Hypothesentest, Glühbirnen

20.08.2012, 01:58

Gast11022013

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Hypothesentest, Glühbirnen

Meine Frage:
Hi,

ich habe ein großes Problem bei folgender Aufgabe:

Ein Großunternehmen bietet deinem Elektrohändler aus Restbeständen eine größere Anzahl 40-Watt und 60-Watt-Glühbirnen zu einem Pauschalpreis an. Der Händler ist an dem Angebot interessiert, falls beide Sorten gleich vertreten sind. Um den Handel nicht unbesehen einzugehen, entschließt sich der Händler zu folgendem Vorgehen: Er entnimmt dem Angebot 10 Glühbirnen. Falls ovn einer Sorte nicht weniger als 3 Stück darunter sind nimmt er das Angebot an, andernfalls lehnt er es ab.

a) Prüfen Sie, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Elektrohändler ein ordnungsgemäßes Angebot fälschlicherweise ablehent.

b) Untersuchen Sie mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Angebot fälschlicherweise angenommen wird, wenn es doppelt so viele 40-Watt-Birnen enthält.

Meine Ideen:
Leider habe ich zu dieser Aufgabe kaum einen Ansatz. Ich kann nicht einmal entscheiden, was für ein Test hier vorliegt. Ob er zweiseitig oder einseitig ist.

Meine Tendenz geht aber eher in Richtung zweiseitig.

Ansonsten ist:

$\begin{eqnarray*} p=0.5<br /> <br /> n=10<br /> <br /> \alpha=\text{?}<br /> <br /> k<3 \end{eqnarray*}$

Wenn es ein zweiseitiger Test ist würde ich die Hypothesen so aufstellen:

$\begin{eqnarray*} H_0: p=0.5<br /> <br /> H_1: p\neq 0.5<br /> \end{eqnarray*}$
Ich bin mir aber sehr unsicher.

Zu b) habe ich noch weniger Ansätze außer, dass n auf 20 anwächst. Aber wie ist das mit den Wahrscheinlichkeiten. Die sollten sich ja auch verändern.

zu 1/3 und 2/3

Ich hoffe jemand kann mir hierbei helfen.

Vielen Dank im Voraus.

Mfg

20.08.2012, 08:27

Kasen75

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Hallo,

meine Idee ist folgende:

Erstmal muss man erläutern, warum man die Binomialverteilung annehmen kann. Warum?
Ich würde die Hypothesen so lassen, wie du sie aufgestellt hast.

zu a)

Der Elektrohändler lehnt ab, wenn er 2 oder weniger Glühbirnen einer Sorte zieht. Und er lehnt ab, wenn er 8 oder mehr Glühbirnen einer bestimmten Sorte zieht. Denn wenn er 7 40-Watt Glühbirnen gezogen hat, kann sich das Großunternehmen nicht sicher sein, dass er annimmt. Er hat zwar mehr als zwei 40-Watt Birnen gezogen, er kann aber immer noch 0-2 60-Watt Birnen ziehen. Also muss man beide Wahrscheinlichkeiten berücksichtigen.

zu b)

Ich sehe nicht, dass sich der Stichprobenumfang verdoppelt. Sehr wohl sehe ich, dass sich die Wahrscheinlichkeiten der einen Sorte verdoppeln; so wie von dir angegeben.

Deine Nullhypothese wäre p=2/3 Also sollte er jeweils 7 bzw. 3 der jeweiligen Sorten ziehen. Er nimmt aber auch Ergebnisse dazwischen an. Damit kann man die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass er fälschlicherweise annimmt.

Soweit meine Idee. smile

smile

Mit freundlichen Grüßen.

20.08.2012, 14:33

Gast11022013

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Ah ok. Das hilft mir schonmal viel fürs Verständnis weiter. Freude

Freude

Also die Binomialverteilung kann man annehmen, weil (wir in der Schule bisher nichts anderes gemacht haben Augenzwinkern

Augenzwinkern

) die Wahrscheinlichkeiten, welche Birne man zieht, von einander unabhängig sind. Und man hier wohl die Birnen nach dem Prüfen zurück in die Box legt. Ansonsten wäre es ja nicht Binomialverteilt, weil sich die Wahrscheinlichkeiten von Entnahme zu Entnahme ändern.

