Umordnung einer Folge |
| 30.08.2012, 18:16 | Stefan1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Umordnung einer Folge ich verstehe nicht so ganz, warum eine umgeordnete Folge konvergiert, wenn auch die ursprüngliche Folge konvergiert. Nehmen wir an, ich habe die Folge (-1)^n / n. Diese konvergiert gegen 0. Wenn ich jetzt aber die Glieder komplett umdrehe, d.h. das erste Glied wird das letzte und umgekehrt (so mit allen Gliedern verfahren), dann divergiert doch die Folge. Oder stehe ich auf dem Schlauch? Darf man vllt. nur endlich viele Glieder vertauschen? MfG Stefan |
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| 30.08.2012, 18:43 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Umordnung einer Folge eine folge von deren konvergenz man sprechen kann - also eine unendliche - hat, wie der name schon sagt, kein letztes glied; was du hier sagst funktioniert also nicht. und ja, die glieder dürfen beliebig vertauscht werden, also auch unendlich viele. meinst du vielleicht eigendlich den umordnungssatz für absolut konvergente reihen, und nicht folgen? lg |
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| 30.08.2012, 18:54 | Stefan1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, stimmt. Es gibt kein letztes Element der Folge... Hätte ich wissen müssen Somit verstehe ich auch, dass lim (n->inf) a(n) = lim(n -> inf) b(n), wobei b(n) eine Umordnung von a(n) ist, stimmt. Dann kommt bei uns allerdings eine "Bemerkung" im Skript, die ich zwar verstehe, die ich mir aber nicht vorstellen kann. So lautet sie Ist konvergent, aber nicht absolut konvergent, so existiert zu jedem eine Umordnung von mit Nehmen wir an, ich habe die alternierende harmonische Reihe. Die konvergiert, aber nicht absolut. Voraussetzungen sind also erfüllt. Jetzt wähle ich b = 1000. Wie soll ich die Folge umordnen, so dass ich b = 1000 als Reihenwert erreiche? Das verstehe ich nicht... Folglich müsste ich ja mit einer Umordnung der harmoschen Reihe Pi oder sowas erreichen können... Oder habe ich den Satz doch falsch verstanden? |
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| 30.08.2012, 18:59 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da weisbrot nicht online ist eine vorläufige Antwort: Nimm bei deiner Umordnung einfache soviele positive Glieder der Reihe, bis du über b=1000 kommst, dann nur negative, bis du wieder unter b=1000 fällst, dann wieder nur positive usw. Ist dir klar, warum das funktioniert? |
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| 30.08.2012, 19:10 | Stefan1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Theoretisch ja, praktisch nein. Die ersten positiven Glieder sind ja 1, 1/3, 1/5, 1/7, ... Man sieht, es geht gegen 0. Irgendwann kommt also praktisch nichts mehr dazu. Wie soll ich hier auf die 1000 kommen? Schon die 2 scheint nicht erreichbar |
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| 30.08.2012, 19:23 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hm, kann es sein, dass du - und sei es auch nur einen Moment lang - "vergessen" hast, dass die Reihe divergiert? 
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| 30.08.2012, 19:24 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich versteh es auch nicht, denn es ist i.a. falsch: Wenn man eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Folge umordnet, kann man so gut wie alles erreichen: Konvergenz gegen einen beliebigen vorgegebenen Wert (wie in deinem Satz da beschrieben), aber auch bestimmte sowie unbestimmte Divergenz.
Falsch: Bei einer konvergenten, aber nicht absolut konvergenten Reihe divergiert die Reihe der positiven Reihenglieder bestimmt gegen , und die Reihe der negativen Reihenglieder bestimmt gegen - ansonsten wäre nämlich die Originalreihe nicht konvergent+nicht absolut konvergent, das lässt sich mühelos per indirektem Beweis begründen. |
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| 30.08.2012, 19:24 | Stefan1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Umordnung einer Folge Oh... Ja, ist ja so eine Art harmonische Reihe. |
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| 30.08.2012, 19:29 | Stefan1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann ist unser Skript fehlerhaft. Dort steht Satz 3.22: Ist (a_n) konvergent, so ist auch (b_n) konvergent und die Grenzwerte der beiden Folgen sind gleich. Dabei ist (b_n) die Umordnung von (a_n). Mehr steht dort nicht... |
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| 30.08.2012, 19:34 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, man braucht hier für die Folge die absolute Konvergenz, wie schon gesagt wurde... |
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| 30.08.2012, 19:50 | EinGast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich denke schon, dass der zitierte Satz
richtig ist...da geht es ja um Folgen, nicht um Reihen |
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| 30.08.2012, 19:52 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, hab ich auch übersehen bzw. mir das Summenzeichen dazugedacht... 
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| 31.08.2012, 02:47 | Simmi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mir kams auch gleich Spanisch vor aber es geht ja tatsächlich nur um Folgen. Dann ist alles klar. Wenn ich also vielleicht einen Tipp geben dürfte: Wenn man sich die erste Folge anschaut, von der man weiß, dass sie konvergiert, dann gibts ja nun für jedes beliebige Epsilon einen Index N ab dem alle Folgenglieder nicht mehr als Epslion vom Grenzwert abweichen. Der Index ist endlich, desswegen erfüllen auch nur endlich viele Glieder diese Eigenschaft nicht. Jetzt müsste man sich mal überlegen, was das für die Permutation der Folgenglieder bedeutet... irgendwohin müssen ja auch die ersten N Glieder abgebildet werden 
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| 31.08.2012, 07:14 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da ging's mir wie Mystic: Wegen der Erwähnung von
war ich auf Reihen fixiert. 
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