Bogenmaß / Winkel

30.08.2012, 09:38

Ascareth

Bogenmaß / Winkel

Hallo,

ich habe hier ein Buch in dem steht, dass $\begin{eqnarray*} \varphi = \frac{b}{r} \end{eqnarray*}$ sein soll.

Das Bogenmaß b wäre demnach: $\begin{eqnarray*} b = r \varphi \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt aber beispielsweise den Bogen für einen Kreis mit r = 2m über einen Winkel von 20° berechnen will, passt das doch hinten und vorne nicht.

Bisher habe ich das immer so gemacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{2 \pi r}=\frac{\varphi}{360^\circ} \Leftrightarrow b = \frac{2 \pi r \varphi}{360^\circ} \end{eqnarray*}$ und dann b bestimmt. Man kann hier zwar 360° gegen 2 kürzen, also so:

$\begin{eqnarray*} b = \frac{\pi r \varphi}{180^\circ} \end{eqnarray*}$ und es ist schon klar, dass pi das Bogenmaß von 180° im Einheitskreis ist, aber bei dieser Gleichung hier $\begin{eqnarray*} b = r \varphi \end{eqnarray*}$ kommt man deshalb trotzdem nicht auf das richtige Ergebnis. Oder was mache ich da falsch?

Gruß, Asca

30.08.2012, 09:51

HAL 9000

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Zunächst mal eine sprachliche Korrektur: $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist nicht das Bogenmaß, sondern die Bogenlänge.

Bogenmaß ist lediglich eine dimensionslose Maßeinheit für Winkel, in deinem Fall etwa für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} 180^{\circ} = \pi \end{eqnarray*}$ gilt, also umgerechnet $\begin{eqnarray*} 1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist dann $\begin{eqnarray*} \varphi = 20^{\circ} = 20\cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{9} \end{eqnarray*}$ , und die Berechnung

$\begin{eqnarray*} b = r\varphi = 2m\cdot \frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{9}~m \approx 0.698~m \end{eqnarray*}$

passt, und zwar "hinten und vorne".

P.S. Die Formel $\begin{eqnarray*} b = \frac{2 \pi r \varphi}{360^\circ} \end{eqnarray*}$ ist vollkommen identisch (!) mit $\begin{eqnarray*} b = r\varphi \end{eqnarray*}$ , da ja $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{180^{\circ}}=1 \end{eqnarray*}$ ist, s.o.

30.08.2012, 09:52

Steffen Bühler

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RE: Bogenmaß / Winkel

Zitat:

Original von Ascareth
es ist schon klar, dass pi das Bogenmaß von 180° im Einheitskreis ist

Pi ist nicht das Bogenmaß von 180°, Pi ist 180°.

Denn, wie Du ja schon geschrieben hast, wird der Winkel definiert als Verhältnis von Bogen zu Radius. Ein rechter Winkel ist also die Zahl Pi/2, nichts anderes. Daß manche ihn mit 90°, 100° oder sogar 1600 Strich bezeichnen, ist deren Problem. Mach es nicht zu Deinem Problem.

Viele Grüße
Steffen

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