ich dazu nirgendwo etwas finden, weder im Internet noch in den Büchern. traurig

Weiß vielleicht jemand von euch was dazu?
Ein Link oder ein Buchtipp wären auch schon sehr hilfreich.

Ich habe auch eine grobe Idee wie der Beweis auszusehen hat, allerdings bin ich mir bei den Details ziemlich unsicher. verwirrt

Bin für jede Hilfe dankbar! smile

17.08.2012, 15:12

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Ich weiss nicht, ob ich dir helfen kann, aber ss scheint verschiedene Sätze von Helly zu geben, welche mit Helly'schem Auswahlsatz bezeichnet werden könnten. Um welche Version geht es dir denn genau?

Gruss smile

17.08.2012, 17:40

Evelyn89

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich meine den folgenden Auswahlsatz von Helly:

Satz:

$\begin{eqnarray*} \mathcal M^{(1)}(\mathbb R) \text{ ist schwach*-folgenkompakt. } \end{eqnarray*}$

Dabei meine ich mit $\begin{eqnarray*} M^{(1)}(\mathbb R)=\{ \mu : \mathcal B(\mathbb R) \to [0,\infty] ~|~ \mu \text{ Borelmaß mit } \mu(\mathbb R) \le 1 \} \end{eqnarray*}$
die Menge aller Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße.

In der Literatur findet man unterschiedliche Varianten. Die Kernaussage ist da aber meist diesselbe, nämlich, dass wir zu einer Folge von Maßen eine vage-kovergente Teilfolge finden können. In der Maßtheorie nennt man die schwach*-Konvergenz in dieser Situation dann vage Konvergenz. Das ist aber meines Wissens nach das gleiche.

Die Idee für den Beweis sieht so aus:
Der Satz von Banach-Alaoglu besagt ja, dass die abgeschlossene Einheitskugel $\begin{eqnarray*} B_{X'} \end{eqnarray*}$ des Dualraums $\begin{eqnarray*} X' \text{ von } X \end{eqnarray*}$ schwach*-kompakt ist.

Legen wir $\begin{eqnarray*} X=\mathcal C_0(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ zugrunde.
Irgendwie muss ich jetzt den Rieszschen Darstellungssatz anwenden, der dann besagt , dass $\begin{eqnarray*} \mathcal M_b^+(\mathbb R)=\{ \mu:\mathcal B(\mathbb R) \to [0,\infty] ~|~\mu \text{ Borelmaß und } \mu(K)<\infty \text{ für alle Kompakta } K\subset \mathbb R \} \end{eqnarray*}$
gerade unser Dualraum ist.

So einen Darstellungssatz von Riesz habe ich allerdings nicht gefunden. Da ist meist von anderen Maßen die Rede .... verwirrt

In unserem Fall wäre die Einheitskugel gerade $\begin{eqnarray*} \mathcal M^{(1)}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ .
Der Satz von Banach-Alaoglu liefert dann die Kompaktheit.
Nun bin ich aber unsicher, ob ich auch einfach Folgenkompaktheit folgern kann.
Dafür müsste ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal M^{(1)}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ metrisierbar ist, oder?

17.08.2012, 19:14

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die detailliertere Ausführung. In diesem Fall denke ich, dass ich dir helfen kann. Hast du den Elstrodt? Ich verweise dich dann einfach auf die Stellen darin, welche ich hier für relevant halte. Ein Argument daraus zusammenbauen, kannst du bestimmt selber.

Erstmal eine kleine Korrektur:

Zitat:

Legen wir $\begin{eqnarray*} X=\mathcal C_0(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ zugrunde.
Irgendwie muss ich jetzt den Rieszschen Darstellungssatz anwenden, der dann besagt , dass $\begin{eqnarray*} \mathcal M_b^+(\mathbb R)=\{ \mu:\mathcal B(\mathbb R) \to [0,\infty] ~|~\mu \text{ Borelmaß und } \mu(K)<\infty \text{ für alle Kompakta } K\subset \mathbb R \} \end{eqnarray*}$
gerade unser Dualraum ist.

Der Dualraum bloss der Raum der endlichen Radonmaße (weil wir stetige lineare Funktionale haben wollen gehört das endlich da hin). VIII, Korollar 2.6 zeigt, dass (endliche) Radon- und Borelmaße für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ zusammenfallen. Damit kannst du den Rieszschen Darstellungssatz (2.5 in VIII) anwenden für die gewünschte Charakterisierung von $\begin{eqnarray*} C_0(\mathbb R)^\ast \end{eqnarray*}$ .

