Indikatorfunktion messbar

28.08.2012, 23:45

bibber

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Indikatorfunktion messbar

Guten Abend!
Folgende Frage ist die Indikatofunktion messbar
$\begin{eqnarray*} <br /> 1_{a}(w) := \begin{pmatrix}1 w \in A \\ 0 w \notin A\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Folgende Definition muss ich reinbringen
$\begin{eqnarray*} <br /> X^{-1}(B)\in A; \forall B\in A<br /> \end{eqnarray*}$

Wie muss ich weitergehen?

29.08.2012, 00:10

Che Netzer

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RE: Indikatorfunktion messbar
Hallo,

ich vermute mal, in der unteren Zeile sollte es $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ heißen, vielleicht auch $\begin{eqnarray*} \mathfrak A \end{eqnarray*}$ .
Ist denn die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ messbar?

mfg,
Ché Netzer

29.08.2012, 10:31

bibber

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Sei $\begin{eqnarray*} ( \Omega, \mathfrak A) \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} \mathcal A \in \mathfrak A \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} \mathcal X \end{eqnarray*}$ die sogenannte Funktion

$\begin{eqnarray*} <br /> 1_{a}(w) := \begin{pmatrix}1 w \in A \\ 0 w \notin A\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

So ist diese Funktion
$\begin{eqnarray*} <br /> X(w) = 1_{a}(w): \Omega \Rightarrow \mathbb R <br /> \end{eqnarray*}$ messbar.

Beweisen sie es.

29.08.2012, 10:49

Che Netzer

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Ich schreibe das mal noch etwas schöner auf Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathfrak A) \end{eqnarray*}$ ein messbarer Raum und sei $\begin{eqnarray*} A\in\mathfrak A \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ die sogenannte Indikatorfunktion
$\begin{eqnarray*} \mathbf 1_A(\omega)=\begin{cases}1&\omega\in A\\0&\omega\notin A,\end{cases} \end{eqnarray*}$
so ist $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ messbar.

Naja, wie auch immer.

Dann sieh dir mal die Definition einer messbaren Funktion an.
Da kannst du dann eine Fallunterscheidung vornehmen.

29.08.2012, 11:05

bibber

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Und da ist ja schon mein Problem. Ich schaue mir die Definition an. Und wenn du sagst ich könne eine Fallunterscheidung machen.
Kommen bei mir nur ???.

Könntest du mir vllt noch weitere Tipps geben?

29.08.2012, 12:21

Che Netzer

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Dann sehen wir mal, ob wir die gleiche Definition haben.
Im Fall, dass die Abbildung nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ geht, muss $\begin{eqnarray*} \{\omega\in\Omega:\chi(\omega)>c\} \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ messbar sein.

Hast du diese Definition auch?
Wenn ja, dann unterscheide folgende Fälle:
$\begin{eqnarray*} c<0 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} 0\leq c<1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} 1\leq c \end{eqnarray*}$ .

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29.08.2012, 12:33

bibber

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Ok verstehe ich.

Also für den ersten Fall ist es so, dass $\begin{eqnarray*} \omega\in A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \omega\notin A \end{eqnarray*}$ sein kann.

Für den zweiten Fall muss $\begin{eqnarray*} \omega\in A \end{eqnarray*}$ sein.

Und für den dritten Fall ist es so dass es kein $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ .

29.08.2012, 12:36

Che Netzer

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Und was sind dann jeweils die Urbilder von $\begin{eqnarray*} (c,\infty) \end{eqnarray*}$ ? Sind diese messbar?

29.08.2012, 12:38

bibber

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Für den ersten Fall ist es ganz $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

Für den zweiten Fall hab ich keine Ahnung und für den dritten Fall koennte es die leere Menge sein.

29.08.2012, 12:52

Che Netzer

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Der erste und der dritte Fall stimmen.
Zum zweiten:
Für welche $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ ist denn $\begin{eqnarray*} \mathbf 1_A(\omega)>c\geq0 \end{eqnarray*}$ ?

29.08.2012, 12:54

bibber

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Für alle $\begin{eqnarray*} \omega \in A \end{eqnarray*}$

29.08.2012, 12:55

Che Netzer

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Genau.
Also ist $\begin{eqnarray*} \{\chi>c\}=A \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq c<1 \end{eqnarray*}$ .
Ist also $\begin{eqnarray*} \{\chi>c\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ messbar?

29.08.2012, 12:59

bibber

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Ja da alle $\begin{eqnarray*} \in\mathfrak A \end{eqnarray*}$ sind.

