Z/2Z als Z-Modul

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17.08.2012, 14:05	Janosch17	Auf diesen Beitrag antworten »
Z/2Z als Z-Modul Hallo Ich habe mir die Definition vom Modul über einen kommutativen Ring angesehen. Nun soll ich mir a) Z/2Z als Z-Modul ansehen und vergleichen mit b) Z/2Z als Z/2Z-Modul. Nun habe ich Verständnisfragen. Sehe ich es richtig, dass bei der Formulierung " Z/2Z als ...-Modul" ich Z/2Z als kommutative Gruppe betrachte? Nun bin ich mir unsicher, wie die Elemente von Z/2Z nochmal aussahen. Ich erinner mich noch an Kongruenzklassen, d.h. hier die Kongruenzklassen [0](gerade Zahlen) und [1](ungerade Zahlen) (Wegen modulo 2). Aber ist das jetzt richtig? Nun wollte ich weiter vorgehen und mir ansehen, ob es ein Erzeugendensystem gibt und lineare abhängigkeit bzw. unabhängigkeit und ggf. Basis. Die Def. vom Erzeugendensystem habe ich so: Sei T={m1,m2,...,mk} eine endliche Teilmenge des R-Moduls M. Ein Element m $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M ist eine R-Linearkombination der Elemente von T, wenn gilt: m= $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^k mi ri \end{eqnarray}$ für geeignete ri $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R. Der R-Modul M ist endlich erzeigt, wenn eine endliche Teilmenge T von M existiert derart, dass jedes m $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M eine R-Linearkombination der Elemente von T ist. Es wird dann T ein Erzeugendensystem von M genannt. Was genau ist hier ein geeignetes ri? Da von Moduln die Rede ist gilt ja das erste Modul-Axiom (Element aus Gruppe multipliziert mit Einselemt des Rings= Element der Gruppe). Dann würde das doch gehen wenn man ri = 1 nimmt. Aber wenn ich jetzt statt 1 die 2 als ri nehme, geht das wieder nicht mehr... Woran erkenne ich, welches ri ich nehmen muss? Oder bin ich total auf dem falschen Weg?
17.08.2012, 18:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Als erzeugendes Element kann man sinnvollerweise nicht die 0 nehmen. Da 0=2 in $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist, also bleibt nur noch 1 übrig. Tipp: $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist ein Ring und $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist ein Körper, so dass im Teil b) der Aufgabe $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray}$ ein Vektorraum über $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist.
17.08.2012, 20:47	Janosch17	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde gern noch mal nachfragen, wie ich "ein geeignetes r " aus der Definition verstehen kann. Damit ich genau nachvollziehen kann wieso Elemente der Kongruenzklasse [0] nicht in Frage kommen, jedoch Elemente aus [1] für das Erzeugendensystem bei a) Danke für den Hinweis zum Körper von Z/2Z, dies ist doch so, weil 2 eine Primzahl ist, oder?
18.08.2012, 10:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
0 mal irgendwas ist immer 0. Die 0 kann man addieren so oft man will, mehr als 0 kommt da nicht raus. Als erzeugendes Element erzeugt die 0 immer nur die 0. Für alles andere braucht man etwas von 0 verschiedenes. Da wir hier nur 0 und 1 haben, bleibt für ein Erzeugendensystem nicht mehr viel übrig. $\begin{eqnarray} \mathbb F_p = \mathbb Z / p \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist.