Jetzt ist ja die Irrtumswahrscheinlichkeit gesucht. Ich weiß nicht genau, ob ich nun einfach das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ für den links und rechtsseitigen Test aufstellen muss und dann einfach addieren kann.

Ich bin so vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} X:\text{40-Watt-Birnen} \end{eqnarray*}$

linksseitiger Test:

$\begin{eqnarray*} P(X<2)=\frac{\alpha}{2}<br /> <br /> \alpha_{links}=\frac{0,107}{2}=0,0535 \end{eqnarray*}$

rechtsseitiger Test:

$\begin{eqnarray*} P(X>k)=\frac{\alpha}{2}<br /> <br /> 1-P(X<k-1)=\frac{\alpha}{2}<br /> <br /> P(X<k-1)=-\left(\frac{\alpha}{2}-1\right)<br /> <br /> \alpha=-\left(\frac{0,9453}{2}-1\right)<br /> <br /> \alpha_{rechts}=0,52735 \end{eqnarray*}$

Der Ablehnungsbereich sähe ja so aus:

$\begin{eqnarray*} \overline{A}=\{0,...,2\}\cup \{8,...,10\} \end{eqnarray*}$

Ich habe in den Tabellen also um mein Alpha zu erhalten jeweils bei 2 und bei 7 (wegen k-1) abgelesen.

Bis hier hin korrekt?

smile

smile

20.08.2012, 15:23

Kasen75

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Hallo,

bei der a) habe ich bei der linksseitigen Betrachtung dasselbe heraus. Nur dass ich so begonnen hätte:
$\begin{eqnarray*} P(X\leq2)=\frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$

rechtsseitige Betrachtung:
Da aufgrund von p=0,5 die Verteilung symmetrisch ist kommt für $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ logischerweise das gleiche heraus. Den Ablehnbereich hat man hier ja praktisch gegeben. Den hast du am Ende deines Beitrags korrekt wiedergegeben.
Da du jetzt die rechtsseitige Betrachtung machst, ist k das entsprechende Gegenstück zur linksseitigen Betrachtung.

$\begin{eqnarray*} P(x \geq k) = \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$

Was ist k? Und was ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ ?

Mit freundlichen Grüßen.

20.08.2012, 15:31

Gast11022013

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Sehe gerade, dass ich die größer und kleiner gleich Zeichen vergessen habe.

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 8)=\frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$

Und wenn man dies jetzt umstellt zu:

$\begin{eqnarray*} 1-P(X\leq 8-1)=\frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$

hat man k=7

Ich sehe gerade, dass ich oben eine Null zu wenig angegeben habe und irgendwie vergessen habe durch 2 zu teilen. verwirrt

verwirrt

Ich meine

$\begin{eqnarray*} \alpha_r=\frac{0,0547}{2}=0,02735 \end{eqnarray*}$

Edit: Hmm jetzt habe ich glaubig irgendwas durcheinander gebracht. Ich habe $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha-1}{2} \end{eqnarray*}$ gerechnet. Das ist natürlich falsch, aber sonst müsste mein oben genanntes Ergebnis stimmen, wenn ich nicht falsch abgelesen habe.

20.08.2012, 16:59

Kasen75

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Hallo,

dein rechtsseitiger Wert für $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ ist 0,0547=5,47%. Jetzt muss man nicht mehr durch 2 teilen, da dies ja schon $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ ist. Du kannst aber, aufgrund der Symmetrie, gleich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Oder man rechnet den linksseitigen Wert aus. Und addiert ihn demenstprechend.
Bei deinem zweiten Beitrag habe ich was überlesen. Da hast du für den linksseiteigen Wert für $\begin{eqnarray*} P(x \leq k) \end{eqnarray*}$ k=1 genommen (warum auch immer) und dann durch 2 geteilt. Das dividieren durch 2 macht aber keinen Sinn, da du damit schon $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ ausgerechnest hast. Nur mit falschem k. Es heißt ja $\begin{eqnarray*} P(x \leq 2) \end{eqnarray*}$ . Dies beschreibt ja deinen linksseitigen Ablehnungsbereich $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \overline{A}=\{0,...,2\}\cup \{8,...,10\} \end{eqnarray*}$

Kurz gesagt, aufgrund der Symmetrie kannst du jetzt den gesamten Ablehnungsbereich ( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ) indem du z.B. den Wert für $\begin{eqnarray*} 1-P(x \leq 7) \end{eqnarray*}$ nimmst und mit 2 multiplizierst. Oder du rechnest für $\begin{eqnarray*} P(x \leq 2) \end{eqnarray*}$ den Wert aus und addierst ihn zu dem Wert von $\begin{eqnarray*} 1-P(x \leq 7) \end{eqnarray*}$ dazu.