29.08.2012, 13:10

Che Netzer

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Ja. Und was heißt das jetzt für die Messbarkeit von $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ ?

29.08.2012, 13:18

bibber

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Die Funktion ist auf $\begin{eqnarray*} \Omega -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ messbar.

25.09.2012, 17:55

bibber

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Müsste nicht auch noch $\begin{eqnarray*} A^{c} \end{eqnarray*}$ iwo als Ergebnis rauskommen?

25.09.2012, 17:58

Che Netzer

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Nein, $\begin{eqnarray*} A^{\mathrm C} \end{eqnarray*}$ ist das Urbild von $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ bzw. jeder Menge, die Null, aber nicht Eins enthält.
Wie betrachten jedoch die Urbilder von Intervallen der Form $\begin{eqnarray*} (t,\infty) \end{eqnarray*}$ , d.h. wenn die Null dort enthalten ist, ist es auch die Eins.

25.09.2012, 18:10

bibber

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Folgende Lösung bekam ich gerade von meinen Dozenten zugeschickt:

Behauptung
$\begin{eqnarray*} X(\omega): \Omega\Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
z.z.

$\begin{eqnarray*} X^{-1}(A') \in B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall A'\in B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \mathbf X^{-1} (A')=\begin{cases}A&{1}\in A' \wedge {0}\notin A'\\A^{c} &{1}\notin A' \wedge {0}\in A'\\\Omega &{0,1}\in A'\\Leere Menge &{0,1}\notin A'\end{cases}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Warum ist dort $\begin{eqnarray*} A^{c} \end{eqnarray*}$ .
Und bei unserer Lösung nicht

25.09.2012, 18:13

Che Netzer

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Der Dozent benutzt da die allgemeine Definition der Messbarkeit, d.h. Urbilder messbarer Mengen sollen messbar sein.

Wenn aber der Bildraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der Borel- $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra ist, kann man $\begin{eqnarray*} \{(t,\infty):t\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$ als Erzeugendensystem verwenden und braucht die Messbarkeit nur für Urbilder solcher Mengen zu zeigen.
Das hattet ihr hoffentlich schon.
(manchmal wird die Messbarkeit reellwertiger Funktionen auch direkt so definiert)

25.09.2012, 18:19

bibber

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Ok und wenn ich halt die andere Definition verwende, muss ich halt das Erzeugendensystem verwenden.

Sei X eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R, \mathbb B \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R, \mathbb B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(\omega)=\begin{cases}0&\omega rational\\1&\omega irrational,\end{cases} \end{eqnarray*}$
so ist $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ messbar.

$\begin{eqnarray*} X^{-1}(A') \in B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall A'\in B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \mathbf X^{-1} (A')=\begin{cases}A&{1}\in A' \wedge {0}\notin A'\\A^{c} &{1}\notin A' \wedge {0}\in A'\\\Omega &{0,1}\in A'\\Leere Menge &{0,1}\notin A'\end{cases}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Kann man dort nicht dann das gleiche hinschreiben?

25.09.2012, 18:22

Che Netzer

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Wenn du eine andere Definition als die über die Urbilder besagter Intervalle hast, musst du
a) wie in der Lösung des Dozenten die Messbarkeit der Urbilder ALLER messbaren Mengen zeigen oder
b) wissen, dass du nur die Urbilder eines beliebigen Erzeugendensystem betrachten musst.

Und was meinst du mit "das gleiche hinschreiben"?

25.09.2012, 18:24

Math1986

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Zitat:

Original von Che Netzer
Und was meinst du mit "das gleiche hinschreiben"?

Ich glaube er meint dass dies direkt aus der vorherigen Aufgabe folgt mit
$\begin{eqnarray*} \mathbf 1_\mathbb{Q}(\omega)=\begin{cases}1&\omega\in\mathbb Q\\0&\omega\notin\mathbb Q\end{cases} \end{eqnarray*}$
Der Beweis ist daher analog, wenn man $\begin{eqnarray*} A=\mathbb Q \end{eqnarray*}$ setzt Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.09.2012, 18:25

bibber

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Also ich habe gerade eine neue AUfgabe gepostet und bin der Meinung das die selbe Lösung raus kommst wie die von dem Dozenten.

25.09.2012, 18:25

Math1986

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Zitat:

Original von bibber
Also ich habe gerade eine neue AUfgabe gepostet und bin der Meinung das die selbe Lösung raus kommst wie die von dem Dozenten.

Ja, du kannst, wenn du $\begin{eqnarray*} A=\mathbb Q \end{eqnarray*}$ setzt, die selbe Argumentation nutzen.

