y^3=(x+a)^3-x^3

31.08.2012, 14:37

fermare

y^3=(x+a)^3-x^3

Meine Frage:
Wie löse ich die Gleichung auf x=?

Meine Ideen:
Hab leider keine Idee mehr wie das geht. Bin schon zu lange aus der Schule raus
Kann nur auf
y^3=3x^2a+3xa^2+a^3
umwandeln, dann steh ich an

31.08.2012, 14:49

SinaniS

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RE: y^3=(x+a)^3-x^3
p-q-Formel oder quadratische Ergaenzung hilft hier weiter.

31.08.2012, 18:49

fermare

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RE: y^3=(x+a)^3-x^3
Ja die verstehe ich zwar noch bei ^2, aber bei ^3 kann ich die genaue Vorgangsweise eben nicht mehr. Das ist ja mein Problem

31.08.2012, 20:01

Tremonia

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RE: y^3=(x+a)^3-x^3
Multipliziere die Klammer zunächst aus: y^3 = (a+2)x^2 + 3a^2x +a^3 müsste raus kommen. Und jetzt kannst du doch pq-Formel bzw. abc-Formel nehmen:
0 = (a+2)x^2 +3a^2 x + a^3 -y^3 x1/x2 = ? nur noch ausrechnen

31.08.2012, 21:48

original

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RE: y^3=(x+a)^3-x^3

Zitat:

Original von Tremonia

Multipliziere die Klammer zunächst aus: y^3 = (a+2)x^2 + 3a^2x +a^3 müsste raus kommen.

.. wie kommst du denn hier auf die Vorzahl (a+2) ? traurig

.

@ fermare:

deine Rechnung ->

$\begin{eqnarray*} y^3=3x^2a+3xa^2+a^3 \end{eqnarray*}$

war doch richtig ?! also dann ->

$\begin{eqnarray*} x^2+ ax = \frac{y^3-a^3}{3a} \end{eqnarray*}$

oder so:

$\begin{eqnarray*} (x +\frac{a}{2})^2 = \frac{y^3-a^3}{3a} + \frac{a^2}{4} \end{eqnarray*}$

und das kannst du doch sicher vereinfachen und nach x= .. auflösen? smile

01.09.2012, 00:43

fermare

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RE: y^3=(x+a)^3-x^3
na ja ich komme, wenn ich die Klammer aus multipliziere auf
0=3a*x^2 + 3a^2*x +(a^3 - y^3)
nach der abc Formel

ax^2+bx+c=0
x= (-b+/-Wurzel(b^2-4ac)):2a

komme ich dann auf

x=(-3a +/- Wurzel(-3a^4-12y^3a)) : 6a^2

liege ich da richtig?

Hier könnte ich dann noch die Klammer
(-3a^4 - 12y^3 a)
unterteilen in
3* (-a^4 - 4y^3a)
was bedeuten würde
Wurzel3 * Wurzel(-a^4 - 4y^3a)

liege ich auch hier richtig?
--------
Au ja das war elegant, Original. Hab ich nicht mehr gesehen
--------
die abc Formel habe ich bei Wikipedia unter PQ-Formel gefunden

edit von sulo: Dreifachpost zusammengefügt.

01.09.2012, 15:49

mYthos

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.. beide sind identisch, das ist ersichtlich, wenn p = b/a und c = q/a gesetzt werden.

02.09.2012, 00:01

fermare

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Nun stellt sich mir nur noch die Frage:
Mit welcher Zahl außer einer Vielfachen von Wurzel3 multipliziert wird Wurzel 3 wieder zu einer natürlichen Zahl?
Ich denke nur mit einer Vielfachen.
Aber lässt sich das beweisen?

03.09.2012, 11:38

SinaniS

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Mit welchen Zahlen darf man denn multiplizieren? Mit jeder reellen Zahl? Falls ja: Sei n eine natuerliche Zahl. Dann ist
$\begin{eqnarray*} b \cdot \sqrt{3}=n \Leftrightarrow b=\frac{n}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$
d.h. man darf $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ mit allen Zahlen der Form $\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{3}} = \frac{n}{3} \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ multiplizieren, um wieder auf eine natuerliche Zahl zu kommen. Es gibt also noch andere Zahlen, abgesehen von den Vielfachen von Wurzel 3.

