Eigenwerte berechnen - Vereinfachung? |
| 22.08.2012, 15:12 | MatheBlubb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Eigenwerte berechnen - Vereinfachung? Gegeben ist folgende Matrix: -2 2 -3 2 1 -6 -1 -2 0 Daraus würde das char. Polynom -(lambda)³ - (lambda)² -21*(lambda) +45 = 0 folgen. Meine Ideen: Dazu soll man die Eigenwerte + Vektoren berechnen. So weit so gut. Wie man das rechnet ist mir auch klar, da aber daraus logischerweise eine Formel mit (lambda)³ rauskommt, würde es mich interessieren, ob das ganze auch zu vereinfachen wäre. Meine Idee war, das ich die Matrix via Vertauschen der 1. und 3. Zeile und danach ein paar Umformungen auf eine Dreiecksmatrix bringe. Die würde dann so aussehen: 5 0 0 6 -3 0 -2 2 -3 Daran kann ich ja direkt die 3 möglichen Lambda's ablesen! Lambda1 = 5 Lambda2 = Lambda3 = -3. Wären natürlich die gleichen Lambdas, die auch das char. Polynom auflösen würden. Jetzt ist meine Frage: Kann man diese Umformungen immer machen? Oder ist das in meinem Beispiel nur Zufall, dass ich auf das gleiche Ergebnis komme? |
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| 22.08.2012, 17:13 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Probiers doch mal aus und setze 5 ein. Ich glaube kaum, dass da 0 herauskommt, wo drei recht großen negativen Werten gerade mal 45 im positiven gegenübersteht 
Edit: Will sagen: Dein charakteristisches Polynom stimmt nicht ganz. Prinzipiell kommt es darauf an, was für Umformungen Du vornimmst. Ähnliche Matrizen haben nämlich dieselben Eigenwerte, aber nicht jede Umformung macht aus einer Matrix eine ähnliche. |
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| 22.08.2012, 17:43 | MatheBlubb | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast recht, ist natürlich + 21 lambda. Dann kommt man auch auf 0
.-(lambda)³ - (lambda)² +21*(lambda) +45 = 0 -125 - 25 + 105 + 45 = 0 |
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