Relationsaufgabe

Neue Frage »

Ismeralda Auf diesen Beitrag antworten »
Relationsaufgabe
Hallo zusammen,

ich habe mit folgender Aufgabe Probleme:

"Die Relation R in der Menge R (reelle Zahlen) sei definiert durch:
xRy def. x - y € Q

Bisher habe ich schonmal die Reflexivität überprüft:
xRx <-> x - x € Q
das ist wahr, da die 0 € von Q ist.

Symmetrie:
<-> x - y € Q => y-x € Q
Jetzt habe ich ein paar Beispiele versucht, aber bisher haben sie immer geklappt. Ein Gegenbeispiel konnte ich bisher nicht finden.

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?

PS: Das Eurozeichen soll das Elementzeichen darstellen.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationsaufgabe
hängst du jetzt and der symmetrie fest oder wie genau?
aber die ist doch klar, da IQ additive gruppe ist, und es somit für jedes element aus IQ die additive inverse gibt; wenn also x-y in IQ, so auch -(x-y) = y-x in IQ.
lg
 
 
Ismeralda Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationsaufgabe
Nicht nur mit der Symmetrie, auch bei Transitivität, Vollständigkeit etc.

Dein 2. Satz war mir nicht klar. Wieso ist das so? Das mit der additiven Inverse haben wir gar nicht besprochen verwirrt
Ist es dadurch also symmetrisch?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationsaufgabe
vollständigkeit wovon?
also symmetrie: wenn a eine rationale zahl ist, dann doch auch -a. das ist alles was man hier benutzt. und transitivität zeigt sich genauso leicht: sind a und b rationale zahlen, dann auch a+b. lg
Ismeralda Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationsaufgabe
Aber a und b sind doch aus R, nur das Ergebnis von a-b ist Element Q.
Oder mache ich da gerade einen Denkfehler?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationsaufgabe
ich hab die variablen a,b grad für rationale zahlen benutzt um dir hinweise zu geben, lass dich davon nicht verwirren. die relation ist immernoch auf IR definiert und lautet xRy :<=> x-y in IQ. a stand hier zum beispiel stellvertretend für x-y in diesem zusammenhang. lg
Ismeralda Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationsaufgabe
Also für mein Verständnis: Wenn x-y € Q sind, dann ist auch y-x € Q aufgrund der additiven Inverse.
Mein Problem ist aber, ob wirklich x-y € Q ist, wenn x,y € R sind.
In R sind ja auch die irrationale Zahlen enthalten, also pi, e, wurzel.
Alle anderen kann ich ja immer mittels Bruch darstellen.

Wenn ich jetzt aberals Beispiel pi - wurzel 2 nehm, dann ist das nicht Element von Q, aber wurzel 2 - pi ebenfalls nicht, was dann durch die Subjunktion wieder wahr ist.

D.h. trotz irrationaler Zahlen ist x-y € Q symmetrisch?

Oder gibts ein Gegenbeispiel, an das ich bisher nicht gedacht habe?
Oder mache ich gerade prinzipiell ein Denkfehler? verwirrt
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationsaufgabe
ich denke du machst einen denkfehler.
natürlich gilt nicht, wie du selbst anhand des beispieles gesehen hast, dass für alle relle zahlen x,y x-y in IQ liegt, das wäre auch sehr wunderlich.
die aussage bei der symmetrie ist nun aber einfach: WENN x-y in IQ DANN y-x in IQ - also angenommen x-y ist in IQ, also eine rationale zahl, dann ist auch ihre inverse -(x-y) dabei, und die ist ja gerade y-x; also folgt dass dann auch y-x in IQ ist -> also ist die relation symmetrisch.
Ismeralda Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationsaufgabe
Deine Wenn-Dann Funktion ist doch die Subjunktion, die ich erwähnte.

