Anzahl der Elemente der Gruppe SL(2;Z/pZ)

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Amy-Lou Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl der Elemente der Gruppe SL(2;Z/pZ)
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich beschäftige mich seit einiger Zeit mit der Frage: wieviel Elemente könnte die Gruppe SL(2;Z/pZ) haben? ich weiß, dass es p^3 - p Elemente. Ich habe probiert über den ggT zu gehen (ad-bc = 1, es folgt ggT(a,b) =1), aber ich bin leider nicht weiter gekommen.


Meine Ideen:
Ich habe probiert über den ggT zu gehen (ad-bc = 1, es folgt ggT(a,b) =1), aber ich bin leider nicht weiter gekommen.
Hat jemand eine Idee, wie ich am besten ran gehe?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege dir doch zunächst mal die Mächtigkeit von , das ist doch erstmal etwas einfacher.


Wenn du dir nun Überlegst, dass für jedes die Abbildung:




eine Bijektion ist, kriegst du damit auch die Mächtigkeit der speziellen linearen Gruppe.


Edit: Etwas Gruppentheoretischer hättest du das letzte Argument auch so angehen können: Die spezielle lineare Gruppe ist eine Untergruppe und offensichtlich liegen zwei Matrizen in der selben Nebenklasse, wenn sie die selbe Determinante haben. Dies liefert die Anzahl der Nebenklassen, also in den Index der Untergruppe. Daraus lässt sich dann auf die Mächtigkeit der Untergruppe schließen.

Letztendlich läuft dies auf eine Betrachtung der Abb.



hinaus.
 
 
Amy-Lou Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die schnelle Antwort! ich mache mir erst mal paar Gedanken über deinen Vorschlag, und ich melde mich wieder, falls ich doch nicht damit weiter klar komme smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann sich durchaus auch rein kombinatorisch auf einfache Weise überlegen, auf wieviele Arten die Gleichung ad-bc=1 in erfüllt sein kann... Denn für diese Anzahl gilt offenbar



wobei

1) die Möglichkeiten zählt, wo b,c bel., bel. sind und dann a dadurch bestimmt ist...
2) die restlichen Fälle abzählt, wo d=0, a bel., bel. und c dann bestimmt ist...

Edit: 1) und 2) müssen natürlich addiert werden (s.u.)
Amy-Lou Auf diesen Beitrag antworten »

Hii,

vielen Dank, der erste Vorschlag von tmo habe ich noch selbst hinbekommen, aber ich suchte eine einfache kombinatorische Lösung smile
Danke noch mal, das war genau was ich überlegt habe, aber nicht bis zu Ende hinbekommen habe ^^
Amy-Lou Auf diesen Beitrag antworten »

noch eine Frage, vielleicht ist sie dumm: warum subtrahierst du 2) von 1). Ich hätte eher addiert unglücklich
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Er hat auch addiert. Rechne doch einfach mal nach. Wahrscheinlich ein Tippfehler. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reksilat
Er hat auch addiert. Rechne doch einfach mal nach. Wahrscheinlich ein Tippfehler. Augenzwinkern

Genau... Freude

Meine erster Ansatz hatte nämlich ursprünglich drei Teile, nämlich



Ich habe dann in letzter Minute die ersten beiden zusammengezogen und dann nicht alles ausgebessert, was auszubessern war... unglücklich
Amy-Lou Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt smile habe noch mal nachgerechnet.
Vielen Dank für die Hilfe smile
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