18.08.2012, 13:13	Janosch17	Auf diesen Beitrag antworten »
Also verstehe ich richtig, dass die Elemente von Z/2Z = {0,1} sind? sind 0 und 1 hier die Kongruenzklassen also [0]={ ...,-2, 0, 2, 4, 6,...} und [1]={...,-7,-5,-3,-1,1,3,5,...} oder ist es wirklich nur 0 und 1? Irgendwie bin ich da noch nen bisschen verwirrt. Und ich würd das gern so ganz schön formal nach der Definition haben und verstehen wollen. Ich schreib es mal auf soweit ich es "verstehe" und würde mich für Kritik bedanken. Ich würde also als eine Teilmenge T aus Z/2Z suchen für die gilt, dass sich jedes Element m aus aus dem Modul durch eine Summe mit Elementen aus T sowie aus Z (Ring) darstellen bzw. erzeugen lässt. Und hier kommt halt mein Problem mit den Elementen aus Z/2Z. Soll ich hier dann die Kongruenzklasse darstellen oder eben nur 0 bzw. 1. Also für Kongruenzklassen: Prüfe ob [0] = T (Erzeugendensystem) m=(-2)r1+0r2+2r3+4r4+... Da ja hier immer gerade Zahlen multipliziert werden, ist es eigentlich egal was r ist und wir bekommen immer nur [0].--> geht nicht als Erzeugendensystem Prüfe ob [1] = T (Erzeugendensystem) m =(-3)r1+(-1)r2+1r3+3r4+... Hier ist ja wichtig, was ich für r nehme, je nachdem erhalte ich dann gerade Zahlen, also [0] oder ungerade Zahlen also [1]. --> geht als Erzeugendensystem Oder halt nicht für Kongruenzklassen sondern nur für 0 bzw. 1: Prüfe ob 0 = T m = 0r1+0r2+... Egal was r hier ist, ich erhalte nur 0 und nicht noch 1, also kann ich nicht komplett Z/2Z erzeugen. --> geht nicht als Erzeug.sys. Prüfe ob 1= T m= 1r1+1r2+1r3+1r4+... hier kann ich je nachdem was r ist 0 und 1 erzeugen. --> geht als Erzeug.sys. Dann geht es ja weiter. Möchte noch lineare Unabhänigkeit prüfen. Dafür habe ich folgende Definition: Die endliche Teilmenge {m1,m2,...,mn} des R-Moduls M heißt linear unabhängig über R, wenn aus $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n miri = 0 \end{eqnarray}$ und ri $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R stets ri = 0 für alle i folgt. Andernfalls wird T linear abhängig genannt. Hier Prüfe ich wieder für Kongruenzklasse und Zahl. Haben ja oben bereits festgestellt, dass nur T = {1} bzw. T = {[1]} in Frage kommt. Für Kongurenzklasse: 0 = (-3)r1+(-1)r2+1r3+3r4+... Hier finde ich es schwierig zu sagen, ob hierfür ri = 0 sein muss, da es auch für ri= 1 funktionieren könnte, wenn sich die negativen Zahlen mit den entsprechenden Inversen addieren, also z.b. (-3)1+31=0. Also linear abhängig. Für Zahl 1: 0 = 1r1+1r2+1*r3+... Hier ist es eindeutig, denn ri muss immer =0 sein, damit dort 0 heraus kommt. ist also linear unabhängig. Also wäre sehr sehr dankbar über Feedback insbesondere ob nun Z/2Z = {0,1} oder ={[0],[1]} ist und natürlich auch über meine vorläufigen Ansätze.
