(1+2i)^100

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23.08.2012, 16:14

Pa-trick

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(1+2i)^100

Hallo,

wie sieht man einfach, dass $\begin{eqnarray*} (1+2i)^{100} \end{eqnarray*}$ nicht reell ist?

Gruß,
Patrick

23.08.2012, 16:30

tmo

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Z.b. so:

$\begin{eqnarray*} x^2-2x+5 \end{eqnarray*}$ ist kein Teiler von $\begin{eqnarray*} x^{100} \pm 5^{50} \end{eqnarray*}$ , was man modulo 5 leicht einsieht.

24.08.2012, 10:07

Mystic

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Etwas einfacher erscheint es mir zu sein, dass man den Ausdruck einfach auswertet... Allerdings natürlich nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ , sondern in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[i]/(5) \end{eqnarray*}$ , d.h., man rechnet in Real-und Imaginärteil mod 5....Insbesondere gilt da die einfache Rechenregel

$\begin{eqnarray*} (x+iy)^5=x+iy \end{eqnarray*}$

was die Auswertung sehr erleichtern sollte...

24.08.2012, 10:29

zyko

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Hallo Pa-trick

wähle für deine Aufgabe besser die Darstellung einer komplexen Zahl
$\begin{eqnarray*} r\cdot e^{i\alpha } \end{eqnarray*}$ .
Diese lässt sich sehr einfach potenzieren und daraus ablesen, ob das Ergebnis echt komplex ist.

24.08.2012, 13:56

tmo

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@zyko: Das Problem an der Sache ist, dass man das Argument (also $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ in deinem Fall) nicht so einfach exakt angeben kann. (Zumindest nicht so, dass man sofort sieht, dass $\begin{eqnarray*} 100\alpha \end{eqnarray*}$ kein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ ist.)

Daher seh ich die algebraisch angehauchten Ansätze von Mystic und mir etwas im Vorteil.

29.08.2012, 11:34

Pa-trick

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Erstmal danke allen für eure Antworten!

@tmo: Für deinen Weg müsste ich dann zeigen, dass x^2+3x kein Teiler von x^100 ist (mod 5). Ohne (mod 5) wäre die Sache klar, aber wie sehe ich, dass dadurch, dass alle Vielfachen von 5 wegfliegen, die Sache dennoch nicht klappen kann.

@Mystic: Das ist eine gute Idee, ich bekomme:
$\begin{eqnarray*} (1+2i)^{100} = (1+2i)^4 = (4i-3)^2 = 3+3i \end{eqnarray*}$
Da wir hier die i noch vorhanden sind, sind es erst recht noch vorhanden, wenn wir nicht mod 5 rechnen.

@zyko: So habe ich es selbst versucht, bevor ich hier etwas schrieb. Jedoch kam ich damit auf keinen grünen Zweig aus Gründen, die tmo bereits angab.

29.08.2012, 14:07

tmo

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Zitat:

Original von Pa-trick
@tmo: Für deinen Weg müsste ich dann zeigen, dass x^2+3x kein Teiler von x^100 ist (mod 5). Ohne (mod 5) wäre die Sache klar, aber wie sehe ich, dass dadurch, dass alle Vielfachen von 5 wegfliegen, die Sache dennoch nicht klappen kann.

$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z/(5))[X] \end{eqnarray*}$ ist doch ein faktorieller Ring. Und die Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} x^{100} \end{eqnarray*}$ steht ja quasi schon da. D.h. jeder Teiler von $\begin{eqnarray*} x^{100} \end{eqnarray*}$ hat die Form $\begin{eqnarray*} x^{j} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq j \leq 100 \end{eqnarray*}$ .

Und $\begin{eqnarray*} x^2+3x \end{eqnarray*}$ ist nunmal nicht von dieser Form.

29.08.2012, 14:14

Pa-trick

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Woher weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z/(5))[X] \end{eqnarray*}$ faktoriell ist?

29.08.2012, 16:08

HAL 9000

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Anmerkung: Ich hab irgendwo mal einen Beweis dafür gesehen, dass $\begin{eqnarray*} (a+bi)^n\not\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b,n\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 1,a\neq 0,b\neq 0, |a|\neq |b| \end{eqnarray*}$ gilt.

Äquivalent formuliert bedeutet dies, dass $\begin{eqnarray*} \arctan\frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ für die genannten $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ stets ein irrationales Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist.

29.08.2012, 16:55

tmo

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Zitat:

Original von Pa-trick
Woher weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z/(5))[X] \end{eqnarray*}$ faktoriell ist?

Ist K ein Körper, so ist $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ sogar euklidisch (Wir können Polynomdivision machen), also insbesondere ein Hauptidealring und insbesondere faktoriell.

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