Dann: VIII, Definition 4.28 & Satz 4.35 (Prohorov Metrik) zeigen, dass die schwache Topologie metrisierbar ist. Ich weiss nicht, wie das genau mit der vagen Topologie aussieht. Evtl. könnte man die Definition der Prohorov Metrik anpassen. Alternativ dazu (und wahrscheinlich einfacher) könntest du VIII, Satz 2.12 (Darstellungssatz von Riesz für $\begin{eqnarray*} C_b(X) \end{eqnarray*}$ ) benutzen, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} M^+(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ebenfalls der Dualraum von $\begin{eqnarray*} C_b(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist (Achtung, du bekommst dann nicht mehr die vage Topologie, sondern die schwache (im maßtheoretischen Sinne) Topologie auf $\begin{eqnarray*} M^+(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ).

Nach Banach-Alaoglu ist der schwache Einheitsball dann kompakt und folglich (Prohorov) folgenkompat. Weil die vage Topologie gröber ist, als die schwache Topologie folgt, dass damit auch der vage Einheitsball folgenkompakt sein muss.

(Möglicherweise habe ich mich jedoch auch irgendwo vertan. Das wäre jedenfalls was mir spontan dazu einfällt.)

17.08.2012, 22:43

Evelyn89

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort, das war schon mal sehr hilfreich. Freude

Den Elstrodt habe ich hier vorliegen. Ich werde mir das jetzt mal alles genauer angucken und schauen wie ich mir da was zusammenbasteln kann und es anschließend hier vorstellen.

Finde es schon merkwürdig und ärgerlich, dass man in keinem Buch und auch im Internet nichts finden kann, kein Beweis des Helly'schen Auswahlsatzes (manchmal auch Helly-Bray genannt), der mit Methoden der Funktionalanalysis arbeitet. unglücklich

Na, dann geh ich mal an die Arbeit. Wink

25.08.2012, 09:10

Evelyn89

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gonnabphd
Damit kannst du den Rieszschen Darstellungssatz (2.5 in VIII) anwenden für die gewünschte Charakterisierung von $\begin{eqnarray*} C_0(\mathbb R)^\ast \end{eqnarray*}$

Meintest du hier nicht $\begin{eqnarray*} C_c(\mathbb R)^\ast \end{eqnarray*}$ ?
Jedenfalls handelt der besagte Satz 2.5 in VIII davon. verwirrt

Weißt du zufällig, ob der Raum $\begin{eqnarray*} \mathcal M^{(1)}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ein paar schöne Eigenschaften hat? Also evtl. separabel oder reflexiv oder .... ist?

25.08.2012, 11:07

Evelyn89

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir jetzt einfach mal den Beweis zusammen gebastelt.
Es würde mich sehr freuen, wenn da jemand drüber schauen könnte.

Beweis des Helly'schen Auswahlsatzes (siehe oben):

Nach dem Rieszschen Darstellungssatz für $\begin{eqnarray*} \mathcal C_0(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \mathcal C_0(\mathbb R)^* = M_r(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} M_r(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ die Menge der signierte, regulären Borelmaße meint.
Nun ist aber $\begin{eqnarray*} M_r(\mathbb R)=M(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ , weil in unserem Fall die Borelmaße automatisch regulär sind, da nur auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert.

Die abgeschlossene Einheitskugel von $\begin{eqnarray*} M(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist gerade $\begin{eqnarray*} M^{(1)}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ .
Und nach dem Satz von Banach-Alaoglu ist diese schwach*-kompakt.

Nun ist $\begin{eqnarray*} \mathcal C_0(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ separabel und damit die abgeschlossene Einheitskugel seines Dualraums metrisierbar (ist ein Satz aus der Topologie).

Also fallen kompakt und folgenkompakt für $\begin{eqnarray*} M^{(1)}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ zusammen und es folgt, dass $\begin{eqnarray*} M^{(1)}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ schwach*-folgenkompakt ist.

Auf $\begin{eqnarray*} M^{(1)}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ stimmen aber schwach*-Konvergenz und vage Konvergenz überein (WARUM? DIESER SCHRITT IST FÜR MICH UNKLAR) und es folgt die Behauptung.

Was meint ihr? Ist das soweit richtig? Und wie kann ich den erwähnten unklaren Schritt oben nachvollziehen bzw. genau begründen?

Vielen Dank im voraus. smile

25.08.2012, 20:24

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Ich denke, das funktioniert so.

Zitat:

Auf $\begin{eqnarray*} M^{(1)}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ stimmen aber schwach*-Konvergenz und vage Konvergenz überein (WARUM? DIESER SCHRITT IST FÜR MICH UNKLAR) und es folgt die Behauptung.

Das ist doch per Definition so? Die schwach*-Topologie auf $\begin{eqnarray*} M(\mathbb R) = C_0(\mathbb R)^\ast \end{eqnarray*}$ ist die gröbste Topologie, welche alle linearen Funktionale

$\begin{eqnarray*} \hat f: \mu \mapsto \int_{\mathbb R} f \, d\mu \qquad (f\in C_0(\mathbb R)) \end{eqnarray*}$

stetig macht. Somit bilden die Mengen $\begin{eqnarray*} B_\epsilon(\mu,f) = \{\nu\; ; \; \left|\textstyle\int_{\mathbb R} f \, d\mu - \textstyle\int_{\mathbb R} f\, d\nu\right|<\epsilon\} \end{eqnarray*}$ eine Subbasis der schwach*-Topologie.

