Zufallsvariable

28.08.2012, 18:57

bibber

Zufallsvariable

Kann man einer sagen, was der zweite Teil mir sagen soll

$\begin{eqnarray*} X : (\Omega, A) -> (\mathbb R , B) <-> \left\{ x|X(w) \leq \alpha \right\} \in A \forall \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

28.08.2012, 19:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von bibber
$\begin{eqnarray*} X : (\Omega, A) -> (\mathbb R , B) <-> \left\{ x|X(w) \leq \alpha \right\} \in A \forall w \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wenn da einige falsche Symbole bzw. an den falschen Orten nicht wären, könnte man fast meinen, es geht um eine zur Messbarkeit der Zufallsgröße äquivalente Bedingung. Allerdings hätte dazu

$\begin{eqnarray*} X:\; (\Omega, \mathcal{A}) \to (\mathbb R , \mathcal{B}) \quad \Longleftrightarrow\quad \left\{ \omega \bigm| X(\omega) \leq \alpha \right\} \in \mathcal{A} \quad \forall \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

da stehen müssen...

28.08.2012, 19:16

bibber

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Ok, tut mir leid. Ich hab einige Zeichen nicht gefunden.
Das mit alpha und klein omega hatte ich schon direkt nach dem erstellen des posts geändert.

Würdest du mir trotzdem verraten, wie ich den rechten Teil verstehen kann.

28.08.2012, 20:45

bibber

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Heißt der rechte Teil einfach das gilt für alle Elementarereignisse w fuer die die Funktionswerte kleiner gleich Alpha sind.

Oder heißt es es gibt ein Elementarereignis w fuer das die Funktionswerte kleiner gleich als Alpha sind

Und das Alpha ist freiwählbar??

28.08.2012, 20:58

Math1986

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Es steht doch dabei:
$\begin{eqnarray*} X\colon\left(\Omega, \mathcal{A}\right) \to\left(\mathbb R , \mathcal{B}\right)\quad \Longleftrightarrow\quad \left\{ \omega\in\Omega \bigm| X\left(\omega\right)\leq\alpha\right\} \in \mathcal{A} \quad \forall \alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$
Die Menge auf der rechten Seite besteht eben aus allen $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ , welche die Bedingung $\begin{eqnarray*} X\left(\omega\right)\leq\alpha \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ erfüllen. (das $\begin{eqnarray*} \forall\alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ bezeichnet den sogenannten Allquantor)
Diese Menge muss wuederrum in $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ enthalten sein.

28.08.2012, 21:02

bibber

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Und warum ist das dann äquivalent?

28.08.2012, 21:20

Math1986

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Das ist eine äquivalente Bedingung zur Messbarkeit der Zufallsvariablen, das muss nun noch bewiesen werden.

28.08.2012, 22:57

bibber

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Ok. Eine andere Frage noch.
Es geht um den Beweis ob es sich um eine Zufallsvariable handelt.
$\begin{eqnarray*} Y := \sum\limits_{i=1}^n \alpha_{i} X_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X^{-1}(B)=\left\{ \omega\in\Omega\mid X(\omega)\in B\right\} \end{eqnarray*}$
Ich weiss das ich damit was anfangen muss.

Weiter würde ich so gehen.
$\begin{eqnarray*} Y^{-1}(B)=\left\{ \omega\in\Omega\mid Y(\omega)\in B\right\} \end{eqnarray*}$

Allerdings habe ich dann keine Ahnung mehr.

Vielen lieben Dank

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