03.09.2012, 19:04

fermare

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Verzeih ich vergaß zu erwähnen, dass ich eine positive natürliche Zahl meinte

03.09.2012, 20:07

original

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Zitat:

Original von fermare

Verzeih ich vergaß zu erwähnen, dass ich eine positive natürliche Zahl meinte

.. sei beruhigt: negative natürliche Zahlen gibt es eh kaum .. smile

04.09.2012, 01:24

fermare

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Sinanis ist nicht auch das n/3*Wurzel 3 ein vielfaches von Wurzel3
Kann man WUrzel3 auch ohne der Erwähnung von Wurzel drei in eine natürliche Zahl verwandeln?
Ist nicht die Division durch 3, nicht einfach eine Proportionsverschiebung?
--------
Wie einzigartig ist die Wurzel aus 3?
Schade, dass diese Frage als ich sie aus dieser Überschrift herausholen wollte gestoppt wurde. Hier ist sie leider etwas verloren und fehl am Platz. Bitte Verzeihung für den Fehler. Wusste nicht, dass es nicht erlaubt ist. Muss es überflogen haben.
Aber gut dann eben hier.
Bei natürlichen Zahlen bin ich mir ziemlich sicher, dass es keine Gleichung gibt, die der Wurzel 3 gerecht wird.
Ich denke, dass dies auch bei den Reelllen Zahlen so ist, wenn man auf die Multiplikation einer x beliebigen Zahl mit Wurzel 3 verzichtet.
--------
Ganz fehl am Platz ist diese Frage doch nicht, denn wenn die Behauptung stimmt, dann kann die bereits oben angeführte Rechnung
x=(-3a +/- Wurzel(-3a^4-12y^3a)) : 6a^2
keine natürliche Zahl hervorbringen, oder?
--------
Weil dabei der Umkehrschluss möglich wäre, dass eine reelle Zahl mit einer Vielfachen von Wurzel aus drei addiert niemals eine natürliche Zahl ergeben kann. Oder?

edit von sulo: Vierfachpost zusammengefügt.

04.09.2012, 01:41

Fragen über Fragen

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Zitat:

Original von SinaniS
Mit welchen Zahlen darf man denn multiplizieren? Mit jeder reellen Zahl? Falls ja: Sei n eine natuerliche Zahl. Dann ist
$\begin{eqnarray*} b \cdot \sqrt{3}=n \Leftrightarrow b=\frac{n}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$
d.h. man darf $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ mit allen Zahlen der Form $\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{3}} = \frac{n}{3} \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ multiplizieren, um wieder auf eine natuerliche Zahl zu kommen. Es gibt also noch andere Zahlen, abgesehen von den Vielfachen von Wurzel 3.

Hier hast du doch schon erkannt, von welcher Form die reelle Zahl b sein muss, um mit Wurzel3 multipliziert eine natürliche Zahl zu ergeben:
b=n/(Wurzel3)

b kann keine natürliche Zahl sein, da Wurzel 3 irrational ist (den Beweis dafür kannst du z.B. bei Wikipedia nachlesen (kurzer Widerspruchsbeweis))

Also wenn du ein natürliches b annimmst, ergäbe die Gleichung umgeformt Wurzel3= b/n, was wegen der Irrationalität von Wurzel3 nicht sein kann.

Und hierzu:

Zitat:

Weil dabei der Umkehrschluss möglich wäre, dass eine reelle Zahl mit einer Vielfachen von Wurzel aus drei addiert niemals eine natürliche Zahl ergeben kann. Oder?

Doch, aus x + k*Wurzel3 = n (n und k natürlich) folgt für die reelle Zahl x :
x= n-k*Wurzel3

04.09.2012, 08:34

fermare

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Nun ja ganz fehl am Platz ist es doch nicht, denn sollte dem so sein ist die Gleichung von oben
Wurzel3 * Wurzel(-a^4 - 4y^3a)
nie eine natürliche Zahl wenn nicht (-a^4 -4y°3a) = 3
oder irre ich da?

04.09.2012, 08:52

SinaniS

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Zitat:

Original von fermare
Nun ja ganz fehl am Platz ist es doch nicht, denn sollte dem so sein ist die Gleichung von oben
Wurzel3 * Wurzel(-a^4 - 4y^3a)
nie eine natürliche Zahl wenn nicht (-a^4 -4y°3a) = 3

Wie wir schon festgestellt haben, müsste dann
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(-a^4 - 4y^3a)} = \frac{b}{\sqrt{3}}= \frac{b}{3} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ für eine natürliche Zahl b gelten. Es gibt also schon noch ein paar mehr Möglichkeiten, etwa unendlich viele Augenzwinkern

04.09.2012, 19:55

fermare

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Sinanis nenn mir doch bitte ein Beispiel bei dem diese Deine Rechnung
b/3Wurzel 3
eine natürliche Zahl ergibt, wenn b kein vielfaches von Wurzel 3 ist!Ich kann keines finden.
-----
denn nur dann gilt b=a * Wurzel3
und somit a/3 * Wurzel3 * Wurzel 3 = a
-----
Die Division durch 3 ist lediglich eine Proportionsverschiebung, ändert aber nicht an der Tatsache, dass die Gleichung der Wurzel 3 bedarf, um zu einer Lösung zu gelangen. AUs natürlichen Zahlen lässt sich die Wurzel drei nicht herleiten
-----
Wenn dem also so ist FRAGEN ÜBER FRAGEN, dass dieser Umkehrbeweis(Widerspruchsbeweis) auf diese Gleichung anwendbar ist, dann möchte ich wieder zum Anfang zurückkehren

