Integration gebrochenrationaler Funktion (2)

21.08.2012, 14:26

svenhk1990

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Integration gebrochenrationaler Funktion (2)

Leider ist noch eine Aufgabe bei der ich nicht weiter komme aufgetaucht.

$\begin{eqnarray*} \int \! (1-3t^2)\sqrt{1+t^2} \, dt \end{eqnarray*}$

Hier stehe ich leider mit meinen Integraltafel genauso dumm da.
Habt ihr hier vielleicht auch einen Tipp?
Danke vorab smile

smile

21.08.2012, 14:30

Cheftheoretiker

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RE: Integration gebrochenrationaler Funktion (2)
Hi,

probier es mal mit der Substitution:

$\begin{eqnarray*} \rm t=sinhu \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \rm t=tanu \end{eqnarray*}$

21.08.2012, 17:07

svenhk1990

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Ähmmm sinh?
Das macht es für mich leider nicht klarer unglücklich

unglücklich

Ich hätte es auch hier inzwischen mit partieller Integration probiert!?

21.08.2012, 18:01

Cheftheoretiker

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Ja, besonders schön wird der Ausdruck danach auch nicht und man müsste anschließend noch partiell integrieren. Eventuell kennt ja jemand anderes einen besseren Weg. smile

smile

21.08.2012, 18:49

Calvin

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RE: Integration gebrochenrationaler Funktion (2)
Ich würde das Integral zunächst aufsplitten

$\begin{eqnarray*} \int \! (1-3t^2)\sqrt{1+t^2} \, \dd t = \int~\sqrt{1+t^2}\,\dd t -3\int~t^2\sqrt{1+t^2}\,\dd t \end{eqnarray*}$

Das erste Integral lässt sich mit der bereits genannten Substitution $\begin{eqnarray*} t=\sinh{u}=\frac{e^u-e^{-u}}{2} \end{eqnarray*}$ lösen.

Das zweite Integral lässt sich mit partieller Integration gut lösen

$\begin{eqnarray*} \int~t^2\sqrt{1+t^2}\,\dd t=\int~\underbrace{t}_{u}\cdot \underbrace{t\sqrt{1+t^2}}_{v'}\,\dd t \end{eqnarray*}$

Grundsätzlich bietet das Integral aber viele Möglichkeiten für Rechenfehler. Deshalb bin ich gespannt, ob es noch weitere Ansätze gibt smile

smile

22.08.2012, 10:07

svenhk1990

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@ Calvin:

Wie findest du denn für v´ die Stammfunktion???
Ich habe u und v´ einmal getauscht. Der Ausdruck wird dadurch leider nicht besser unglücklich

unglücklich

Und warum den sinh??? tut es nicht "einfach": $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+x^2} \end{eqnarray*}$ ?

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22.08.2012, 10:33

Leopold

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Nein, Calvin hat schon recht. Du mußt die partielle Integration so beginnen:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{t}_{u} \cdot \underbrace{t \sqrt{1+t^2}}_{v'} \end{eqnarray*}$

Und um $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ zu finden, beachte:

$\begin{eqnarray*} v' = t \sqrt{1+t^2} = \frac{1}{2} \cdot \underbrace{2t}_{w'} \cdot \sqrt{\underbrace{1+t^2}_{w}} \end{eqnarray*}$

Da steckt also eine Substitution dahinter.

Siehe aber auch hier.

22.08.2012, 11:03

svenhk1990

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$\begin{eqnarray*} v' = t \sqrt{1+t^2} = \frac{1}{2} \cdot \underbrace{2t}_{w'} \cdot \sqrt{\underbrace{1+t^2}_{w}} \end{eqnarray*}$

Damit kann ich leider nicht viel anfangen. Dient dies dazu die Stammfkt. zu finden?

22.08.2012, 11:23

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \int w'(t) \cdot f \left( \, w(t) \, \right) ~ \dd t = \int f(x) ~ \dd x \ \ \text{mit} \ \ x = w(t) \end{eqnarray*}$

Das ist die Substitutionsregel!

22.08.2012, 13:01

svenhk1990

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Das heißt also ich muss mittels partieller Integration einen Teil des Integrals lösen.
Diesen Teil mittels einer Substitution noch einmal vor dem partiellen Integrieren bearbeiten?
Bzw. kann ich nach Anwenden dieser"Substitutionsregel" mein v´aufleiten!?

Hab ich das vom Grundgedanken her richtig verstanden???

22.08.2012, 18:17

Calvin

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Ja, so war das gemeint.

23.08.2012, 10:17

svenhk1990

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Hallo,
ich bin jetzt etwas weiter gekommen.
Hab jetzt verstanden, wie ich die Stammfunktion von v´finde.