Mit freundlichen Grüßen.

Edit: Bei der b) kannst du gleich am Anfang die Ablehnungs- und Annahmebereiche bestimmen.

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20.08.2012, 18:54

Gast11022013

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Wieso ich bei k=1 abgelesen habe weiß ich gerade auch nicht. Wahrscheinlich die Hitze. Big Laugh

Big Laugh

Also ist $\begin{eqnarray*} \alpha=2\cdot 0.0547\approx 0.11 \end{eqnarray*}$

Ist es hier also allgemein gar nicht notwendig für beide Seiten das Alpha zu bestimmen. Das mit der Symmetrie ist mir zwar bekannt, aber ist dies auch allgemein gültig?

Ich muss hier also nicht $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ bestimmen, weil ich es eigentlich nur benötige wenn ich die Irrtumswahrscheinlichkeit habe um den Wert abzulesen. Ok ich glaube das ist klar geworden. Wenn man genau drüber nachdenkt macht das auch Sinn. Danke. Freude

Freude

zu b)

Wenn wir doppelt so viele 40-Watt-Brinen haben, veränderen sich die Wahrscheinlichkeiten wie oben bereits erwähnt zu 2/3 und 1/3

Muss ich nun den Ablehnungsbereich um 2/3 erhöhen um den neuen zu erhalten?

$\begin{eqnarray*} \overline{A_{neu}}=\{0,...,4\}\cup\{6,...,10\} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Hieße ja, dass wir die Stichprobe nur gelten lassen, wenn wir genau Fünf 40-Watt-Birnen finden. Das halte ich einwenig für unrealistisch.

21.08.2012, 07:09

Kasen75

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Hallo,

ich musst noch mal kurz nachdenken. Ohne gehts irgendwie nicht. Erst mal zu deiner Frage. Die Symmetrie ist hier nur wegen p=0,5 gegeben. Sonst ist die Binomialverteilung nicht symmetrisch.

Jedenfalls ist ja, wie ich schon geschrieben habe, dass Intervall der Ablehnung schon durch den Elektrohändler vorgegeben. Und du hattest es ja schon mal richtig hingeschrieben. Der Annahmebereich ist dann das Intervall dazwischen.

Um jetzt die Frage b) zu beantworten berechnet man den sogenannten $\begin{eqnarray*} \beta-\textrm{Fehler} \end{eqnarray*}$ aus. Du rechnest mit der Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ aus, dass in der Stichprobe die Anzahl der 40-Watt Birnen im Annahmebereich liegt. Mit dieser Wahrscheinlichkeit würde der Händler die Glühbirnen in Bausch und Bogen kaufen, obwohl das Verhältnis 1:2 ist.

Noch mal als Tipp für Intervallrechung bei diskreten Verteilungen:
$\begin{eqnarray*} P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a -1) \end{eqnarray*}$

Wenn du das berechnet hast, kannst du dir überlegen bzw. ausrechnen, wie es bei einer Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ (60-Watt Birnen) aussieht. Wie hoch ist dort der $\begin{eqnarray*} \beta-Fehler \end{eqnarray*}$ ?

Mit freundlichen Grüßen

21.08.2012, 17:35

Gast11022013

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Ist a) so nun richtig?

Auch richtig notatiert, oder gibt es dort auch mängel? Wenn ja bitte darauf hinweisen.

zu b)

Dann ist der Ablehnungsbereich wie in a). Ich muss also gucken mit welchem Signifikanzniveau das Beta in den Bereich {5,6} fällt.

$\begin{eqnarray*} P_{\frac{2}{3}}(5\leq X \leq 6)=P_{\frac{2}{3}}(X\leq 6)-P_{\frac{2}{3}}(X\leq 5-1)<br /> <br /> =0.5593-0.9234 \end{eqnarray*}$

Na ja da käme dann ja was negatives raus.
Die Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray*} P_{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ müsste doch eigentlich gleich sein, da es ja bloß umgekehrt ist und ich in der Tabelle generell mit der Gegenwahrscheinlichkeit von 1/3 ablese.

