Extremwertaufgabe Mathe LK Q1

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29.08.2012, 18:57	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Meine Frage: Brauche dringend hilfe bei der folgenden Aufgabe Ein Grundstück ist an der einen Seite 7m lang und wird an der anderen Seite durch einen näherungsweise parabelförmigen Flusslauf begrenzt. Die Form des Flusses kann für 0 größer/= x größer/= 7 durch die Funktion f(x) = 1/4 xQuadrat + 3,5 beschrieben werden. Auf dem Grundstück soll ein rechteckiger Geräteschuppen mit möglichst großer Grundfläche errichtet werden (Rechteck BCDE). Ein Abstand zum Fluss kann vernachlässigt werden. Bestimme die optimale Lage der Punktes B (u/v) und berechne die größtmögliche Fläche des Schuppens. Meine Ideen: Man hat die Formel f(x) gegeben und weiß die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks: A= a mal b. In diese Formel kann man für a 7cm einsetzen, weil eine Seite ja 7 cm lang ist. Vielleicht kann man u auch in x umbenennen, weil das der gesuchte x- Wert ist ?! Selbst wenn das so gehen könnte, weiß ich immer noch nicht, wie ich aus den beiden Formeln eine machen kann. Und wofür sind die Punkte des Rechtecks nötig? Vielen Dank schon einmal im Voraus
29.08.2012, 19:31	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Ich denke, du solltest dir das Rechteck so vorstellen: [attach]25657[/attach] Die eine Seite wird also kaum 7 m lang sein. Die genaue Länge soll ja erst bestimmt werden. Wichtig ist eigentlich nur der Punkt B. Wie könntest du seine Koordinaten formulieren?
29.08.2012, 20:00	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 In der Aufgebenstellung steht v und u. Vielleicht sollte man sie x und y nennen oder x1 und y1, weil man ja die x und y Koordinate für einen Punkt sucht.
29.08.2012, 20:15	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Ja, die Namen sind nebensächlich, ich würde aber in Anlehung an die gegebene Funktion statt B(u/v) lieber B(x\|f(x)) schreiben. Hast du weitere Ideen, wie man den Flächeninhalt des Rechtecks berechnen kann?
29.08.2012, 20:40	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Ich denke mal, dass man auf jeden Fall die Ableitung berechnen muss. Vielleicht kann man f(x) auch mit der Formel a mal b verbinden, aber dann gibt es ja noch mehr Variablen.
29.08.2012, 20:41	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Das heißt für mich im Klartext, du hast keinen Plan was du machen musst. Richtig?
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29.08.2012, 20:44	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Genau
29.08.2012, 20:51	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Ich habe dir doch schon den entscheidenden Tipp gegeben: Nenne die Koordinaten von B x und f(x). Mit diesem Kniff kannst du die Seitenlängen des Schuppens mit nur einer Variablen ausdrücken. Versuche es mal.
29.08.2012, 21:21	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Hat das vielleicht etwas mit dem Wendepunkt zu tun? In der Grafik sieht das so aus, als könnte B der Wendepunkt sein!
29.08.2012, 21:24	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Hmm, ich sehe da weit und breit keinen WP und der ist für unsere Aufgabe auch uninteressant. Warum kümmerst du dich nicht mal um die Seitenlängen des Schuppens? Denke an die Koordinaten von B, die helfen dabei.
29.08.2012, 21:29	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 ach ja, stimmt ja, das ist ja eine quadratische gleichung. Die eine Seitenlänge ist, glaube ich, y, also die Länge von unten nach oben. Die andere Seite ist dann 7 minus der x Wert.
29.08.2012, 21:35	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Sehr schön, ein erster Forschritt. Statt y können wir f(x) sagen, und f(x) kennen wir doch. Versuche mal, die Flächengleichung aufzuschreiben.
29.08.2012, 21:38	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 (7-x) mal f(x)= A
29.08.2012, 21:39	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Ja, und wie lautet f(x)? Du hast doch eine Funktionsgleichung gegeben.
29.08.2012, 21:45	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 A= (7-x) mal (1/4 xQuadrat + 3,5)
29.08.2012, 21:50	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Und danach muss ich davon die Ableitung gleich null setzten, wie immer, oder?
29.08.2012, 21:51	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Ok, das stimmt , wir können es aber ein bisschen hübscher schreiben: A(x) = (7 - x)· (1/4 x² + 3,5) Das ist unsere Zielfunktion und die kannst du nun ausrechnen und dann ableiten. (Du könntest es auch ohne ausrechnen ableiten, aber das würde ich nicht machen.)
29.08.2012, 21:57	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Danke, du hast mir echt geholfen!
