Integral von e-Funktion

25.08.2012, 12:53

stefan.DD

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Integral von e-Funktion

Meine Frage:
Hallo,

ich soll das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (1-x)e^{-ik2\pi x}\, dx \end{eqnarray*}$ lösen.

Meine Ideen:
Nach der Substition von $\begin{eqnarray*} {-ik2\pi x} \end{eqnarray*}$ habe ich

$\begin{eqnarray*} [-\frac{1}{ik2\pi}*(1+\frac{-ik2\pi x}{ik2\pi})*e^{-ik2\pi x} -(-\frac{1}{ik2\pi})*e^{-ik2\pi x}]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

und mit eingesetzten Grenzen $\begin{eqnarray*} \frac {e^{-ik2\pi x}}{ik2\pi} \end{eqnarray*}$ raus. In der Lösung steht aber $\begin{eqnarray*} - \frac {i}{k2\pi} \end{eqnarray*}$ .

Wie komme ich jetzt auf das Endergebnis?

Tschüss und vielen Dank

Stefan

25.08.2012, 13:03

Che Netzer

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RE: kürzen Zähler e
Hallo,

ich glaube, im letzten Bruch in der Stammfunktion müsste der Nenner noch quadriert werden. Das spielt aber eigentlich auch keine Rolle.

Nach dem Einsetzen der Grenzen darf allerdings kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mehr auftauchen.
Außerdem soll sicher $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ sein, oder?

mfg,
Ché Netzer

26.08.2012, 16:26

stefan.DD

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ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
Hallo,

nein, ich denke, dass eine Quadrierung nicht richtig ist, denn die Lösung beinhaltet kein Quadrat.

Ja, das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in der vermeindlich finalen Gleichung ist ein Kopierfehler.

In der Hoffnung, dass jemand den Fehler in meiner Rechnung findet ...

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (1-x) * e^{-ik2 \pi x} \, dx \end{eqnarray*}$

Substitution von:

$\begin{eqnarray*} u=-ik2 \pi x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^{'}=-ik2 \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=-\frac{1}{ik2 \pi } du \end{eqnarray*}$

Umstellung nach x:

$\begin{eqnarray*} x=- \frac{u}{ik2 \pi } \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! ((1-(- \frac{u}{ik2 \pi}) * e^{u} * (-\frac{1}{ik2 \pi })du \end{eqnarray*}$

Vereinfachung der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi } \int_0^1 \! (1+ \frac{u}{ik2 \pi}) * e^{u} du \end{eqnarray*}$

Nach partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi } ([1+ \frac{u}{ik2 \pi}* e^{u}]_{0}^{1} - \int_0^1 \! (\frac{1}{ik2 \pi}) * e^{u} du \end{eqnarray*}$

Vereinfachung des Integrals:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi } ([1+ \frac{u}{ik2 \pi}* e^{u}]_{0}^{1} - (\frac{1}{ik2 \pi}) * \int_0^1 \! e^{u} du \end{eqnarray*}$

Lösung des Integrals:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi } ([1+ \frac{u}{ik2 \pi}* e^{u} - [(\frac{1}{ik2 \pi}) * e^{u} ]_{0}^{1}) \end{eqnarray*}$

Substitution rückwärts:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi } ([1+ \frac{-ik2 \pi x}{ik2 \pi}* e^{-ik2 \pi x} - (\frac{1}{ik2 \pi}) * e^{-ik2 \pi x}]_{0}^{1}) \end{eqnarray*}$

Vereinfachung der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi }([(1-x)* e^{-ik2 \pi x} - (\frac{1}{ik2 \pi}) * e^{-ik2 \pi x}]_{0}^{1}) \end{eqnarray*}$

Grenzen einsetzen:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi }((1-1)* e^{-ik2 \pi 1} - (\frac{1}{ik2 \pi}) * e^{-ik2 \pi 1})-((1-0)* e^{-ik2 \pi 0} - (\frac{1}{ik2 \pi}) * e^{-ik2 \pi 0}) \end{eqnarray*}$

Vereinfachung der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi }(0*e^{-ik2 \pi } - (\frac{1}{ik2 \pi}) * e^{-ik2 \pi})-(1*1-(\frac{1}{ik2 \pi})*1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi }(- \frac{1}{ik2 \pi} * e^{-ik2 \pi}+\frac{1}{ik2 \pi}) \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle bin ich der Meinung, dass ich nicht mehr auf die Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac%20{i}{k2\pi} \end{eqnarray*}$

komme. Wo ist mein Fehler in dieser Rechnung?

26.08.2012, 16:47

Che Netzer

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
Du hast die Grenzen ja gar nicht mitsubstituiert.

Naja, ich hätte darauf auch ganz verzichtet:
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\begin{align*}\int_0^1(1-x)\mathrm e^{-\mathrm ik2\pi x}\mathrm dx&=\left.(1-x)\tfrac1{-\mathrm ik2\pi}\mathrm e^{-\mathrm ik2\pi x}\right\vert_0^1-\int_0^1(-1)\frac1{-\mathrm ik2\pi}\mathrm e^{-\mathrm ik2\pi x}\mathrm dx\\&=\left.(1-x)\tfrac1{-\mathrm ik2\pi}\mathrm e^{-\mathrm ik2\pi x}\right\vert_0^1+\left.\tfrac1{(-\mathrm ik2\pi)^2}\mathrm e^{-\mathrm ik2\pi x}\right\vert_0^1.\end{align*}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$
Übrig bleibt dann tatsächlich nur $\begin{eqnarray*} -\frac{\mathrm i}{2\pi k} \end{eqnarray*}$ .

Bei deiner Rechnung war bis auf die Grenzen und Klammersetzung bis zur vorletzten Zeile alles richtig; danach ist plötzlich ein Summand verschwunden.

26.08.2012, 19:15

stefan.DD

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
Hallo Ché,

vielen Dank, dass du dich der Sache angenommen hast. Ich habe mir die ganze Seite ausgedruckt, um die letzten drei Zeilen (ab Grenzen einsetzen) mit Farben nachzuvollziehen. Leider habe ich immer noch nicht den Fehler gefunden.

Der Therm $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi } \end{eqnarray*}$ bleibt unberührt. Aus $\begin{eqnarray*} (1-1) \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und daher entfällt der nachfolgende Therm $\begin{eqnarray*} e^{-ik2 \pi 1} \end{eqnarray*}$ . Die nächsten beiden Therme $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-ik2 \pi} \end{eqnarray*}$ bleibt ebenfalls unberührt.

Die $\begin{eqnarray*} (1-0) \end{eqnarray*}$ ziehe ich bis in die vorletzte Zeile. Da in der Potenz von $\begin{eqnarray*} e^{-ik2 \pi0 } \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ steht, werden diese beiden Therme $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Wo ist der von dir angesprochene Summand verloren gegangen? Es kann ja nur etwas mit $\begin{eqnarray*} e^{-ik2 \pi} \end{eqnarray*}$ zu tun haben, denn dieser Therm muss ja entfallen, um auf das Ergebnis zu kommen.

Tschüss und vielen Dank

Stefan

26.08.2012, 19:19

Che Netzer

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
Zunächst einmal: Es heißt Term und nicht Therm Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von stefan.DD
Die $\begin{eqnarray*} (1-0) \end{eqnarray*}$ ziehe ich bis in die vorletzte Zeile.

Ja, da steht noch ein $\begin{eqnarray*} 1*1 \end{eqnarray*}$ , das danach aber plötzlich verschwindet.

Für $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{2\mathrm ik\pi} \end{eqnarray*}$ kannst du übrigens auch noch etwas schöneres schreiben.

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26.08.2012, 20:14

stefan.DD

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
Ach, jetzt habe ich es gesehen. Die $\begin{eqnarray*} 1*1 \end{eqnarray*}$ bezieht sich ja auf $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi } \end{eqnarray*}$ .

Damit muss die Gleichung heißen $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi }(- \frac{1}{ik2 \pi} * e^{-ik2 \pi}-(1-\frac{1}{ik2 \pi})) \end{eqnarray*}$ und damit ist auch klar, warum du von einem Summanden geschrieben hast.