Auf der anderen Seite sagt man, eine Folge $\begin{eqnarray*} \mu_n \to \mu \end{eqnarray*}$ konvergiert vage, falls für alle $\begin{eqnarray*} f\in C_0(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} f\, d\mu_n \to \int_{\mathbb R} f\, d\mu \end{eqnarray*}$ .
Wenn man nun diese beiden Definitionen ein wenig anstarrt, sieht man

$\begin{eqnarray*} \mu_n \to \mu \; \text{vage} \iff \mu_n \to \mu \; \text{bzgl. der schwach*-Topologie} \end{eqnarray*}$

Gruss Wink

26.08.2012, 08:34

Evelyn89

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

danke für die Antwort. Ich weiß jetzt auch warum ich nicht dahinter gekommen bin. geschockt

Ich habe nicht mit der Definition von schwach*-Topologie gearbeitet, sondern schwach*-Konvergenz von Folgen,
also $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ metrischer Raum und $\begin{eqnarray*} x\in X \text{ und } (x'_), x'\in X' \end{eqnarray*}$ , dann ist per Def.:

$\begin{eqnarray*} x'_n \xrightarrow{w*}x' :\Longleftrightarrow (x,x_n') \to (x,x') \quad \forall x\in X \qquad\qquad (1) \end{eqnarray*}$

In metrischen Räumen kann man das ja so machen, nehme ich an. Und da ich oben gezeigt habe, dass $\begin{eqnarray*} M^{(1)}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ tatsächlich metrisiert werden kann, wollte ich wohl unbewusst ohne wenn und aber mit der schwach*-Folgendefinition arbeiten.

Ich nehme mal an, dass ich deine Definition von schwach*-Topologien in jedem Topologie-Buch finde.

Meinst du man kann " $\begin{eqnarray*} \mu_n \xrightarrow{w*} \mu \Longleftrightarrow \mu_n \xrightarrow{vage} \mu \end{eqnarray*}$ " auch mit der Definition von (1) zeigen?

Eigentlich müsste es ja einen Weg geben, da $\begin{eqnarray*} M^{(1)}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ja metrisierbar ist.

Ich verfasse da eine kleine Arbeit und würde in diesem Beweis sehr gerne auf weitere topologische Hilfsmittel verzichten. Ich überlege da gerade selber,
aber kann da jede Hilfe gut gebrauchen. smile

Gruß

Evelyn

26.08.2012, 16:04

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich nehme mal an, dass ich deine Definition von schwach*-Topologien in jedem Topologie-Buch finde.

Zumindest in jedem Funktionalanalysis-Buch, würde ich mal behaupten.

Zitat:

Meinst du man kann " $\begin{eqnarray*} \mu_n \xrightarrow{w*} \mu \Longleftrightarrow \mu_n \xrightarrow{vage} \mu \end{eqnarray*}$ " auch mit der Definition von (1) zeigen?

Ja. Es geht auch mit deiner Definition. Du musst dich nur daran erinnern, dass $\begin{eqnarray*} (x,x') \end{eqnarray*}$ die natürliche Paarung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X' \end{eqnarray*}$ ist, d.h. $\begin{eqnarray*} (x,x') = x'(x) \end{eqnarray*}$ . In unserem Spezialfall also

$\begin{eqnarray*} (f, \mu) = \int_{\mathbb R} f\, d\mu \end{eqnarray*}$

Damit ist deine Definition (1) mit $\begin{eqnarray*} X = C_0(\mathbb R), \; X' = M(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ nichts anderes als die Definition der vagen Konvergenz.

Wink

p.s.

Zitat:

In metrischen Räumen kann man das ja so machen, nehme ich an. Und da ich oben gezeigt habe, dass $\begin{eqnarray*} M^{(1)}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ tatsächlich metrisiert werden kann, wollte ich wohl unbewusst ohne wenn und aber mit der schwach*-Folgendefinition arbeiten.

Das ist übrigens ein sehr guter Punkt: Im Allgemeinen ist eine Topologie tatsächlich nicht charakterisiert durch Angabe ihrer konvergenten Folgen!

26.08.2012, 19:22

Evelyn89

Auf diesen Beitrag antworten »

Super! Damit sind alle offenen Fragen geklärt. Ich bedanke mich nochmal bei dir. Freude

26.08.2012, 20:13

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok! Gern geschehen. smile

Neue Frage »

Antworten »

Beweis zum Auswahlsatz von Helly mit Funktionalanalysis

Verwandte Themen