Addiert man zu einem Würfel x^3
Drei Kuben x^2*a
drei Kuben x*a^2
und einen Würfel a^3
so erhält man doch den größeren Würfel (x+a)^3
also
z^3= x^3 + 3x^2*a + 3x*a^2 + a^3
setzen wir nun für 3x^2*a + 3x*a^2 + a^3 das y^3 aus unseren oberen Gleichung ein, so sind wir doch bei Fermats großem Satz und hätten diesen somit für die dritte Dimension bewiesen oder?
USW
-----
Ich denke man kann dies ewig fortsetzen und (x+a)^3 zu (x+a)^3*(x+a) --- (x+a)^4 umwandeln, oder.
Die Wurzel aus 3 wird uns erhalten bleiben
denn im Grunde können wir im weiteren schreiben (x^3+y^3)*(x
-----
x^3+y^3 ist nur irrational lösbar und x+a ist eine natürliche Zahl
Hier gilt also der bereits als bewiesen dargestellte Satz
i*n -- i
Irrationale mal natürliche Zahl ergibt immer eine Irrationale Zahl
-----

Edit opi: Dreifachpost zusammengefügt. Beachte, daß Du Deine Beiträge editieren kannst. (Als neues Mitglied zwar nur 15 Minuten, das hätte hier aber locker gereicht. Augenzwinkern

Edit von sulo: Habe drei weitere, sich hieran anschließende Selbstgesprächs-Beiträge von fermare eingefügt.

05.09.2012, 09:29

SinaniS

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Zitat:

Original von fermare
Sinanis nenn mir doch bitte ein Beispiel bei dem diese Deine Rechnung
b/3Wurzel 3
eine natürliche Zahl ergibt, wenn b kein vielfaches von Wurzel 3 ist!Ich kann keines finden.

------

denn nur dann gilt b=a * Wurzel3
und somit a/3 * Wurzel3 * Wurzel 3 = a

Vielen Dank für die Belehrung, das ist, abgesehen von dem gleichen Fehler was die Vielfachen angeht, den ich schon einmal berichtige habe, exakt das, was ich schon zuvor geschrieben hatte:

Zitat:

Original vonSinaniS
Mit welchen Zahlen darf man denn multiplizieren? Mit jeder reellen Zahl? Falls ja: Sei n eine natuerliche Zahl. Dann ist
$\begin{eqnarray*} b \cdot \sqrt{3}=n \Leftrightarrow b=\frac{n}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$
d.h. man darf $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ mit allen Zahlen der Form $\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{3}} = \frac{n}{3} \cdot \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ multiplizieren, um wieder auf eine natuerliche Zahl zu kommen. Es gibt also noch andere Zahlen, abgesehen von den Vielfachen von Wurzel 3.

Ich weiss nicht, ob du dir überhaupt durchgelesen hast. Ich habe nicht behauptet, dass $\begin{eqnarray*} \frac{b}{3} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl ist, wenn b eine natürliche Zahl ist, sondern dass diese Zahl multipliziert mit Wurzel 3 eine natürliche Zahl ist. Ein letzter Versuch: Nehmen wir b=1, dann ist
$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{3} \sqrt{3} \right) \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 3 =1 \end{eqnarray*}$ offensichtlich eine natürliche Zahl.

Man kann auch $\begin{eqnarray*} \frac{b}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ schreiben. Fakt ist, dass nicht alle rellen Zahlen x mit $\begin{eqnarray*} x\cdot \sqrt{3} \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ Vielfache von Wurzel 3 sind, also $\begin{eqnarray*} x= n \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ für eine natürliche Zahl n, sondern $\begin{eqnarray*} x= \frac{n}{ \sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ . Sowas nennt man in der Regel nicht "Vielfaches" von Wurzel drei...

Ich werde mich ab jetzt nicht weiter zu dem Thema hier äußern, es lohnt sich ja kaum irgendwelche Beiträge zu verfassen, die dann doch nur von anderen Usern als dem Fragesteller gelesen werden. Viel Erfolg noch.

05.09.2012, 14:31

fermare

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Verzeih Sinanis, aber ich habe Deine Stellungnahmen sehr wohl durch gelesen. Lassen wir diese Untergriffigkeiten

ist a* Wurzel 3 nicht ein Vielfaches von Wurzel 3

Deine Rechnung stimmt vollkommen. und bestätigt den Grund meiner Frage

Nehmen wir die Rechnung von vorhin

Wurzel3 * Wurzel (-a^4 -4y^3 a)

dann müsste -a^4 - 4y^3a = 3b^2/9 sein
damit wir schreiben können Wurzel3 * Wurzel3 * b/3
so wäre y^3= (3b^2/9+a^4)/-4a =s
Da allerdings y eine natürliche Zahl sein soll
so muss die dritte Wurzel aus s trotzdem s eine negative Zahl ist eine natürliche Zahl sein
Geht das?

Gibt das Sinn für Dich?

Genau das war der Grund für die Frage, ob es noch eine andere Möglichkeit außer der Multiplikation mit einer Vielfachen von Wurzel 3 gibt, wenn a und b natürliche Zahlen sind

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y^3=(x+a)^3-x^3

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