Auf dem Zettel wo ich die Aufgabe gerechnet habe, habe ich mir zu dieser Aufgabe eine Lösung notiert. Sie lautet 0.697.

21.08.2012, 17:57

Kasen75

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Hallo Gmasteflash,

beschäftigen wir uns erstmal mit dem Annahmebereich. Die anderen Fragen klären wir später. Du hattest geschrieben:

Zitat:

Der Ablehnungsbereich sähe ja so aus:

$\begin{eqnarray*} \overline{A}=\{0,...,2\}\cup \{8,...,10\} \end{eqnarray*}$

Was ist jetzt der Annahmebereich?

Die a) ist soweit richtig. Du hast $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bestimmt. Dies hast du getan, indem du erst $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ bestimmt hast. Mit der Argumentation, dass bei p=0,5 die Binomialverteilung symmetrisch ist hast du dann $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bestimmt. Soweit richtig.

Mit freundlichen Grüßen.

21.08.2012, 17:59

Gast11022013

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geschockt

Der Annahmebereich ist natürlich {3,4,5,6,7}

Edit: Ich hatte mich ausversehen auf meinen später angegebenen falschen Ablehnungsbereich bezogen.

21.08.2012, 18:26

Kasen75

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Mit diesem richtigen Freude

Freude

Annahmebereich kannst du wie beschrieben den beta-Fehler ausrechnen:

Um jetzt die Frage b) zu beantworten berechnet man den sogenannten beta-Fehler aus. Du rechnest mit der Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ aus, dass in der Stichprobe die Anzahl der 40-Watt Birnen im Annahmebereich liegt. Mit dieser Wahrscheinlichkeit würde der Händler die Glühbirnen in Bausch und Bogen kaufen, obwohl das Verhältnis 1:2 ist.

21.08.2012, 18:43

Gast11022013

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Ok.

Also:

$\begin{eqnarray*} P_{\frac{2}{3}}(3\leq X \leq 7)=P_{\frac{2}{3}}(X\leq 7)-P_{\frac{2}{3}}(X\leq 3-1)<br /> <br /> =0,2991-0,9966<br /> <br /> =-0,6975 \end{eqnarray*}$

Kann ich hier das negative Ergebnis einfach "ignorieren"?

Sozusagen wie als ob ich es in Betragsstichen hätte.
Das Ergebnis ist anscheinend ja korrekt. Freude

Freude

Vielen, vielen Dank für deine Unterstützung.

21.08.2012, 19:20

Kasen75

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Hallo,

ich glaube du hast die Lesevorschrift der Tabelle nicht richtig interpretiert. Wenn bei Dir nur Werte bis P=0,5 aufgeführt sind, dann bekommst du die Werte für p>0 so:

Du schaust dann in der Spalte für (1-p) was ja dann wieder < 0,5 ist. Dann liest du den Wert für $\begin{eqnarray*} P(x \leq k) \end{eqnarray*}$ ab und ziehst ihn von 1 ab. Wenn man das für die obere und untere Grenze gemacht hat, kommt dann bei mir so ca. $\begin{eqnarray*} \Large{\textcolor{red}{+}} \end{eqnarray*}$ 70,1 % raus. Aber man muss ja nicht zu genau sein. Positiv muss es aus zweierlei Gründen sein. Erstens sind Wahrscheinlichkeiten niemals negativ. Zweitens ist die Verteilungsfunktion monoton steigend. Wird x größer, wird die Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray*} x\leq k \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall nicht kleiner.

Aber insgesamt scheint ja Alles klar zu sein. Freut mich, dass ich Dir helfen konnte. smile

smile

Mit freundlichen Grüßen.

21.08.2012, 19:37

Gast11022013

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Das Wahrscheinlichkeiten immer positiv sind ist mir bekannt. Big Laugh

Big Laugh

Deshalb ja auch meine Verwirrung. Ich hoffe diese Aufgabe ist mir nun klar.

Wink

Wink

21.08.2012, 19:48

Kasen75

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Wenn du noch mal drüber schaust auf jeden Fall. Falls Dir noch was auffällt kannst du ja noch mal nachfragen.

Wink

Wink

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