Alle Punkte auf der Gerade die vom Punkt P den Abstand z haben

28.08.2012, 16:15

Saz54

Alle Punkte auf der Gerade die vom Punkt P den Abstand z haben

Meine Frage:
Hallo Leute,
gegeben ist folgende Geradengleichung:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} +r*\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und dieser Punkt:
P (1|2|3)

Die Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte auf der Geraden g, die von P die Entfernung 5 haben.

Meine Ideen:
Ich habe leider überhaupt garkeinen Ansatz. Es gibt eine Formel für den Abstand von einem Punkt zur Gerade, die mir hier aber nicht weiterhilft... Ich hoffe ihr könnt mir helfen

Edit Equester: Latexklammern gesetzt.

28.08.2012, 16:45

riwe

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kugel um P mit radius r=5 Augenzwinkern

28.08.2012, 17:56

Saz54

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Und dann den Schnittpunkt von der Kugel mit der Geradengleichung oder wie? Wie soll das denn bitte gehen ^^ Wir sind gerade erst neu ins Thema Abstände eingestiegen. Als nächstes bearbeiten wir das Thema: "Abstand eines Punktes von einer Geraden".

Gibt es keine andere, leichtere Methode um die Aufgabe zu lösen?

28.08.2012, 18:06

riwe

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eine andere methode, zumindest nennt man sie so Augenzwinkern

:

die abstandformel von 2 punkten wirst du ja kennen verwirrt

bestimme den abstand irgendeines punktes auf g (= geradengleichung) von P und setze in d = 5, daraus kannst du dann den richtigen parameter r bestimmen
(0, 1 oder 2 lösungen)

28.08.2012, 18:16

Saz54

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Ich weiß jetzt nicht ganz wie ich vorgehen soll.
Meinst du vielleicht, soetwas hier:
$\begin{eqnarray*} |\vec{p} - \vec{g} | = 5 \end{eqnarray*}$ (Vektor g ist die Geradengleichung)

Falls ja, wie soll ich weiterrechnen? Falls nein, wär das echt nett, wenn du mir ein Beispiel oder ein Ansatz geben könntest.

28.08.2012, 18:35

riwe

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ganz genau so

setze halt einmal alles ein und quadriere

28.08.2012, 19:14

Saz54

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Also ich bin gerade völlig am verzweifeln unglücklich

Habe jetzt über 5 mal eine ähnliche Aufgabe versucht zu rechnen, weil ich die Lösungen davon schon habe, aber ich bekomme immer was falsches raus...
Es gilt die selbe Aufgabenstellung von oben. Die Geradengleichung lautet diesmal:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Gesucht sind alle Punkte auf der Geraden g die den Abstand $\begin{eqnarray*} 3*\sqrt{11} \end{eqnarray*}$ vom Punkt Q (9|12|-2) haben.

Meine Ansatz:
$\begin{eqnarray*} |\vec{q}-\vec{g} | = 3*\sqrt{11} \end{eqnarray*}$
Meine Rechnung:

Einsetzten in den Ansatz:
$\begin{eqnarray*} |\begin{pmatrix} 9 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix}-(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} ) | \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} |\sqrt{(7-r)^{2} +(11-2r)^{2} + (1-2r)^{2} } | = 3*\sqrt{11} \end{eqnarray*}$

Umgeformt:

$\begin{eqnarray*} 9r^{2}-40r+72 = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt die PQ Formel angewendet: ERROR, weil unter der Wurzel etwas negatives steht...
Was mache ich falsch?

28.08.2012, 19:22

riwe

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steht ja oben, dass es nicht immer eine lösung gibt unglücklich

allerdings hast du dich kräftigst verrechnet unglücklich

ich erhalte

$\begin{eqnarray*} r=3\pm 1 \end{eqnarray*}$ verwirrt

28.08.2012, 21:34

Saz54

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Also ich hab $\begin{eqnarray*} [latex]\sqrt{(7-r)^{2} +(11-2r)^{2} + (1-2r)^{2} } = 3*\sqrt{11} \end{eqnarray*}$ [/latex] in ein Rechenprogramm eingegeben und der findet auch keine Lösung... Wo ist mein Fehler?

28.08.2012, 22:13

riwe

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Zitat:

Original von Saz54
Also ich hab $\begin{eqnarray*} [latex]\sqrt{(7-r)^{2} +(11-2r)^{2} + (1-2r)^{2} } = 3*\sqrt{11} \end{eqnarray*}$ [/latex] in ein Rechenprogramm eingegeben und der findet auch keine Lösung... Wo ist mein Fehler?

$\begin{eqnarray*} (1-2r) \end{eqnarray*}$ wäre zu hinterfragen verwirrt

29.08.2012, 00:44

Saz54

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Ich habe jetzt auch die richtige Lösung heraus. Waren wahrscheinlich immer Flüchtigkeitsfehler. Vielen Dank für deine Hilfe !! smile

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