25.09.2012, 18:29

bibber

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Meine Definition
$\begin{eqnarray*} X(\omega)=\begin{cases}0&\omega rational\\1&\omega irrational,\end{cases} \end{eqnarray*}$

Müsste es dann nicht so heißen?

$\begin{eqnarray*} \mathbf 1_\mathbb{Q}(\omega)=\begin{cases}1&\omega\notin\mathbb Q\\0&\omega\in\mathbb Q\end{cases} \end{eqnarray*}$

25.09.2012, 18:34

Che Netzer

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Die beiden Funktionen sind gleich, wenn du das meinst.
Mit der Messbarkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ folgt aus der aktuellen Aufgabe damit die Messbarkeit von dem gerade definierten $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .
Oder war die Frage anders?

25.09.2012, 18:38

bibber

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Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} X(\omega)=\begin{cases}0&\omega rational\\1&\omega irrational,\end{cases} \end{eqnarray*}$

Meine Lösung dazu:
$\begin{eqnarray*} <br /> \mathbf X^{-1} (A')=\begin{cases}\mathbb Q&{0}\in A' \wedge {1}\notin A'\\\mathbb R / Q &{1}\in A' \wedge {0}\notin A'\\\Omega &{0,1}\in A'\\Leere Menge &{0,1}\notin A'\end{cases}<br /> \end{eqnarray*}$

Bitte um eure Meinungdazu Big Laugh

Big Laugh

25.09.2012, 18:40

Che Netzer

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Ja, das passt, wenn du $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ meintest Augenzwinkern

Augenzwinkern

(und $\begin{eqnarray*} \setminus \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} / \end{eqnarray*}$ )

25.09.2012, 19:51

bibber

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Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \mathbf 1_A(\omega)=\begin{cases}1&\omega\in A\\0&\omega\notin A,\end{cases} \end{eqnarray*}$

Beweis mit :
Im Fall, dass die Abbildung nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ geht, muss $\begin{eqnarray*} \{\omega\in\Omega:\chi(\omega)<c\} \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ messbar sein.

Fallunterscheidung:

$\begin{eqnarray*} c\leq0 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} 0 < c\leq1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$

1.Fall:
Die leere Menge da das Urbild von $\begin{eqnarray*} (-\infty, c) \end{eqnarray*}$ . Die leere Menge ist.

2. Fall

Für alle $\begin{eqnarray*} \omega \notin A \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ .

3. Fall.
Ganz $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$

Und da alle drei Ereignisse enthalten sind in deutsch A. Ist es eine Zufallsvariable

Ist das so richtig?

25.09.2012, 20:03

Che Netzer

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Ja, das geht so.

25.09.2012, 20:10

bibber

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Also alles richtig mit allen Fallunterscheidungen und so?

25.09.2012, 20:23

Che Netzer

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Ja, es ist halt nur die Frage, ob ihr das Kriterium über die Intervalle benutzen dürft.

25.09.2012, 20:34

bibber

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Wenn wir das mit dem Intervall nicht benutzen dürften. Dann wäre es doch immer noch richtig oder?
Was ich nicht weiß, da es nur bei anderen Kommilitonnen in der Prüfung vorkam. Wir es aber nicht an einem Beispiel besprochen haben.

25.09.2012, 21:39

Che Netzer

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Richtig ist es durchaus, aber das hilft dir nicht, wenn du nicht begründen kannst, wieso das richtig ist.
Habt ihr denn irgendeine derartige Aussage oder Definition?
Wenn ihr nie gezeigt (oder definiert) habt, dass ihr nicht die Urbilder ALLER messbarer Mengen betrachten müsst, darfst du das wahrscheinlich nicht benutzen. (darauf hättest du mich aber auch hinweisen sollen, als ich am Anfang diese Definition gebracht habe)

25.09.2012, 22:01

bibber

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Wir haben halt die allgemeine Definition für Zufallsvariable. Sowie die mit dem kleiner und größer als alpha Definition

25.09.2012, 22:07

Che Netzer

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Ist letztere die, die ich meine?

25.09.2012, 22:08

bibber

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Zitat:

Original von Che Netzer
Dann sehen wir mal, ob wir die gleiche Definition haben.
Im Fall, dass die Abbildung nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ geht, muss $\begin{eqnarray*} \{\omega\in\Omega:\chi(\omega)>c\} \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ messbar sein.

Meinst du diese?

25.09.2012, 22:18

Che Netzer

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Ja, genau.

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