Unterschiede der Formeln der Z-Transformation

11.07.2004, 19:23	Konny	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschiede der Formeln der Z-Transformation Hi! Es geht um die beiden Formeln der Z-Transformation und darum, wann man welche verwendet, und dass ich denke, das man das in einer Aufgabe nicht sieht. Es gibt da zwei Formeln: Die eine lautet: z= X - µ / sigma und die andere leutet: z= K + 0,5 - µ / sigma Wann wird welche Formal verwendet und wie erkennt man das in einer Aufgabe? Die zweite wird glaube ich immer dann verwendet, wenn man eine binomialverteilung vorliegen hat und die erste bei normalverteilungen (?). Mir ist klar, dass die binomialvert. stetig ist und die normalvert. geometrisch. Da jedoch in Klausuraufgaben verlangt wird, die binomialvert. in eine standardnormoalvert. zu überführen, bze. durch eine Normalvert. anzunähern, macht es ja wohl letztenendes keinen Unterschied, oder (?), denn in der Aufgabenstellung sind die Variablen geometrisch und werden dann, wenn man die Aufgabe rechnet, behandelt als seien sie stetig. Den Thread zum Unterschied zwischen Bin. und Norm. hab ich gelesen, hat mir aber leider nichts gebracht. Ich hoffe, dass es noch einen anderen Erklärungsansatz gibt. Danke! Konny
11.07.2004, 19:56	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Wenn du eine normalverteilte Zufallsgröße mit den Paramertern $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ gegeben hast, also $\begin{eqnarray} X\sim N(\mu, \sigma) \end{eqnarray}$ dann kannst du sie durch die Transformation $\begin{eqnarray} Z=\frac{x-\mu}{\sigma} \end{eqnarray}$ in eine standardnormalverteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray} Z\sim N(1, 0) \end{eqnarray}$ umrechnen und somit die Werte in der Tabelle ablesen. Ist X binomialverteilt mit großem n, dann ist X näherungsweise normalverteilt. Diese Näherung benutzt man vor allem für die kummulierten Wahrscheinlichkeiten bzw. die Dichtefunktion. Wenn du die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X im Histogramm betrachtest, dann ist die Dichtefunktion die Summe der Rechtecksflächen. Die Grundfläche von so einem Rechteck ist dann $\begin{eqnarray} [x-0,5; x+0,5] \end{eqnarray}$ und die Höhe $\begin{eqnarray} P(X=x) \end{eqnarray}$ . Wenn du jetzt $\begin{eqnarray} P(X\leq x)=F(x) \end{eqnarray}$ berechnest, dann summierst du ja bis einschließlich dem Intervall von x, dessen Obergrenze ja x+0,5 ist. Die Ursache hierfür ist, dass die Binomialverteilung nicht stetig ist. Wenn man $\begin{eqnarray} F(X) \end{eqnarray}$ jetzt mit der Normalverteilung annähert, dann berechnet man mit $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ wiederum die Fläche unter dem Graphen. Da du bei der tatsächlichen Binomialverteilung ja die Fläche bis x+0,5 berechnen würdest, musst du das bei der Annäherung auch machen, obwohl es, da $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ stetig ist, auch genauer ginge. Dieses 0,5 heißt in diesem Zusammenhang übrigens Stetigkeitskorrektur. Ich hoffe das war verständlich. Gruß Anirahtak
11.07.2004, 20:21	nfb	Auf diesen Beitrag antworten »
Um nochmal gezielter auf die Frage einzugehen: Eigentlich ist in diesem Zusammengang immer die Formel mit der 0,5-Korrektur richtig.... Wenn Du die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich willst, gilt: $\begin{eqnarray} P(a\leq x\leq b) = \Phi(\frac{b+0,5-\mu}{\sigma }) - \Phi(\frac{a-0,5-\mu}{\sigma }) \end{eqnarray}$ Wenn Du jetzt die Wahrscheinlichkeit für genau einen Wert willst, daher $\begin{eqnarray} a = b \end{eqnarray}$ wird daraus: $\begin{eqnarray} P(x = a) = \Phi(\frac{a+0,5-\mu}{\sigma }) - \Phi(\frac{a-0,5-\mu}{\sigma }) \end{eqnarray}$ Da dieses Interval eine Breite von 1 hat, kannst Du es durch den Wert von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ annähern: $\begin{eqnarray} P(x = a) = \varphi(\frac{a-\mu}{\sigma }) \end{eqnarray}$ hope that helps... nfb
11.07.2004, 20:29	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
@nfb: Was heißt hier denn "in diesem Zusammenhang"? Die Formel mit der Stetigkeitskorrektur ist doch nur richtig, wenn eine Binomialverteilung angenähert werden soll - und das war doch genau die Frage...? Gruß Anirahtak
11.07.2004, 20:52	nfb	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie ich Konny verstanden habe, hat er nur Binomialverteilungen vorliegen, und wundert sich, warum man bei Binomialverteilungen manchmal mit der Korrektur und manchmal ohne die Korrektur rechnet. Und ich denke, dass man bei Binomialverteilungen eigentlich immer mit der Korrektur rechnen muss, die Korrektur aber verschwindet, wenn man die Wahrscheinlichkeit für genau einen Wert ausrechnet. Wie es zu diesem Verschwinden kommt, habe ich oben dargestellt. so long...
11.07.2004, 21:56	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich hab die Frage etwas anders verstanden... Aber egal wie's gemeint war, für beide Fälle steht dann ne richtige Antwort da :-) Gruß Anirahtak
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14.07.2004, 11:54	Konny	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Vielen dank für Eure Antworten! Die Klausur habe ich am Dienstag (gestern) geschrieben, ich hab (in Klausur Binomialverteilung und überhaupüt hatte ich das Gefühl, das die in dem Fall richtig ist) mit 0,5- Korrektur gerechnet. Konny

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