Basis im Untervektorraum

26.08.2012, 19:15

N1c0_92

Basis im Untervektorraum

hey ich habe eine Verständnisfrage zu folgender Aufgabe:

ich soll die basis und die dimension des folgenden Untervektorraum im $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ angeben:

$\begin{eqnarray*} U = \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} | x_{1}+2ix_{2}-ix_{3}=0 \right\} \end{eqnarray*}$

Lösung:

$\begin{eqnarray*} x_{2} = \lambda_{2}, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{3} = \lambda_{3}, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1} = -2i\lambda_{2}+i\lambda_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2i\lambda_{2}+i\lambda_{3} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} \end{pmatrix} = \lambda_{2} * \begin{pmatrix} -2i \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_{3} * \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Basis: $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} -2i \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Dim = 2 \end{eqnarray*}$

ist das so richtig? wenn ja, muss hier unbedingt die obere gleichung nach x1 umgestellt werden oder gäbe es auch eine andere möglichkeit die Basis zu berechnen?

26.08.2012, 23:45

Helferlein

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Das stimmt soweit.
Du hättest die Gleichung genau so gut nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ umformen können, $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ist halt nur das einfachste.

27.08.2012, 11:28

N1c0_92

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Zitat:

Original von Helferlein
Du hättest die Gleichung genau so gut nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ umformen können, $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ist halt nur das einfachste.

gut danke, das hat mir bei dem verständnis der aufgabe sehr weiter geholfen smile

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