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{(1+t^2)^3} }{3} \end{eqnarray*}$

und u´wäre 1
Nochmal meine Ausgangsformel:
$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{1+t^2} \, dt \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -3*\int \! t^2*\sqrt{1+t^2} \, dt \end{eqnarray*}$
Das linke Integral löse ich mittels Integraltafel, das rechte mittels partieller Integration.
Wenn ich jetzt partiell integriere, sieht es bei mir wie folgt aus:
Der rechte Ausdruck wird "vereinfacht" zu: $\begin{eqnarray*} t*t\sqrt{1+t^2} \end{eqnarray*}$

t= U und der Wurzelausdruck =V´

$\begin{eqnarray*} t*\frac{\sqrt{(1+t^2)^3} }{3} -\int \! 1*\frac{\sqrt{(1+t^2)^3} }{3} \, dt \end{eqnarray*}$

Wie kann ich jetzt fortfahren? (Das neue Integral macht mir Probleme). Ist bis hierher ein Fehler ersichtlich?

24.08.2012, 18:51

Calvin

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Zur Info: Ich werde mir das später mal anschauen.

24.08.2012, 19:54

Calvin

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Bis hierhin sehe ich keine Fehler. Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} t=\sinh{u} \end{eqnarray*}$ kannst du den letzten Integrand zu $\begin{eqnarray*} \cosh^4{u} \end{eqnarray*}$ umformen. Das kann man sicher auch noch lösen. Aber schön ist es nicht. Ich muss also meine ursprüngliche Aussage "lässt sich gut lösen" revidieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bleibt eigentlich nur noch die Frage, wer dir dieses Monster als Aufgabe gegeben hat?

25.08.2012, 10:31

svenhk1990

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Zu deiner Frage wer sowas "aufgibt". Eine Professorin die im 2.Semester Maschbau. höhere Mathematik ließt.

So siehts nach der partiellen Integration und wieder zusammen gesetzt aus:

$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{1+x^2} \, dx -3\left[t*\frac{\sqrt{(1+t^2)^3} }{3} -\frac{1}{3} \int \! {\sqrt{(1+t^2)^3} } \, dx \right] \end{eqnarray*}$

Jetzt scheint´s mir einfach.

$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{1+x^2} \, dx \end{eqnarray*}$ gibts als Grundintegral

$\begin{eqnarray*} \int \! {\sqrt{(1+t^2)^3} } \, dx \end{eqnarray*}$ auch ein Grundintegral

Damit wäre es doch jetzt ohne Substitution gelöst worden oder?
Ich verstehe leider nicht warum ich t=sinh sagen,...
Machts für mich nicht leichter :/

25.08.2012, 11:34

Calvin

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Zitat:

Original von svenhk1990
$\begin{eqnarray*} \int \! {\sqrt{(1+t^2)^3} } \, dx \end{eqnarray*}$ auch ein Grundintegral

Kannst du mir dieses Grundintegral bitte zeigen smile

smile

Mal abgesehen davon meinst du sicher dt am Ende. Sonst wäre es wirklich einfach Big Laugh

Big Laugh

25.08.2012, 12:47

svenhk1990

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$\begin{eqnarray*} \int\! \sqrt{(a^2+x^2)^3} \, dx \end{eqnarray*}$

Oder täusch ich mich?

Ja ich meinte dt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.08.2012, 01:48

Calvin

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Es ging mir um eine zugehörige Stammfunktion. Ist die in deiner Formelsammlung aufgelistet?

26.08.2012, 15:42

svenhk1990

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Ja die Stammfunktion ist auch angegeben.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\left[x\sqrt{(a^2+x^2)^3}+\frac{3}{2}a^2x\sqrt{a^2+x^2}+\frac{3}{2}a^4*arsinh\frac{x}{a} \right] \end{eqnarray*}$

Ist zwar danach wie ich finde ein sehr langer und unübersichtlicher Ausdruck aber lösbar glaub ich verwirrt

verwirrt

Freude

26.08.2012, 15:48

Calvin

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OK, wenn du dafür eine Stammfunktion angegeben hast, kannst du sie natürlich auch nutzen. Als Grundintegral würde ich es trotzdem nicht bezeichnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deinem letzten Satz stimme ich uneingeschränkt zu. Man muss wirklich aufpassen, dass man nicht den Überblick verliert. Da würde mich mal die Musterlösung deiner Professorin interessieren. Vielleicht gibt es ja noch einen Ansatz, der hier nicht genannt wurde.

26.08.2012, 19:03

svenhk1990

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Also die Musterlösung wäre:

$\begin{eqnarray*} \frac{7}{8} t\sqrt{1+t^2}+\frac{7}{8}arsinh(t)- \frac{3}{4}t\sqrt{(1+t^2)^3} +C \end{eqnarray*}$

Was ich deinen Antworten jetzt so entnehmen kann ist das diese Aufgabe schon zu den schwereren zählt oder hab ich das falsch verstanden?

26.08.2012, 19:12

Calvin

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Bezüglich der Musterlösung hast du mich falsch verstanden. Es ging mir um den vollständigen Lösungsweg.

Ich finde dieses Integral schon sehr schwierig, weil es viele verschachtelte Schritte enthält, die mit unterschiedlichen Integrations-Regeln gelöst werden.

27.08.2012, 09:28

svenhk1990

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Einen Lösungsweg haben wir zu keiner Aufgabe bekommen.
Leider nur die nackten Ergebnisse.
Trotzdem danke für dein Interesse!! Freude

Freude

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