Kegelförmigen Trichter bestimmen |
| 27.08.2012, 18:58 | HRV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kegelförmigen Trichter bestimmen Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe und hoffe mir kann jemand helfen! Zunächt erstmal die Aufgabenstellung: Bestimmen Sie Höhe und Radius einen kegelförmigen Trichters vom Volumen 9pi, so das der Mantelverbrauch (Mantelfläche) minimal wird. Ich habe erstmal folgende Formel rausgesucht, weil diese wohl entscheident sein werden: V = 1/3pi * r^2 * h und M = pi * r * s wobei s = Wurzen(h^2 + r^2) Dann habe ich eine partielle Gleichung aufgestellt f(r,h,x), wobei diese wiefolgt aussieht: f(r,h,x) = pi * r * (h^2 + r^2)^(1/2) + x(1/3*pi*r^2*h - 9pi) Davon habe ich jeweils die 1. partielle Ableitung durchgeführt (also für r, h, x) und wollte dann mittels eines Gleichungssystems die einzelnen Werte bestimmen aber da komme ich auf keinen grünen zweig? Also es kann sein, dass ich hier totalen blödsinn mache (falls ja, wäre es nett mir zu sagen wie es richtig geht). Sollte der Ansatz so stimmen, dann wäre es trotzdem gut, wenn man mir irgendwie weiterhelfen kann. MfG 
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| 27.08.2012, 19:18 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Kegelförmigen Trichter bestimmen Aus welchem Grund hast du die Variable x eingeführt? Und wie nutzt du die Vorgabe zum Volumen?
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| 27.08.2012, 20:38 | HRV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das x ist quasi die Nebenfunktion. Also so wie man es auch bei einer Aufgabe zu Extremwerten mit Nebenbedinungen macht. Ich hoffe du weisst was ich meine? Das Volumen habe ich halt mit -9pi genommen, um die Gleichung erstmal auf Null zu bekommen, um dann eben die partiellen Ableitungen durchführen zu können |
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| 27.08.2012, 21:01 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, sollst du das so machen? Ich würde das ganz normal wie eine Extremwertaufgabe nach Schema F rechnen. Die Volumengleichung wir die Nebenbedingung, die Mantelfläche die HB. Wir können eine Gleichung mit einer Variablen aufstellen und ableiten. Ggf. kann die Gleichung wegen der Wurzeln auch quadriert werden, dazu müsste ich sie aber erst mal aufstellen und schauen, wie sie aussieht.
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| 28.08.2012, 00:38 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Kegelförmigen Trichter bestimmen
...dann habe ich die Lagrange-Funktion aufgestellt: "x" ist nicht so eine gute Wahl, und es schon gar keine Funktion, sondern der Lagrange-Faktor. Wenn du nun setzt müssten die Ergebnisse noch mit der Hesse- Matrix auf "hinreichend" überprüft werden. Das ist wohl insgesamt das, was du gemeint hast. 
--------------------------------------------------------------------- Die Frage ist nur, ob nicht das Verfahren nach Schema F - wie von Sulo vorgeschlagen - auch genügt. Die Nebenbedingung enthält ja , das könnte man in die Mantelfläche einsetzen und dann auch quadrieren um das Extremum der Quadratfunktion der Mantelfläche zu bestimmen. ( Was ist dabei der Vorteil?) Bem: wenn Letzteres klappt, ( 'sehe keine Probleme ) , dann wäre der Ansatz nach Lagrange mit Kanonen auf Spatzen geschossen, und eigentlich unnötig, und eine Vorgabe, es so machen zu müssen, ist nur mit dem Hinweis: klar geht es einfacher, aber wir müssen das nun auch an einfachen Beispielen üben, gerechtfertigt. |
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