erweiterte Taylorgleichung

18.08.2012, 20:15

asteG

erweiterte Taylorgleichung

Meine Frage:
Hallo zusammen,
dieses Forum hat mir schon viel geholfen, ohne dass ich eine Frage stellen musste. Jetzt ist es aber an der Zeit.
Mein Problem ist die Bestimmung der Koeffizienten der erweiterten Taylorgleichung.
Die Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen verschiedenen Schnittparametern und der Werkzeugstandzeit. Beim (Voll)Bohren wären das Schnittgeschwindigkeit (vc) und Vorschub pro Umdrehung (f).
Jetzt habe ich hier eine Tabelle mit Standzeiten für verschiedene Schnittgeschwindigkeiten und Vorschübe und die erweiterte Taylorgleichung in der Form
$\begin{eqnarray*} T_C=C*v_c^E*f^F \end{eqnarray*}$
und soll C, E und F bestimmen. Die Wertepaare für Tc, vc und f sind jeweils bekannt.

Meine Ideen:
Mein erster Gedanke war das Newton Verfahren. Geht nicht, da ich ja Punkte habe und kein Funktion.
Dann hab ich weitergegoogelt (Mathevorlesung is schon etwas her) und bin auf die Methode der kleinsten Quadrate bzw. Ausgleichrechnung gestoßen. So wie ich das verstanden hab, läuft das auf die Gaußschen Normalengleichungen hinaus. Ich denke, die könnte ich auch anwenden. Nur meine Frage ist:
Wie bekomme ich aus obiger Gleichung meine Koeffizienten-Matrix? Meine Variablen stehen ja als Exponenten in der Gleichung, was mich etwas verwirrt.
bzw.
Wie bestimme ich C,E,F und den Fehler, wenn die obige Vorgehensweise nicht funktioniert, am geschicktesten?
Am besten, weil weit verbreitet, wäre Excel.
Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen. Allerdings ist, wie schon gesagt, die Mathevorlesung etwas her. Augenzwinkern

19.08.2012, 16:13

frank09

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RE: erweiterte Taylorgleichung
Logarithmieren führt zu
$\begin{eqnarray*} \log T_C=\log C+E \log v_c+F \log f \end{eqnarray*}$

folgendes um den Schwerpunkt verschobene System wäre zu optimieren ("kleinster Abstand")

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \log v_{c1}-\overline{\log v_c} & \log f_{1}-\overline{\log f} \\ \log v_{c2}-\overline{\log v_c}&\log f_{2}-\overline{\log f} \\ . & . \\ . & . \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E \\ F \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \log T_{C1}-\overline{\log T_C} \\\log T_{C2}-\overline{\log T_C} \\ .\\ . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit der optimalen Lösung E, F gilt dann

$\begin{eqnarray*} \log C=\overline{\log T_C}- E\; \overline{\log v_c}- F \; \overline{\log f} \end{eqnarray*}$

19.08.2012, 18:07

asteG

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RE: erweiterte Taylorgleichung
Hallo frank09,
erstmal vielen Dank für deine Antwort!

Zitat:

Original von frank09
Logarithmieren führt zu
$\begin{eqnarray*} \log T_C=\log C+E \log v_c+F \log f \end{eqnarray*}$

Oh, darauf hätte ich selber kommen müssen. Ups

Zitat:

Original von frank09
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \log v_{c1}-\overline{\log v_c} & \log f_{1}-\overline{\log f} \\ \log v_{c2}-\overline{\log v_c}&\log f_{2}-\overline{\log f} \\ . & . \\ . & . \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E \\ F \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \log T_{C1}-\overline{\log T_C} \\\log T_{C2}-\overline{\log T_C} \\ .\\ . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit der Matrix komme ich aber jetzt nicht klar. Ich suche ja C, E und F. Also fehlt doch C im Spaltenvektor. Entsprechend muss es doch auch in der ersten Matrix in der linken Spalte auftauchen. Oder liege ich da falsch? Die Ausdrücke mit dieser overline,für was stehen die genau? Mit der korrekten Matrix kann ich dann über das Falksche Schema und das Lösen des erhaltenen GLS C,E und F bestimmen, oder war der Gedanke falsch?

mfg
asteG

20.08.2012, 00:07

frank09

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RE: erweiterte Taylorgleichung
Es geht hier im Prinzip um lineare Regression. Im zweidimensionalen Fall hast du einen Haufen Punkte ("Punktwolke"), durch den du eine Gerade legst, so dass die Summe der Abstandsquadrate minimal wird. Deren Gleichung y=mx+C beschreibt den Zusammenhang zwischen x- und y-Wert eines Punktes "am besten". Die Gerade geht immer durch den Schwerpunkt $\begin{eqnarray*} S(\overline{x}| \overline{y}) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \overline{x},\overline{y} \end{eqnarray*}$ die arithmetischen Mittel der x und y-Werte sind. Die Steigung der Geraden hängt nicht von der Lage des Schwerpunktes ab, sondern nur von der Lage der Punkte zueinander. Wenn man die Punktewolke so verschiebt, dass der Schwerpunkt in O liegt (die Mittelwerte von den Koordinaten subtrahieren), dann ist die Steigung m die beste Lösung folgender Gleichung, in der C nicht auftaucht:

$\begin{eqnarray*} m\vec{x'} =\vec{y'} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m\begin{pmatrix} x_1-\overline{x} \\ x_2-\overline{x}\\ ... \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y_1-\overline{y} \\ y_2-\overline{y}\\ ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In aller Regel gibt es keine exakte Lösung, es sei denn alle Punkte liegen auf einer Geraden. Als optimal gilt, wenn $\begin{eqnarray*} m\vec{x'} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{y'} \end{eqnarray*}$ den geringsten Abstand voneinander haben. Das ist gleichbedeutend mit minimalem Abstandsquadrat der Punkte von der Geraden und mit
$\begin{eqnarray*} m\vec{x'} -\vec{y'}\perp \vec{x'} \Rightarrow (m\vec{x'} -\vec{y'})\vec{x'}=0 \Rightarrow m=\frac{\vec{x'}\vec{y'}}{\vec{x'}^2} \end{eqnarray*}$
Punkt S muss die Geradengleichung erfüllen, deshalb gilt für die nicht verschobenen Punkte
$\begin{eqnarray*} \overline{y}=m\overline{x}+C \Rightarrow C=\overline{y}-m\overline{x} \end{eqnarray*}$

Bei dir geht es um dreidimensionale Punkte $\begin{eqnarray*} P_i(\log v_{ci}| \log f_i|\log T_{Ci}) \end{eqnarray*}$ und um zwei Steigungen E, F einer durch sie gelegten Ausgleichsebene.
Zu optimieren: $\begin{eqnarray*} A\begin{pmatrix} E \\ F \end{pmatrix}=\vec{z'} \end{eqnarray*}$
Zu lösen: $\begin{eqnarray*} A^TA\begin{pmatrix} E \\ F \end{pmatrix}=A^T\vec{z'} \end{eqnarray*}$

23.08.2012, 13:08

asteG

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Hallo,
also mir ist es jetzt mit Hilfe deiner Anleitung und aufbauend darauf gelungen, die Koeffizienten der erweiterten Taylorgleichung zu bestimmen. Das ganze schaut echt gut aus, die Abweichungen sind dabei im Rahmen des zu erwartenden.
Also, herzlichen Danke für deine Hilfe!

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