Also trotz irrationale Zahl aufgrund der Subjunktion symmetrisch.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationsaufgabe
mach dir keine sorgen um die formal logische korrektheit - wenn die prämisse nicht erfüllt ist (also x-y nicht in IQ) dann ist doch die folgerung sowieso wahr; es sind also nur die x,y zu betrachten, für die x-y in IQ ist. und dann kannst du so vorgehen wie ichs dir schon mehr als einmal vorgemacht hab. lg
Ismeralda Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationsaufgabe
Ok, dann hab ich das jetzt verstanden.

Die Relation ist auch transitiv und vollständig, oder?

Transitiv: ähnliche Begründung wie bei der Symmetrie

Vollständigkeit: man kann alle Zahlen aus R mit dieser Relation verbinden.

verwirrt
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationsaufgabe
ok, schön! ist dir also auch klar wie man transitivität zeigt?
also vollständigkeit einer relation musste ich grad mal nachgucken, hab ich vorher noch nicht gehört - also: "R ist vollständig, wenn für beliebige x,y xRy oder yRx gilt" - ist das auch eure definition? lg
Ismeralda Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationsaufgabe
R ist vollständig, wenn:
Für Alle x,y € M: xRy oder yRx
Also ja, so wie du es gesagt hast Augenzwinkern

Transitivität:
xRy und yRz --> xRz
hier angewandt: x-y € Q und y - z € Q daraus folgt x-z €Q.
dies gilt ebenfalls.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationsaufgabe
ok, gut Augenzwinkern

Zitat:
Transitivität: xRy und yRz --> xRz hier angewandt: x-y € Q und y - z € Q daraus folgt x-z €Q. dies gilt ebenfalls.


ok, das ist was transitivität heißt, aber wo ist der beweis?? wie kommst du von x-y in IQ und y-z in IQ auf x-z in IQ ??
Ismeralda Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationsaufgabe
Tut mir Leid, dass ich jetzt erst wieder auf meine Frage reagiere, aber mein Mainboard hat sich verabschiedet (durchgeschmort) und nun war ich wie ein Steinzeitmensch ohne Pc oder Internet Hammer

Also die Transitivitärt hätte ich zum Teil ebenfalls mit der additiven Inverse begründet.
Wenn a-b € Q und b -c € Q --> a-c € Q
Also wenn b € Q ist, dann ist auch -b €Q.

Aber denke nicht, dass diese Begründung ausreichen wird unglücklich

Alle anderen Relationsaufgaben haben ganz gut geklappt, aber diese hier bereitet mir immer noch Kopfzerbrechen.
Die anderen Aufgaben kamen mir irgendwie "logischer" vor Augenzwinkern
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationsaufgabe
ja das reicht nicht, denn es geht auch total in die falsche richtung.
mal in ganz kleinen schritten:
voraussetzungen sind: a-b in IQ und b-c in IQ.
wenn a-b eine rationale zahl ist, kannst du daraus nicht folgern, dass a oder b für sich jeweils rational sind (bsp.: pi-pi=0, also rational, aber pi ist irrational).
du weißt also nichts weiter über a,b oder c einzeln, nur eben wie sie zueinander in relation stehen. nun ist der knackpunkt zu sehen, dass du, wenn du deine beiden ausdrücke (a-b) und (b-c), welche nach voraussetzungen rationale zahlen sind, addierst, genau den ausdruck bekommst, für den du zeigen sollst, dass er eine rationale zahl ist (nämlich (a-c)). und wenn du nun weißt, dass die summe zweier rationaler zahlen wieder rational ist, weißt du auch, dass (a-b)+(b-c) = a-c rational ist. w.z.b.w.
lg
Ismeralda Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Relationsaufgabe
Ok, auf die Idee mit der Summe wär ich niemals allein gekommen, ist aber im Nachhinein einleuchtend!
Das mit b und (-b) war in der Tat etwas doof von mir, da ja nur a-b € von Q ist, die Zahlen selbst aber aus R sind.

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »