Positiv Definit

Neue Frage »

Marina_122 Auf diesen Beitrag antworten »
Positiv Definit
Meine Frage:
In meinem Skript besitze ich folgende Definition:
Eine reelle quadratische Matix A heißt positiv definit, falls A symmetrisch ist und x^t * A * x > 0 (für alle x element R^n ohne den Nullvektor).

Ich verstehe nicht, weshalb A symmetrisch sein muss, um die positive Definitheit zu erfüllen, da z.B auf Wiki die Symmetrie nie ein zwingendes Kriterium darstellt.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Meine Ideen:
Ist es vielleicht so, dass eine reelle quadratische Matrix die positiv Definit ist IMMER symmetrisch ist?
Tremonia Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube eine symetrische Matrix ist dann positiv definit, wenn deren Eigenwerte >0 sind. Und wenn man die Choleskey_Zerlegung machen kann.
sandra-mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Hm...ich finde die Frage auch sehr interessant. Von Definitheit spricht man ja eigentlich meistens im Zusammenhang mit einer Bilinearform x^tAx und da ist A in der Tat in der Regel symmetrisch. Ich bin mir jedoch auch unsicher, ob A wirklich symmetrisch sein muss, oder ob man es eben nur so wählen kann, dass es symmetrisch ist.
Z.B. stellt die Matrix A1= ja die gleiche Bilinearform dar wie die Matrix A2=

Daher denke ich, dass auch A1 positiv definit wäre, aber eben A1 und A2 die gleiche Bilinearform darstellen und man daher ("übereinkunftsmäßig", vll weil symmetrisch irgendwie schöner ist, aber nicht zwingend) die symmetrische Form wählt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sandra-mathe
Ich bin mir jedoch auch unsicher, ob A wirklich symmetrisch sein muss, oder ob man es eben nur so wählen kann, dass es symmetrisch ist.


Genau da liegt der Hund begraben.

Mit gilt .

B ist unabhängig von der Wahl von A symmetrisch. Daher reicht es sich bei Definitheit auf symmetrische Matrizen zu beschränken.
sandra-mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, alles klar! Vielen Dank! smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Als Ergänzung:
Im Komplexen folgt aus der positiven Definitheit auch, dass die Matrix hermitesch ist.
 
 
sandra-mathe Auf diesen Beitrag antworten »

@Che Netzer: Nur dem Sinne wie eine reelle positiv definite Matrix auch symmetrisch ist (also eher: die Darstellung der Biliniearform kann symmetrisch gewählt werden)? Oder muss sie zwingend hermitesch sein?
Folgende komplexe Matrix wäre doch eigentlich auch positiv definit (aber nicht hermitesch)?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die ist nicht positiv definit:

und das ist nicht größer als Null.

Generell gilt das für alle Darstellungen, also für die Matrix selbst ganz direkt. (soweit ich weiß)
sandra-mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Hm...jetzt komm ich nicht mehr ganz mit ... unglücklich
Warum ist 2+i nicht größer als null? Und alle Hauptminoren der Matrix sind doch größer null (beide +1) und der einzige Eigenwert ist +1, oder? Dann müsste sie doch auch positiv definit sein ?!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre denn deiner Meinung nach ?

Und im Komplexen kann man das mit den Determinanten/Eigenwerten nicht mehr anwenden.
Da zählt dann nur, ob (Es spielt hier keine Rolle, wo das steht, da , wenn der Wert reell ist).
sandra-mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Nein i>0 würde ich nicht sagen, aber auch nicht unbedingt, dass es kleiner -2 ist.
Das i^2=-1 ist mir schon klar, aber wie kann ich das bei einer Zahl abschätzen die reellen und komplexen teil hat?
Wenn man für einen beliebigen Vektor berechnet, bekommt man doch heraus.
Oder ist einfach jede reell-imaginär-gemischte Zahl nicht größer null? Einfach weil sie eben einen imaginären Anteil besitzt?
Vielen Dank für deine Geduld! smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sandra-mathe
Oder ist einfach jede reell-imaginär-gemischte Zahl nicht größer null? Einfach weil sie eben einen imaginären Anteil besitzt?

Genau. Komplexe Zahlen kann man nicht miteinander vergleichen, das funktioniert nur bei reellen Zahlen.
sandra-mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, wieder was gelernt smile Vielen Dank! Wink
eveent Auf diesen Beitrag antworten »

naja, das mit Binomen und Quadratischer Ergänzung üben wir nochmal Augenzwinkern ich komme aber auf das gleiche Ergebnis, die Matrix ist positiv definit für belibige x,y aus R.

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal kein eine Matrix nicht positiv definit "für einen bestimmten Vektor" sein; entweder ist sie positiv definit oder nicht. Außerdem sollten und hier im allgemeinen komplex sein. Über ist z.B. nicht mehr positiv definit.

Das Hauptproblem ist jedenfalls, dass tatsächlich nicht positiv sein muss, selbst für reelle und . Für erhält man wie gesagt , was keine positive Zahl ist.

Das Quadrat einer komplexen Zahl (wie hier das von ) ist nämlich nicht immer größer gleich Null, wie es im Reellen der Fall war. Und für komplexes muss natürlich selbst nicht mehr positiv sein.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »