Umkreis um Kreis und Ellipse

21.08.2012, 11:13

Osho

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Umkreis um Kreis und Ellipse

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich hab folgendes Problem:

Ich soll den Kreis2 bestimmen, der einen kleineren, in ihm liegenden, Kreis1 und eine in ihm liegende Ellipse tangiert.

Gesucht sind daher: Mittelpunkt oder Durchmesser von Kreis2 oder die Tangentialpunkte, bzw. nur einer, mit der Ellipse.
Allerdings ändern sich alle Maße, weshalb ich für eine Anleitung zu einer allgemeinen Lösung sehr dankbar wäre. Die Daten hier gehören nur zu einem von sehr vielen Fällen.

Gegeben: Alle Mittelpunkte liegen auf der X-Achse

Bezüglich der Ellipse:
$\begin{eqnarray*} a^{2} * b^{2} = b^{2} * x^{2} + a^{2} * y^{2} \end{eqnarray*}$
Mittelpunkt (0|0)
a (vertikale ausdehnung): 698.5
b (horizontale ausdehnung): a*cos(ö): 400.592
ö (drehwinkel des kreises): 55.005°

Bezüglich dem Kreis1:
$\begin{eqnarray*} r^{2} = (x-x_{M})^{2}+y^{2} \end{eqnarray*}$
Mittelpunkt (-443.365|0)
Durchmesser: 508

Bitte helft mir, ich weiß nicht mehr weiter.. :/

Meine Ideen:
Ich habe die Kreis2-Gleichung mit der Ellipsengleichung gleichgesetzt.
-> keine Lösung

Ich habe die Steigungen von Kreis2 und Ellipse gleichgesetzt.
-> keine Lösung

Ich probiere gerade Dreiecks- und Winkelabhängigkeiten aus.
-> bisher keine Lösung

21.08.2012, 11:37

riwe

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RE: Umkreis um Kreis und Ellipse
was verstehst du denn unter dem drehwinkel eines kreises verwirrt

verwirrt

ich dachte bis jetzt, ein kreis sei resistent gegen drehungen Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.08.2012, 11:52

Osho

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Wenn du einen Kreis um eine seiner Achsen drehst, wird der Kreis zur ellipse. Ein Kreis ist sozusagen eine Spezialform der Ellipse..

Ist auch eigentlich eher unrelevant für die eigentliche Fragestellung Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.08.2012, 12:35

Osho

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Bitte den Drehwinkel ö einfach ignorieren..

21.08.2012, 12:50

riwe

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bei mir schaut das so aus verwirrt

verwirrt

21.08.2012, 12:58

Osho

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Bei mir auch, ich hab die Skizze aber mit Paint erstellt, nicht mit Inventor..
Ist in deiner Skizze jetzt irgendwas besonderes drin, was einem die Lösung näher bringt?
In Inventor war die Skizze nämlich voll bestimmt, also muss es einen mathematischen Lösungsweg geben, den ich leider nicht finde :/
Und Mathcad spuckt auch nix gscheites aus..

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21.08.2012, 13:07

Osho

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Ich sitz da schon seit heut morgen um 8:30 dran, aber mir will partout nichts einfallen unglücklich

unglücklich

21.08.2012, 13:34

riwe

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natürlich habe ich das ganze berechnet unglücklich

unglücklich

man muß halt das richtige "eingeben".

1) kreis - kreis: das ist eine einfache geomatrische/ arithmetische beziehung zwischen den radien und mittelpunktskoordinaten
2) kreis - ellipse:
2.1) gemeinsame schnitt/berührpunkte
2.2) gleiche steigung der tangente in 2.1)

21.08.2012, 14:01

Osho

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Danke erstmal für deine bisherigen Antworten. Ich hab's jetzt nochmal versucht und hänge nach einsetzen der Ellipsen in die Kreisgleichung hier fest:

$\begin{eqnarray*} r^2-y^2=(a^2*b^2-a^2*y^2)/b^2-2*x_M*sqrt((a^2*b^2-a^2*y^2)/b^2)+x_M^2 \end{eqnarray*}$

Wenn du das alles ausgerechnet hast, würde es dir was ausmachen, stelltest du den Rechenweg hier online?

21.08.2012, 14:45

Osho

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So, dann auch nochmal die Skizze, wie sie sein soll. Mit Inventor erstellt und bemaßt. Da sieht man auch die korrekte Lösung, leider nicht den Lösungsweg..

Sorry Werner, deine Skizze ist nicht ganz korrekt Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.08.2012, 15:39

riwe

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Zitat:

Original von Osho
Danke erstmal für deine bisherigen Antworten. Ich hab's jetzt nochmal versucht und hänge nach einsetzen der Ellipsen in die Kreisgleichung hier fest:

$\begin{eqnarray*} r^2-y^2=(a^2*b^2-a^2*y^2)/b^2-2*x_M*sqrt((a^2*b^2-a^2*y^2)/b^2)+x_M^2 \end{eqnarray*}$

Wenn du das alles ausgerechnet hast, würde es dir was ausmachen, stelltest du den Rechenweg hier online?

was ist das für ein ... ????

können tät ich schon, aber dürfen tu ich net unglücklich

unglücklich

lies das boardprinzip!

mit der gesuchten mittelpunktskoordinate t und dem gesuchten radius R, sowie m und r für den gegebenen kreis:

$\begin{eqnarray*} 1) \quad{ }a^2(x-t)^2+a^2y^2=a^2R^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2)\quad{ } b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 \end{eqnarray*}$

subtraktion liefert doch sofort die x-koordinate des BERÜHRpunktes.
da es sich um einen BERÜHRpunkt handelt, folgt, dass die diskriminante D = 0.
daraus ergibt sich eine beziehung zwischen R und t

die 2. bekommst du, wenn du 1.1) aus meinem vorigen beitrag beachtest

zu deinem letzten beitrag:
ich freue mich immer, wenn jemand alles besser weiß, aber nicht, warum er es besser weiß.
zum heulen traurig

traurig

meine skizze ist keine skizze, sondern eine völlig korrekte grafik (mit deinen maßen aus dem 1. beitrag)

nur komisch, dass meine rechnung trotzdem zu stimmen scheint, naja mach du weiter

21.08.2012, 16:05

Osho

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Danke Werner !!

An Erweitern und Subtraktion hab ich nicht gedacht.

Ich schau ob ich's jetzt hinbekomm, bis dahin tausend Dank, Problem gelöst. Gott

Gott

22.08.2012, 16:32

Osho

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So, ich habs jetzt etliche Male probiert, aber wieder nicht hinbekommen. Ich scheitere immer daran, dass ich drei Variablen und zwei Konstanten habe, also in meinen Augen eine unterbestimmte Gleichung. :/

$\begin{eqnarray*} I: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2(x-t)^2+a^2b^2-b^2x^2=a^2R^2 \end{eqnarray*}$

Wärst du so freundlich, mir zu erklären, wie du durch Subtraktion "einfach so" die X-Koordinate des Tangentialpunktes erhältst?? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} II: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2(x-t)^2+a^2y^2=a^2R^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} III: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2b^2-b^2x^2=a^2y^2 \end{eqnarray*}$

Subtrahierst du II von III oder III von II? Oder setzt du sie gleich?
Ich wusste ja schon vorher, dass das niedersächsische Abitur nix taugt, aber dass es so schlecht ist...

Gruß, Osho

22.08.2012, 17:42

riwe

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wieso subtrahierst du nicht einfach die beiden gleichungen, so wie ich sie oben hingemalt habe.
um weiterem wahnsinn vorzubeugen: zuesrt mußt du (1) ausmultiplizieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.08.2012, 10:38

Osho

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Nach ausmultiplizieren und umstellen bin ich bei

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{2t\pm\sqrt{4t^2-4\frac{a^2-b^2}{a^2}(t^2+b^2-R^2)}}{2\frac{a^2-b^2}{a^2}}=\frac{a^2(2t\pm\sqrt{4t^2-(4t^2+4b^2-4R^2)\frac{a^2-b^2}{a^2}})}{2a^2-2b^2}<br /> \end{eqnarray*}$

Da die Diskriminante wie du gesagt hast 0 entspricht, bleibt dann folgendes stehen, korrekt?

$\begin{eqnarray*} <br /> x=\frac{2ta^2}{2a^2-2b^2}<br /> \end{eqnarray*}$

Für die Beziehung zwischen R und t bleibt doch folgende Formel?

$\begin{eqnarray*} <br /> 0=4t^2-\frac{4t^2a^2-4t^2b^2}{a^2}-\frac{4b^2a^2-4b^4}{a^2}+\frac{4R^2a^2-4R^2b^2}{a^2}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> a^2-b^2=t^2+R^2\frac{4a^2-4b^2}{4b^2}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> R=\sqrt{\frac{t^2b^2+b^4-a^2b^2}{a^2-b^2}}<br /> \end{eqnarray*}$

Stimmts soweit?

23.08.2012, 11:39

riwe

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Freude

edit:

leider hast du am schluß einen vorzeichenfehler gemacht

23.08.2012, 12:39

Osho

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Was ich jetzt aber immer noch nicht verstehe ist, wie du damit den Tangentialpunkt oder den Mittelpunkt genau bestimmen kannst. Wenn ich das X in die Ellipsengleichung einsetze, hab ich den Mittelpunkt in Abhängigkeit von Y :/

$\begin{eqnarray*} t^2=\frac{(a^2b^2-a^2y^2)(a^4-2a^2b^2+b^4)}{a^4b^2}=\frac{b^2a^6-2b^4a^4+b^6a^2-a^6y^2+2a^4y^2b^2-a^2y^2b^4}{a^4b^2} \end{eqnarray*}$

Was soll ich denn jetzt mit X bzw. R v t anfangen?, sind ja alle noch abhängig.. verwirrt

verwirrt

Gruß, Osho

23.08.2012, 14:09

Osho

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Ahhh, ich glaub, jetzt hab ich's.. hattest du ja geschrieben.. Kreisgleichung = Kreisgleichung.. Hammer

Hammer

Da bleibt dann ja nur $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ über..

Danke, Danke, Danke

23.08.2012, 16:06

Osho

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Hey Werner, ich komm nicht auf's Ergebnis traurig

traurig

Könntest du mir nochmal Hilfestellung geben?

Ich hab KreisKlein = KreisGroß
und in die Gleichung vom KreisGroß hab ich dann t eingesetzt..

$\begin{eqnarray*} <br /> r^2-(x-xm)^2 = y^2<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> R^2-(x-t)^2 = y^2<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> r^2-(x-xm)^2 = R^2-(x-t)^2<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> r^2-(x-xm)^2 = R^2-\left(x-\sqrt{a^2-b^2-R^2\frac{a^2-b^2}{b^2}}\right)^2<br /> \end{eqnarray*}$

Edit opi: Lange Formel zwecks besserer Lesbarkeit der Seite entfernt, s.u.

Und diese letzte Formel, die kann einfach nicht stimmen / richtig sein.. (ist sie auch nicht) Hilfe

Hilfe

Hilfe

Hilfe

23.08.2012, 16:15

riwe

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außer lang ist deine formel wirklich nix unglücklich

unglücklich

wenn du dir ein bilderl machst, mußt du nix rechnen:

$\begin{eqnarray*} R+t = r + m \end{eqnarray*}$

damit hast du die 2. beziehung zwischen R und t
(außer ein paar "bosheiten" bist du damit fertig)

23.08.2012, 17:27

Osho

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Ich weiß nicht, ob ich Scheuklappen aufhab, aber es klappt bei mir immer noch nicht so recht..

Ich hab jetzt in die Gleichung $\begin{eqnarray*} t+R=m+r \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} R=\sqrt{\frac{t^2b^2+b^4-a^2b^2}{a^2-b^2}} \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

Lösung nach t aufgelöst: $\begin{eqnarray*} t=702.755 \end{eqnarray*}$
Es muss aber sein t=456.527

Was zur Hölle mach ich falsch?? Finger1

Finger1

traurig

Finger1

23.08.2012, 21:00

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

zunächst habe ich gegen deine angabe mit a die achse der ellipse auf der x-achse bezeichnet.
das ist so KONVENTION!!!
aber wie soll denn t = 400 oder so raus kommen verwirrt

verwirrt

verwirrt

der mittelpunkt liegt doch fast in O.

so irgendwie ein letzter versuch:
a= ? (x-achse)
b= ? (y-achse)
m=?
r = ?

24.08.2012, 09:29

Osho

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Ok, also die Ellipse hat folgende Maße:

Mittelpunkt: (0|0)
a(X-Achse): 400.592 (volle breite) bzw. 200.296 (halbe breite)
b(Y-Achse): 698.500 (volle breite) bzw. 349.250 (halbe breite)

Der Kreis sieht so aus:

Mittelpunkt: (-443.365|0)
r : 254

Abhängig davon zur Kontrolle: Der Radius des großen Umkreises beträgt 456.527
Die Tangentialpunkte zwischen Ellipse und Umkreis liegen bei x=118.081
der Tangentialpunkt zwischen kleinem Kreis und Umkreis liegt bei x=(-697.365)

Sonst muss ich vielleicht doch zur Uni fahren..