18.08.2012, 19:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie immer im Leben ist alles ganz einfach, wenn man es nicht zu genau nimmt, und genau das ist der Trick bei Faktormengen. Eine Menge M zusammen mit einer Äquivalenzrelation ~ auf M zerlegt die Menge vollständig in eine Menge von Äquivalenzklassen, diese fasst man als Faktormenge M/~ auf. Umgekehrt kann man zu einer vollständigen disjunkten Zerlegung von M in Klassen die entsprechende Äquivalenzrelation definieren. Wenn man das einmal gemacht hat, ist hinfort die Menge M und die Äquivalenzrelation nicht mehr wichtig, weil die ganze (interessierende) Wahrheit in der Faktormenge steckt. In unserem Beispiel gewinnt man aus der Menge $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ durch die Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray} a \equiv b \Leftrightarrow 2\|(a-b) \end{eqnarray}$ die Faktormenge $\begin{eqnarray} \mathbb Z /2 \mathbb Z=\{\overline 0,\overline 1\} \end{eqnarray}$ . Das ist sogar eine Kongruenzrelation, denn sie ist mit den Operationen auf $\begin{eqnarray} (\mathbb Z,+,\cdot) \end{eqnarray}$ verträglich ! Deshalb wird $\begin{eqnarray} (\mathbb F_2,+,\cdot)=(\mathbb Z /2 \mathbb Z,+,\cdot) \end{eqnarray}$ ein Körper. Er ist bis auf Isomorphie der einzige Körper mit genau 2 Elementen, d.h. es ist nun völlig egal, woher seine Elemente kommen und völlig egal, wie man sie nennt. Und weil das so egal ist, nennen wir sie 0 und 1. Ein Erzeugendensystem des Moduls $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ über dem Ring $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist {1}, weil $\begin{eqnarray} 0\cdot 1=0, 1\cdot 1=1 \end{eqnarray}$ . Dieses ist linear abhängig wegen $\begin{eqnarray} 2\cdot 1=1\cdot 1+1 \cdot1= 0 \end{eqnarray}$ . Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des Vektorraums $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ über dem Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ ist {1}, weil $\begin{eqnarray} 0\cdot 1=0, 1\cdot 1=1 \end{eqnarray}$ . Das ist bei endlichdimensionalen Vektorräumen so einfach, weil jeder endlich dimensionale Vektorraum über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ isomorph zu einem $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ ist. Weil hier die Dimension 1 ist (der Vektorraum ist seinem Körper als Menge gleich), muss ein von 0 verschiedener Vektor eine Basis sein. Die 0 ist nie eine Basis und nie Element einer Basis, denn wegen $\begin{eqnarray} 1\cdot 0=0 \end{eqnarray}$ ist der Nullvektor immer linear abhängig, das ist nämlich eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors. Für Moduln über Ringen mit 1 genauso. ... Ich hoffe, ich habe mich klar genug ausgedrückt. Bitte beachte, dass die Skalare in der Multiplikation immer links, die Modulelemente immer rechts stehen und das Ergebnis immer ein Modulelement ist ...
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18.08.2012, 20:07	Janosch17	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst einmal ein ganz ganz großes Danke für diese ausführliche Antwort und vor allem die Zeit, die du dir genommen hast! Ich habe noch eine Frage zur linearen unabhängigkeit/abhängigkeit. dort lässt du die Summe bis 2 gehen, wieso? Oder heißt dass nur, dass ich für r halt auch 2 nehmen kann und dann hab ich dennoch 0 ?
19.08.2012, 10:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Zeit ist kein Problem. Mathematik und Informatik braucht Zeit, der Mensch braucht Zeit, ohne Verwendung von Zeit lebt der Mensch nicht, häufig ist die Zeit am sinnvollsten für Mathematik zu verwenden ;-) b) 21=0 ist ein Beispiel dafür, dass es eine Darstellung der 0 gibt mit Koeffizienten, die nicht alle 0 sind. "Linear unabhängig" heißt ja gerade, es gibt keine Darstellung der 0 mit Koeffizienten, die von 0 verschieden sind. Definition : $\begin{eqnarray} \{x_i\} l.u. \Leftrightarrow (\sum_{i=1}^k \alpha_ix_i =0 \Rightarrow \forall i : \alpha_i=0) \end{eqnarray}$ c) Um das Beispiel 21=0 noch zu verdeutlichen, sei nochmals erwähnt, dass 2 eine ganze Zahl ist, und dass 2 kein Element von $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ ist.
19.08.2012, 10:49	Janosch17	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine sehr guten Antworten! Hast mir wirklich sehr geholfen! Ich denke ich habe das jetzt verstanden und werde mich noch an ein paar anderen Beispielen probieren und sehen, ob ich das auch wirklich gut verstanden habe

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