29.08.2012, 21:57	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Ok, wenn dir das reicht und du nun alleine weiterkommst, soll's mich freuen.
29.08.2012, 22:18	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Ich denke schon, wenn ich noch mal auf der Leitung stehe, kann ich dich ja noch mal fragen
29.08.2012, 22:24	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Du kannst auch gerne deine Lösung zum Vergleich aufschreiben.
29.08.2012, 22:42	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Ok, danke! Ich rechne es morgen mal aus1
29.08.2012, 22:44	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Mathe LK Q1 Alles klar. Bis denn.
30.08.2012, 14:31	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das jetzt ausgerechnet und habe für den Punkt die Koordinaten (4,83/14,43) raus und für den Flächeninhalt 31,31 Quadratzentimeter
30.08.2012, 19:33	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Da muss was schief gelaufen sein, denn f(4,83) = 9,33... und nicht 14,43. Weiterhin liegt das Maximum der Flächenfunktion nicht bei x = 4,83. Kannst du mal ein oder zwei Zwischenschritte aufschreiben?
30.08.2012, 20:36	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Formel ausmultipliziert, da kam -0,25x³+1,75x²-3,5x+24,5 raus. Dann hab ich die Ableitung gebildet: -0,75x²+ 3,5x-3,5. Die hab ich gleich null gesetzt, umgeformt und dann mit der pq- Formel ausgerechnet und da kam dann gerundet 4,83 raus. Das hab ich dann in die Ausgangsformel eingesetzt. Tut mir leid, das waren jetzt mehr als 2 Zwischenschritte
30.08.2012, 20:42	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt schon, du hast es gut beschrieben. Die Ableitung stimmt noch, irgendetwas ist bei dem Rechnen mit der pq-Formel geschehen. Hast du daran gedacht, dass du die Gleichung zunächst mit -4/3 erweitern musst?
30.08.2012, 21:16	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, hab ich dran gedacht. Jetzt kommt 3,22 raus, ich glaube, ich habe es einfach falsch in den taschenrechner eingegeben. Ist das jetzt richtig?
30.08.2012, 21:20	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist die x-Koordinate des Maximums.
30.08.2012, 21:20	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich merke grade, dass 1,45 auch geht.
30.08.2012, 21:27	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, das ist der andere Extremwert. Du musst halt noch schauen, was min und was max ist, auch wenn ich es schon verraten habe....
30.08.2012, 21:32	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hatte ich mir schon fast gedacht
30.08.2012, 21:44	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
aalso, dann ist der f(x) wert 20,44 und der flächeninhalt 77,26 cm², wenn ich mich nicht vertippt habe
30.08.2012, 21:47	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, mein Flächeninhalt ist deutlich kleiner, allerdings solltest du in m² angeben.
30.08.2012, 21:53	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
in m² wäre das aber eine ziemlich kleine zahl, man muss aber doch f(x) mal (7-x) rechnen, also 20,44 mal (7-3,22)= 77,26, oder wie soll das sonst gehen?
30.08.2012, 22:00	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann die 20,44 nicht bestätigen. Wenn du dir den Graphen anschaust, kann f(3,22) nicht höher als 7 sein. PS: Übrigens sollten wir uns noch den Randextrema zuwenden, wenn wir mit den beiden vorliegenden Extremwerten fertig sind. Normalerweise kommen bei solchen Extremwertaufgaben Randextrema erst dann ins Spiel, wenn im gewählten Intervall kein Extremwert zu erkennen ist. Hier ist das anders, und der aufmerksame opi hat das erkannt. Danke dafür.
30.08.2012, 22:12	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist 6,08 als f(x) Wert richtig?
30.08.2012, 22:16	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, 6,08 stimmt. Kannst du die Min/Max-Bestimmung alleine durchführen bzw. recht schnell machen? Wir brauchen nämlich noch die Randextrema. Ich habe mal den Graphen der Flächenfunktion geplottet, man kann erkennen, dass es noch einen höheren Wert im Intervall gibt als den bei x = 3,22.
30.08.2012, 22:22	katzenfreundin	Auf diesen Beitrag antworten »
Braucht man das wirklich immer? Ich hatte gedacht, dass die Aufgabe jetzt gelöst wäre, der Flächeninhalt ist dann 22,98 m², oder? Was meinst du genau mit der min/maxbestimmung? Die Werte in die 2. Ableitung einsetzen? Das habe ich schon gemacht. Ich glaube, für die Randextrema muss ich nur 0 und 7 in die Funktion einsetzen, oder?
30.08.2012, 22:24	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau. Setze die Randwerte ein und schau, was passiert. edit: Ich habe einen Flächeninhalt von 23,028 m², habe etwas anders als du gerundet.

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