24.08.2012, 10:12

riwe

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fahr nur

Augenzwinkern

maßstab 1: 100

24.08.2012, 11:07

Osho

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie machst du das, Werner??

Das mit der Uni war nicht drauf bezogen, dass du's nicht kannst, sondern darauf, dass ich's nicht checke.. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich nehme an, die gleiche Vorgehensweise, wie du mir schon gesagt hast..
D.h., der Fehler liegt, wie erwartet, bei mir.
Wahrscheinlich nach deinem Freude

Freude

, oder?

Ich glaub, ab da brauch ich nochmal eine step-by-step-Anleitung, was ich machen muss..
Mittlerweile komme ich mir, und dir wahrscheinlich auch, echt dumm vor..

24.08.2012, 13:58

Osho.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist's so richtig?

$\begin{eqnarray*} <br /> t+\sqrt{\frac{a^2b^2-b^4-b^2t^2}{a^2-b^2}}=m+r<br /> \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nämlich mit $\begin{eqnarray*} b=349.25 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=200.296 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auflöse, bekomme ich als Ergebnis $\begin{eqnarray*} t=386.377 \mp 879.235 \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} a=349.25 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=200.296 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} t=\begin{array}{r} -442.958\\ 188.795 \end{array} \end{eqnarray*}$

Ich check echt nicht, wo ich den Fehler mache...

24.08.2012, 17:11

riwe

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zuerst: kannst du deinen obigen beitrag editieren und die elendslange sinnlose formel löschen. dann hätten wir zumindest den erfolg, das das zeug lesefähiger ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

wie du oben (fast richtig) gerechnet hast, gilt (nach t umgestellt:

$\begin{eqnarray*} (1)\quad{ }t^2=\frac{(b^2-a^2)(R^2-b^2)}{b^2} \end{eqnarray*}$
und wie ich auch schon hergemalt habe, gilt:
$\begin{eqnarray*} (2)\quad{ }t+R=m+r\to t=m+r-R \end{eqnarray*}$

jetzt quadrierst du ZUERST (2) und setzt DANN mit (1) gleich.
damit hast du eine quadratische gleichung in R

tipp: spiegle zum rechnen so, dass m > 0, anschließend brauchst du die vorzeichen von m und t wieder nur umzudrehen.
damit ersparst du dir viel zores
einige bosheiten bleiben eventuell Augenzwinkern

Augenzwinkern

eine frage: WOZU dient den das alles verwirrt

verwirrt

26.08.2012, 20:00

Osho

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Den Beitrag mit der langen Formel kann ich leider nicht editieren, mir wird der Zugang zur Seite verwehrt.. :/
Edit opi: Mir nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Getan.

Das dient der Berechnung zur Überprüfung, ob ein krummes Rohr durch ein langes Loch geschoben werden kann..

Ich versuch mich nochmal dran und poste dann das Ergebnis..

Hätt' ich beinahe vergessen: Dank dir nochmal für den erneuten Post und vor allem für die Geduld, die du mit mir hast.. Respekt

Respekt

27.08.2012, 09:52

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

zur abwechslung könntest du ja auch einmal meine obige frage beantworten unglücklich

unglücklich

27.08.2012, 14:46

Osho

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich doch verwirrt

verwirrt

Ich muss wissen, ob ein jeweiliges Rohr durch ein Loch passt, durch welches man das Rohr nur in einer bestimmten Lage hindurchschieben kann..
Die Rohre ändern sich nämlich andauernd und die Löcher auch. Deshalb versuch ich das mathematisch mit Variablen zu Lösen, sodass ich dann einfach ablesen kann, ob es passt oder nicht. -> Erspart die Modellierung
____________________________________

So. Ich hab's nochmal probiert mit a=200,592 und b=349,25 Kreismittelpunkt bei m=-443,365 und Radius r=254..

