Dualraum, Dualbasis Erklärung

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b00n13 Auf diesen Beitrag antworten »
Dualraum, Dualbasis Erklärung
Meine Frage:
Ich habe Probleme Dualräume speziell Dualbasen wirklich zu begreifen.

Meine Fragen wären einmal:

Was hat es mir der Dualbasis auf sich, bzw. warum ist sie eine Basis des Dualraums, und was haben die Basisvektoren des Vektorraums damit zu tun. Ich verstehe auch nicht warum man schreibt: b*_i(b_j) = 1 falls i = j, sonst 0, also wenn mir da jemand die Zusammenhänge erläutern könnte wäre das klasse !

Zweitens verstehe ich nicht warum dim V = dim V* gilt, eine Erklärung warum das so ist, eventuell anschaulich würde mich auch sehr glücklich machen ...

Meine Ideen:
Also mir ist bewusst das der Dualraum ein vektorraum über der Menge der Linearformen eines Vektorraums ist. Und das dementsprechend die Elemente des Vektorraums Lineare Abbildungen sind ist mir auch klar, wie die Skalare Multiplikation und die Addition im Dualraum definiert wurde habe ich ebenfalls verstanden, grundlegend fehlen mir also nur Zusammenhänge oder vlt auch nur ein anschauliches Beispiel ...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm den aus der Schule bekannten . Dort ist



die kanonische Basis. Linearformen sind nun nichts anderes als die Terme, die dir bei der Koordinatenform einer Ebene begegnet sind (ohne konstante Glieder), z.B. , genauer: .

Wenn man sich auf die Basis oben bezieht, dann sind ganz bestimmte Linearformen, nämlich



Diese Linearformen "extrahieren" sozusagen die entsprechende Koordinate aus einem Vektor.

Für etwa gilt:



Und Entsprechendes gilt für und : Auf dem "eigenen" Basisvektor nimmt die Linearform den Wert , auf den "fremden" den Wert an. Und weil das so ist, ist die duale Basis von .

Bezüglich der Basis besitzt das eingangs angeführte die Darstellung



Das kann man auch mit anderen Basen machen. Nehmen wir etwa



Die Linearform erfüllt nun



Um zu finden, stellt man als Linearkombination von dar. Man findet



Jetzt kann man bestimmen. Man verwendet die Eigenschaften einer linearen Abbildung:









Mache die Probe. Du kannst auch einmal das von oben bezüglich darzustellen versuchen.
b00n13 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, danke dir ! Das hat schon mal viel geholfen alleine durch das anschauliche Beispiel.

Das Problem das ich allerdings immer noch habe ist, an welcher Stelle ist was nun die Basis des Dualraums ? Bzw ist das a* was du ganz am ende berechnet hast, das erste Element der Basis des Dualraums bezüglich der ursprünglichen Basen a,b und c und die restlichen Elemente b* und c* müsste ich einfach noch auf die selbe Art und Weise berechnen ?
b00n13 Auf diesen Beitrag antworten »

Was mir auch noch Probleme bereitet ist das du jetzt einen speziellen Term benutzt hat, die Elemente des Dualraums sinda ber doch viele verschiedene Linearformen, woher kannst du also wissen das du genau diese Linearform die du halt benutzt verwenden kannst um daraus die Duale Basis zu bilden ... ?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Das liegt genau an der Eigenschaft ; dazu hilft dir vielleicht duale Basen als erzeugendes System weiter.
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