Schnittfläche Ellipse und Rechteck

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Kabuki Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittfläche Ellipse und Rechteck
Guten Tag,
ich komme gleich zum Problem:
Ich möchte eine Ellipse zufällig in den x- und y-Raum werfen.
Dabei definiere ich die Ellipse über ;
t = [-pi ; +pi]; Weiterhin wird die Ellipse über die Drehmatrix zufällig in ihrer Lage verändert.
Das ist soweit alles überhaupt kein Problem smile

Jetzt kommt aber meine Frage:
stellt euch vor, es ist ein Feld gegeben, das 30 Längeneinheiten (LE) breit und 20 LE hoch ist. In der linken unteren, und rechten oberen Ecke befindet sich ein Abschnitt von ca 1LE x 1LE. Ich will nun wissen, ob die Ellipse bei meinen "wurfversuchen" sich auf diesen Flächen befindet. Nach möglichkeit auch noch, zu wieviel Prozenz sie die Fläche jeweils bedekt.

Der Algorithmus des werfens etc macht mit keine schwierigkeiten.
Was ich allerdings nihct hinbekomme ist, den Flächeninhalt der Ellipse über einen bestimmten Bereich nur zu ermitteln :/
Habe mich jetzt etwas mit Oberflächenintegralen beschäftigt, habe aber keine Ahnung wie ich das ganze umsetzen kann, da das Integral über X & Y Laufen müsste, um meinen Anforderungen zu entsprechen.
Die Koordinatenform der Ellipse nach bringt mich auch nicht weiter, da sie funktionstypisch nur eine hälfte der Ellipse anzeigt, dies allerdings unzureichend ist durch die Drehung der ellipse :/

Ich hoffe ihr versteht mein Problem und könnt mir etwas helfen smile

p.s.: Habe noch nie Latex benutzt, sorry wegen der Formeln
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittfläche Ellipse und Rechteck
Ich gehe davon aus, dass alle Würfe zumindest teilweise die Ellipse das Feld bedecken lassen. Um die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis zu berechnen, braucht man zunächst die Anzahl aller Möglichkeiten. Zu einer Gruppe von Möglichkeiten gehört eine Position des Mittelpunkts M und der Bereich der erlaubten Drehwinkel (Drehbereich).
Ich habe mal den größeren Radius auf 1 normiert, der kleinere ist a.

Befindet sich M nicht weiter außerhalb des Feldes als Abstand a vom Rand, ist jeder Drehwinkel erlaubt. Immer ragt ein Teil der Ellipse in das Feld hinein.

Liegt M zwischen a und 1 vom Rand entfernt (blauer Bereich) wird nur in einem bestimmten Drehbereich das Feld bedeckt. Dieser Bereich entspricht 4t (s. Skizze). Um nun dort t in Abhängigkeit vom Abstand d des Mittelpunktes vom Rand des Feldes darzustellen, rechnet man mit dem Normaleneinheitsvektor der Tangente (=Rand des Feldes):




Nun noch die Flächen in denen M (d) liegen kann mit multiplizieren und aufaddieren.
Daraus ergibt sich ein Maß für alle Möglichkeiten.
Im Innern, wo der Drehwinkel egal ist, gilt k=1

Für die Zahl der günstigen Möglichkeiten (oder ein Maß dafür), rechnest du genauso, außer dass deine "neuen Felder" entsprechend kleiner sind.
Kabuki Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank frank09 für deine Antwort smile
(nebenbei: du konntest wohl nicht schlafen? -> Eintrag 01:19Uhr xD)

über diesen Ansatz habe ich noch garnicht nachgedacht ^^
Leider ist es aber auch so, dass die Ellipse nicht zwangsmäßig einen Kontakt herstellt, das ist ja die Eigenschaft, die primär untersucht werden soll.

Im Prinzip kann ich nun also eine Bedingung machen, indem ich errechne, was der minimale Abstand zwischen meiner Fläche und dem Mittelpunkt der Ellipse ist. Wenn d größer als die Seite b (bei dir mit 1 normiert) ist, kann kein Kontakt bestehen.
Wenn es kleiner als d ist, muss weiter kontrolliert werden, ob der Winkel ausreicht um einen Kontakt herzustellen smile
super, damit wäre das erste Problem schonmal beseitigt. Über die Berührungsfläche muss ich nochmal nachdenken bei deiner antwort.

Mir ist da noch etwas aufgefallen: Du hast (glaube ich) die Formeln für die Ellipsen falsch eingesetzt. Die kleine Seite hattest du ja mit a definiert. Aus deiner Zeichnung heraus folgt aber dass die Ellipse entspricht oder sehe ich das falsch?

Gruß, Kabuki
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Leider ist es aber auch so, dass die Ellipse nicht zwangsmäßig einen Kontakt herstellt, das ist ja die Eigenschaft, die primär untersucht werden soll.


Mit welcher Wahrscheinlichkeit deine Elllipse Kontakt herstellt, kannst du nur unter einer (frei gewählten) Beschränkung oder Bedingung für die Koordinaten von M errechnen. Weil du keine angegeben hast, bin ich ja davon ausgegangen, dass ein Kontakt sicher ist. Ansonsten könnte deine Ellipse auch bei M(12345|67890) landen. Im Klartext: Die Wahrscheinlichkeit für das Landen in einem bestimmten Bereich wäre so praktisch null.
Wenn du z.B. festlegst bliebe noch zu klären, ob jede Position in diesem Bereich gleichwahrscheinlich ist oder höhere "Weiten" weniger wahrscheinlich.

Meine Formel ist richtig. Drehwinkel entspricht laut Zeichnung ,
Drehwinkel entspricht .



Wenn du die Berührungsfläche (gelb) berechnen willst, ist es sinnvoll, auf den Einheitskreis senkrecht um den Faktor 1/a zu strecken, weil sich ein Kreissegment viel leichter bestimmen lässt. Die Fläche ist dann natürlich auch entsprechend größer.
Liegt M im roten Bereich, gibt es eine Eckberührung, im gelben sind Eck- oder Zweiseiten-Berührung möglich. Zur Berechnung wieder auf Kreis strecken und in Kreissegment und Dreieck unterteilen.
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