Ich nehme an, dass dein Wink mit dem $\begin{eqnarray*} e^{-2ik \pi } \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ik2 \pi } \end{eqnarray*}$ gehen soll, oder?

Dann würde in der Gleichung stehen

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi }(- \frac{1}{ik2 \pi} * \frac{1}{ik2 \pi }-(1-\frac{1}{ik2 \pi})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi }(- \frac{1}{(ik2 \pi)^2} -1+\frac{1}{ik2 \pi}) \end{eqnarray*}$ .

Nach dem sortieren in der Klammer

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi }(-1+\frac{1}{ik2 \pi}-\frac{1}{(ik2 \pi)^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi }(-1-\frac{1}{ik2 \pi}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ik2 \pi}+ \frac{1}{ik2 \pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(ik2 \pi)^2} \end{eqnarray*}$

... und davon hast du ja schon in deiner ersten Hilfestellung geschrieben. Dann war ich ja mit meiner ersten Rechnung (siehe Anfang) nicht so schlecht. Nur wie bekomme ich jetzt das Quadrat gelöst und das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ raus?

Im Anschluss hole ich mit der Erweiterung des Bruchs um $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ nach oben, ziehe das negative Vorzeichen vor den Bruch und erhalte so das Ergebnis.

26.08.2012, 20:23

Che Netzer

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
Die rechnung verstehe ich nun überhaupt nicht geschockt

geschockt

Benutzt du etwas in der Art von $\begin{eqnarray*} \frac1a+\frac1a=\frac1{a^2} \end{eqnarray*}$ ? Dir sollte doch aber klar sein, dass das Unsinn ist, oder?

Naja, $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-2\mathrm ik\pi} \end{eqnarray*}$ ist jedenfalls nicht $\begin{eqnarray*} \tfrac1{\mathrm ik2\pi} \end{eqnarray*}$ .
Die $\begin{eqnarray*} 2\pi\mathrm i \end{eqnarray*}$ -Periodizität der e-Funktion kennst du?

27.08.2012, 13:06

stefan.DD

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
Hallo,

ja, nachdem ich mir die Rechnung noch einmal angeschaut habe, muss ich beipflichten.

Nein, die $\begin{eqnarray*} 2\pi\mathrm i \end{eqnarray*}$ -Periodizität der e-Funktion kenne ich nicht.

Ich kehre gedanklich noch einmal an den Punkt "Vereinfachung der Gleichung:" zurück.

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi }(0*e^{-ik2 \pi } - (\frac{1}{ik2 \pi}) * e^{-ik2 \pi})-(1*1-(\frac{1}{ik2 \pi})*1) \end{eqnarray*}$

Bis hier hin ist alles richtig. Jetzt vereinfache ich die Gleichung zu:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi }(-\frac{1}{ik2 \pi} * e^{-ik2 \pi}-1-\frac{1}{ik2 \pi}) \end{eqnarray*}$

Im Anschluss kann ich die $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -\frac{ik2 \pi }{ik2 \pi } \end{eqnarray*}$ erweitern, um dann $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi } \end{eqnarray*}$ aus der Klammer zu ziehen. Nur bringt das nicht viel.

Da ich nicht ansatzweise eine Idee habe, wie ich mit dem $\begin{eqnarray*} e^{-ik2 \pi} \end{eqnarray*}$ umgehen soll, komme ich auch nicht weiter.

Tschüss und vielen Dank

Stefan

27.08.2012, 13:21

Che Netzer

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
Dann berechne doch mal $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{2\pi k\mathrm i} \end{eqnarray*}$ mit der Eulerschen Formel.

Und du hast übrigens einen Vorzeichenfehler beim Auflösen der inneren Klammer gemacht.

27.08.2012, 16:24

stefan.DD

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
zum Vorzeichenfehler

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi }(-\frac{1}{ik2 \pi} * e^{-ik2 \pi}-1+\frac{1}{ik2 \pi}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-ik2 \pi} \end{eqnarray*}$ kann ich auch in die trigonometrische Form $\begin{eqnarray*} cos (k2 \pi)-isin(k2 \pi) \end{eqnarray*}$ umwandeln, nur was soll mir das bringen?