$\begin{eqnarray*} <br /> I\quad{}\quad{}\quad{}t^2=\frac{\left(b^2-a^2\right)\left(R^2-b^2\right)}{b^2}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> II\quad{}\quad{}\quad{}t^2=\left(m+r-R\right)^2<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> I in II<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \left((m+r)-R\right)^2=\frac{\left(b^2-a^2\right)\left(R^2-b^2\right)}{b^2}\\<br /> <br /> m^2+2mr+r^2-2R(m+r)+R^2=\frac{\left(b^2-a^2\right)\left(R^2-b^2\right)}{b^2}\\<br /> <br /> b^2\left(m^2+2mr+r^2-2R(m+r)+R^2\right)=\left(b^2-a^2\right)\left(R^2-b^2\right)\\<br /> <br /> b^2\left(m^2+2mr+r^2-2R(m+r)+R^2\right)=b^2\left(R^2-b^2-\frac{a^2R^2}{b^2}+a^2\right)\\<br /> <br /> \frac{a^2}{b^2}R^2-\left(2m+2r\right)R=a^2-b^2-m^2-r^2-2mr\\<br /> <br /> <br /> <br /> 0=R^2-\frac{2b^2m+2b^2r}{a^2}R+\frac{-a^2b^2+b^4+m^2b^2+r^2b^2+2mrb^2}{a^2}\\<br /> <br /> p=-\frac{2b^2m+2b^2r}{a^2} \qquad \quad q=\frac{-a^2b^2+b^4+m^2b^2+r^2b^2+2mrb^2}{a^2}\\<br /> <br /> x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}\\<br /> <br /> x_{1,2}=\frac{2b^2m+2b^2r}{2a^2}\pm\sqrt{\left(-\frac{2b^2m+2b^2r}{2a^2}\right)^2-\frac{-a^2b^2+b^4+m^2b^2+r^2b^2+2mrb^2}{a^2}}<br /> <br /> x_{1,2}={254.215 , -1402.304}<br /> \end{eqnarray*}$

Ich mache da noch irgendwo Fehler, oder??

27.08.2012, 17:40

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du mir per PN mitteilst, dass du mir aus datenschutzgründen nicht sagen kannst, wozu das alles dient, fällt es mir schon sehr schwer, mich nach der bisher eh schon mehr als ausgiebigen hilfe weiter mit diesem zeug zu plagen.
ich muß das erst einmal überschlafen!

28.08.2012, 13:07

Osho

Auf diesen Beitrag antworten »

Hilfe ist nicht mehr nötig, dank dir Werner.. Wink

Wink

Der Fehler lag bei mir ganz einfach in der Termumformung.. ich hab vergessen, deine Formeln abzuändern..

Ich hab zwei Änderungen durchgeführt, dann hat das Ergebnis auch gestimmt..

$\begin{eqnarray*} <br /> Anderung \quad{I}: \quad{} t-R=m-r \qquad{statt} \qquad{t+R=m+r}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> Anderung \quad{II}: \quad{} t^2=\frac{-R^2a^2+a^2b^2-b^4+R^2b^2}{b^2} \qquad{statt} \qquad{t^2=\frac{\left(b^2-a^2\right)\cdot\left(R^2-b^2\right)}{b^2}}<br /> \end{eqnarray*}$

Es lag wahrscheinlich die ganze Zeit über an den Vorzeichen Big Laugh

Big Laugh

Deshalb jetzt entgültig: Problem solved

Herzlichen Dank an riwe / Lehrer

Lehrer

Werner

28.08.2012, 13:39

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Osho
Hilfe ist nicht mehr nötig, dank dir Werner.. Wink

Wink

Der Fehler lag bei mir ganz einfach in der Termumformung.. ich hab vergessen, deine Formeln abzuändern..

Ich hab zwei Änderungen durchgeführt, dann hat das Ergebnis auch gestimmt..

$\begin{eqnarray*} <br /> Anderung \quad{I}: \quad{} t-R=m-r \qquad{statt} \qquad{t+R=m+r}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> Anderung \quad{II}: \quad{} t^2=\frac{-R^2a^2+a^2b^2-b^4+R^2b^2}{b^2} \qquad{statt} \qquad{t^2=\frac{\left(b^2-a^2\right)\cdot\left(R^2-b^2\right)}{b^2}}<br /> \end{eqnarray*}$

Es lag wahrscheinlich die ganze Zeit über an den Vorzeichen Big Laugh

Big Laugh

Deshalb jetzt entgültig: Problem solved

Herzlichen Dank an riwe / Lehrer

Lehrer

Werner

wenn man lesen kann, ist man klar in vorteil.
wie oft habe ich denn auf die vorzeichenproblematik hingewiesen geschockt

geschockt

#

naja, gibt ja eventuell noch ein paar bosheiten böse

böse

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