Definitionsmenge bestimmen - Ungleichung

25.08.2012, 19:26

x^2+1<0

Definitionsmenge bestimmen - Ungleichung

Meine Frage:
Matheübung zum Thema Ungleichungen - Ich sehe meinen Fehler nicht, weis aber, dass meine Lösung falsch ist.
$\begin{eqnarray*} \frac{|x|-1 }{x^{2}-1 } \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Mein Ansatz :
- $\begin{eqnarray*} x \neq +-1 \end{eqnarray*}$
- Fallunterscheidung x>= 0(1.) und x<0 (2.)

1.Fall
$\begin{eqnarray*} x\geq 0 \frac{|x|-1 }{x^{2}-1 } \geq \frac{1}{2} |*(x^{2}-1) \Rightarrow x-1 \geq \frac{1}{2}x -\frac{1}{2} |- \frac{1}{2}x^{2} |+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -\frac{1}{2}x^{2}+x-\frac{1}{2} \geq 0 |:-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^{2}-\frac{1}{2}x +1 < 0 \Rightarrow x_{1,2} = \frac{1}{4}\pm \sqrt{\frac{1}{4}-1} \Rightarrow \sqrt{\frac{1}{4}-1} <0 \end{eqnarray*}$

2.Fall
x<0

....
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1,2} = -\frac{1}{4}\pm \sqrt{\frac{1}{4}-1} \Rightarrow \sqrt{\frac{1}{4}-1} <0 \end{eqnarray*}$
Die logische Lösungsmenge wäre aber {-1<x<1}

Wo ist mein Fehler?

Danke im Vorraus

25.08.2012, 19:42

Dopap

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RE: Definitionsmenge bestimmen - Ungleichung

Zitat:

Original von x^2+1<0

1.Fall
$\begin{eqnarray*} x\geq 0 \frac{|x|-1 }{x^{2}-1 } \geq \frac{1}{2} |*(x^{2}-1) \Rightarrow x-1 \color {red} \geq \color {black} \frac{1}{2}x -\frac{1}{2} |- \frac{1}{2}x^{2} |+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

wenn x>0 ist, dann ist $\begin{eqnarray*} x^2-1 \end{eqnarray*}$ nicht auch grösser Null. dann darfst du nicht ohne Zeichenumkehr durchultiplizieren.

Meine Idee: Fang doch gleich mit |x|>1 an, dann ist $\begin{eqnarray*} x^2-1 \end{eqnarray*}$ immer positiv.

25.08.2012, 19:54

x^2+^<0

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ju59j
okay deinen Einwand habe ich verstanden, nur wie löst das mein Problem?
Ich kenne bisher nur "Schema F" x>=0 und x<0

Wenn ich jetzt die Bedingung von x>0 zu|x|-1>0 --> |x|>1 ändere, wie muss ich dann vorgehen?

25.08.2012, 20:30

Dopap

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das war nur eine Idee. Ich will dich nicht bevormunden.
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Du kannst natürlich nach Schema F vorgehen, nur musst du dann vor dem Schritt der Multiplikation mit x²-1 , sofort die nächste Bedingung hinterherschieben.

Bedingung $\begin{eqnarray*} A_0: x\geq 0 \end{eqnarray*}$
Bedingung $\begin{eqnarray*} A_1: x > 1 \end{eqnarray*}$

beide Bedingungen sind mit und verknüpft und liefern $\begin{eqnarray*} A: x>1 \end{eqnarray*}$

unter dieser Bedingung sprich Definitionsmenge kannst du jetzt ungestraft den Betrag weglassen und ohne Bedenken den Bruch entfernen.

Die zu berechnende Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} L_A^* \end{eqnarray*}$ muss dann noch mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ geschnitten werden um die erste Teilmenge der Lösungsmenge zu erhalten.

25.08.2012, 20:37

HAL 9000

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An sich kommt man unter Nutzung der dritten binomischen Formel blitzschnell ans Ziel: Im Nenner steht ja $\begin{eqnarray*} x^2-1 = |x|^2-1 = (|x|-1)(|x|+1) \end{eqnarray*}$ , d.h. aus der Ungleichung wird nach dem (für $\begin{eqnarray*} |x|\neq 1 \end{eqnarray*}$ gültigen) Kürzen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|x|+1} \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Nun ist der Nenner links stets positiv, so dass man rasch zur

$\begin{eqnarray*} 2 \geq |x|+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \geq |x| \end{eqnarray*}$

kommt, also $\begin{eqnarray*} -1<x<1 \end{eqnarray*}$ unter Berücksichtigung des ja noch immer geltenden $\begin{eqnarray*} |x|\neq 1 \end{eqnarray*}$ .

25.08.2012, 21:02

Dopap

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natürlich richtig, wenn man den Blick hat.

ich gehe meist pragmatisch vor:

eine Gerade y=1 symolisiert |x|, über den Reil rechts mit $\begin{eqnarray*} x \geq \end{eqnarray*}$ schreibe ich:

Betragzeichen fällt weg. Über den Rest: $\begin{eqnarray*} |x| \to -x \end{eqnarray*}$

Die x -Achse symbolisiert x²-1 . Der Teil mit - 1<x<1 erhält den Hinweis:
Ungleichheitszeichen umdrehen. Der Rest(*) :Zeichen lassen.

Blickt man jetzt auf beide Bereiche gleichzeitig, dann entstehen 4 Teibereiche...

das ist zwar etwas dröge, aber bei manchen Aufgaben einfach notwendig.

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(*) edit: natürlich ohne $\begin{eqnarray*} x \in \{-1,1\} \end{eqnarray*}$

25.08.2012, 21:24

x^2+1<0

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Danke für die Hilfe,
HAL 9000
Auf deine Lösung wäre ich im Leben nicht gekommen, da hab ich noch kein Auge für^^ Kann sie aber schon mal nachvollziehen

Dopap, deine Lösung war ebenfalls echt hilfreich, weil ich wieder nach dem alten Schema vorgehen konnte.

Dann kann der Vorkurs ja weiter gehen smile

25.08.2012, 22:18

Dopap

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die "simple" Methode muss man auf jeden Fall "drauf" haben.

klar, hier bei |x|-1 und x²-1 liegt schon etwas in der Luft.

Der Blick kommt dann mit der Übung...

Viel Erfolg im Vorkurs smile

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