Herleitung der Beziehung zwischen sinus und dem Vektorprodukt

20.08.2012, 15:27

dontgetit

Herleitung der Beziehung zwischen sinus und dem Vektorprodukt

Meine Frage:
Hallo, ich kann einfach keine Herleitung der Beziehung zwischen sinus und dem Vektorprodukt finden. Dabei geht es mir im Speziellen darum, wieso man sagen kann, dass der Betrag der miteinander gekreuzten Vektoren a und b das gleiche ist wie die Multiplikation der Vektoren a und b mit sin(alpha).

Meine Ideen:
Ich entschuldige mich dafür, dass keine Formel da ist, aber ich kann die Formel einfach nicht einfügen. Ich bin soweit gekommen, dass ich verstehe, wie das sinus in die Gleichung kommt, aber weiter leider nicht. Danke smile

20.08.2012, 19:19

Dopap

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Skalarprodukt

In Physik ist Arbeit = Kraft x Weg. damit das auch bei Vektoren stimmt definiert man:

$\begin{eqnarray*} W=\vec F \cdot \vec s = |\vec F| | \vec s| \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$

Dies lässt sich überaschenderweise in kartesischen Koordinaten einfach ermitteln.

Kreuzprodukt
Nun gibt es noch das Drehmoment von Kraft und Hebelarm. Das Ergebnis sollte ein Vektor sein, der auf beiden senkrecht steht, mit:

$\begin{eqnarray*} |\vec M | = |\vec s \times \vec F |=|\vec s| | \vec F| \sin(\alpha) \end{eqnarray*}$

sind kartesische Koordinaten vorgegeben, steht es jedem frei, mit dem Skalarprodukt die Beträge und den $\begin{eqnarray*} \cos (\alpha) \end{eqnarray*}$ zu ermitteln und in obiger Formel einzusetzen.

Die Frage ist nun wiederum, ob sich der Vektor direkt aus den kartesischen Koordinaten berechnen lässt. Ja das ist der Fall, aber die Formel ist doch wesentlich komplizierter.

Die Herleitung könnte ich aber nicht aus dem Stegreif liefern.

21.08.2012, 00:24

DerDepp

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RE: Herleitung der Beziehung zwischen sinus und dem Vektorprodukt
Hossa Augenzwinkern

Es gilt die folgende Identität:

$\begin{eqnarray*} (\vec a\times\vec b)^2=a^2b^2-(\vec a\cdot\vec b)^2 \end{eqnarray*}$

Das kann man leicht nachrechnen, indem man z.B. die linke und rechte Seite der Gleichung komponentenweise ausrechnet und die Ergebnisse miteinander vergleicht.

Vom Skalarprodukt ist bekannt, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec a\cdot\vec b=ab\,\cos\varphi \end{eqnarray*}$

Wobei phi der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist. Dies oben eingesetzt liefert:

$\begin{eqnarray*} (\vec a\times\vec b)^2=a^2b^2-a^2b^2\,\cos^2\varphi=a^2b^2(1-\cos^2\varphi)=a^2b^2\,\sin^2\varphi \end{eqnarray*}$

Und damit gilt:

$\begin{eqnarray*} \left|\vec a\times\vec b\right|=ab\,\sin\varphi \end{eqnarray*}$

21.08.2012, 00:45

Dopap

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RE: Herleitung der Beziehung zwischen sinus und dem Vektorprodukt

Zitat:

Original von DerDepp

Es gilt die folgende Identität:

$\begin{eqnarray*} (\vec a\times\vec b)^2=a^2b^2-(\vec a\cdot\vec b)^2 \end{eqnarray*}$

Das kann man leicht nachrechnen, indem man z.B. die linke und rechte Seite der Gleichung komponentenweise ausrechnet und die Ergebnisse miteinander vergleicht.

Das ist der schwierige Teil der Ausführung. Der Rest geht klar.
Ausgerechnet der wird unter... wie man leicht zeigen kann... versteckt(?)

Komponentenweises berechnen der linken Seite liegt noch nicht vor, wenn man von der Definition ausgeht.

Wie kommt dann die Identität zustande?

21.08.2012, 11:08

riwe

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RE: Herleitung der Beziehung zwischen sinus und dem Vektorprodukt
das sehe ich genauso:
Der Depp setzt voraus, was man beweisen soll.

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Herleitung der Beziehung zwischen sinus und dem Vektorprodukt

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