Tschüss und Danke

Stefan

27.08.2012, 16:30

Che Netzer

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
Jetzt hast du es fast geschafft:
Jetzt musst du es nur noch weiter ausrechnen.
Z.B. ist ja $\begin{eqnarray*} \cos(0)=\cos(2\pi)=1 \end{eqnarray*}$ etc.

27.08.2012, 16:50

stefan.DD

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
$\begin{eqnarray*} e^{-ik2 \pi}=cos(k2 \pi)-isin(k2 \pi)=1-i*0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi }(-\frac{1}{ik2 \pi} * e^{-ik2 \pi}-1+\frac{1}{ik2 \pi}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi }(-\frac{1}{ik2 \pi} * 1-1+\frac{1}{ik2 \pi}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi }(-\frac{1}{ik2 \pi}+\frac{1}{ik2 \pi}-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{ik2 \pi }(-1)=\frac{1}{ik2 \pi }=\frac{1*(-i)}{ik2 \pi *(-i)}=\frac{-i}{k2 \pi}=-\frac{i}{k2 \pi} \end{eqnarray*}$ Tanzen

Tanzen

27.08.2012, 17:02

Che Netzer

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
Genau Freude

Freude

Du kannst dir übrigens auch gleich merken, dass $\begin{eqnarray*} \frac1{\mathrm i}=-\mathrm i \end{eqnarray*}$ .

27.08.2012, 17:06

stefan.DD

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
Dann ist es ja nicht entscheidend, ob da $\begin{eqnarray*} e^{-ik2 \pi} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e^{ik \pi} \end{eqnarray*}$ steht. Sobald ein ganzzahliges Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ in der Potenz steht wird der $\begin{eqnarray*} sin \end{eqnarray*}$ immer dafür sorgen, dass $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ gegenstandslos wird und der $\begin{eqnarray*} cos \end{eqnarray*}$ ist ja bei $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

27.08.2012, 17:08

Che Netzer

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
Die 2 ist da schon entscheidend:
$\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\mathrm i\pi k}=(-1)^k \end{eqnarray*}$ .

27.08.2012, 17:15

stefan.DD

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
Kannst du mir auch dabei helfen?

Fourierreihe - gerade periodisch fortsetzen

27.08.2012, 17:29

Che Netzer

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
Da hast du doch geschrieben, dass du die Lösung selbst gefunden hast verwirrt

verwirrt

27.08.2012, 17:43

stefan.DD

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
Ja, nur diskutiere ich seit gestern mit jemandem, der der Meinung ist, dass die Periodenlänge nur wie im ersten Bild sein kann. Die Periodenlänge von $\begin{eqnarray*} 4 \pi \end{eqnarray*}$ steht aber in der Lösung. Wobei die Prof. meinte, dass Teile der Lösung nicht richtig sind. Nun traue ich der ganzen Sache nicht mehr. Das $\begin{eqnarray*} c_{0} \end{eqnarray*}$ passt mit meiner Berechnung mit $\begin{eqnarray*} 4 \pi \end{eqnarray*}$ aber das $\begin{eqnarray*} c_{k} \end{eqnarray*}$ nicht.

Der Knackpunkt ist wirklich, dass in der Aufgabenstellen "gerade periodisch" steht. Ich bin der Meinung, dass mit "gerade" die Spiegelung an der y-Achse gemeint ist. Daher muss ich das was bis $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ läuft auch bis $\begin{eqnarray*} -2 \pi \end{eqnarray*}$ laufen lassen. Hänge ich dann noch die Bedingung der Periodizität dran, so komme ich auf das untere Bild.

27.08.2012, 18:06

Che Netzer

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RE: ck einer Fourierreihe ermitteln - Integral lösen
"gerade periodisch" ist da sehr vage, man könnte die auch von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ bis sonstwohin auf $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ setzen, wenn man die Eigenschaften beibehält.
Aber da das hier ja ein vollkommen anderer Thread ist und die Formulierung eh zu ungenau ist, befasse ich damit jetzt auch nicht weiter.

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