Teilbarkeitsregel für 7 beweisen (Alternierende 3-Quersumme) |
| 02.09.2012, 12:58 | Ezrael | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Teilbarkeitsregel für 7 beweisen (Alternierende 3-Quersumme) Hallo, ich brauche einen Beweis für folgende Teilbarkeitsregel der Zahl 7: "Wenn die alternierende 3er-Quersumme der Zahl a durch 7 teilbar ist, dann ist auch a durch 7 teilbar." Am liebsten würde ich es mit Modulo/Restklassen beweisen falls das hier möglich ist. Meine Ideen: Man baut offenbar auf der Tatsache auf, dass 1001 durch 7 teilbar ist und damit sehr günstig in der Nähe von 1000 liegt. Ich habe herausgefunden, dass man eine Zahl x, von der man die Teilbarkeit prüfen will, auch als: x = 1000b + a = 1001b + (a-b) schreiben kann. a ist die Zifferngruppe aus den letzten 3 Ziffern der Zahl, 1000b entsprechend der Rest. 1001b wäre damit auf jeden Fall durch 7 teilbar, man muss jetzt nur noch die Teilbarkeit von (a-b) prüfen. Auf (a-b) wiederum kann man erneut diese Regel anwenden und wieder 3 Ziffern abschneiden. Da durch das -b aber die Zahl negiert wurde, entsteht dieser Vorzeichenwechsel der alternierenden Quersumme. Das macht man so lange bis nur noch eine Zahl mit max. 3 Stellen übrig ist, die hat dann den selben Rest wie die ursprüngliche Zahl bei der Teilung durch 7. Was ich aber noch nicht ganz verstehe ist, warum bei der "offiziellen" Quersummenregel z.B. die Änderung der Tausenderstelle nicht berücksichtigt werden muss, und vor allem wie man von der Methode die ich gerade vorgeführt habe auf die Quersummenregel kommt. Würde mich über Antworten freuen. Vielen Dank im Voraus |
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| 02.09.2012, 13:19 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hallo,
Was ist denn eine 3-er Quersumme? Ich kenne die Aussage in der Version
Das ist hier sogar der Königsweg. Es verwundert mich, dass in deinen Ideen zur Modulo-Rechnung eigentlich nicht auftaucht. Damit lassen sich deine prinzipiell wohl richtig gemeinten Ausführungen auch präzisieren. Eine Zahl x ist durch 7 teilbar wenn . Berechne 1000 mod 7 und wende das auf die Verallgemeinerung dieser Darstellung
an. |
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| 02.09.2012, 13:59 | Ezrael | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
1000 mod 7 = 6 bzw. -1 Ich hab schon davon gelesen, dass sich dieser Rest alle 3 Zehnerpotenzen wiederholt, daher wohl auch die 3er-Gruppen, aber auf den Zusammenhang zwischen all dem bin ich noch nicht gekommen. |
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| 02.09.2012, 14:07 | Ezrael | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hab ein bisschen sinnlos rumgerechnet, ich weiß nicht ob das was bringt: (1000b - a) mod 7 soll 0 sein, also: (1000b mod 7 - a mod 7) mod 7 = 0 ((1000 mod 7 * b mod 7) mod 7 - a mod 7) mod 7 = 0 ((-b mod 7) mod 7 - a mod 7) mod 7 = 0 ((-b mod 7) - a mod 7) = 0 -b mod 7 muss also a mod 7 sein. |
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| 02.09.2012, 14:12 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Schreibe x als mit und wende darauf Modulo-Rechenreglen an. Und wenn du modulo-Gleichungen aufstellt: Ein reicht völlig und ist deutlich übersichtlicher als deine Schreibweise. Kennst du eigtentlich den Beweis: teilbar durch 3 gdw Quersumme teilbar durch 3 ? |
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| 02.09.2012, 14:21 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
hallo ezrael, für deine anfänglichen ausführen kann ich dir nur gratulieren, sie treffen genau den kern der sache, und der trick mit der alternierenden 3er-quersumme funktioniert eben deswegen, weil 1000 eben kongruent zu -1 modulo 7 ist. gruss ollie3 |
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| 02.09.2012, 14:29 | Ezrael | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Irgendwie fehlt da aber noch der Vorzeichenwechsel, also (-1)^i, auf den ich nicht gekommen bin. Habe ich einen Fehler gemacht? |
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| 02.09.2012, 14:38 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
hallo, der vorzeichenwechsel entsteht doch deswegen, weil 10^3=-1 mod 7 ist, dann ist 10^6=1, 10^9=-1 usw. dass heisst bei jeder 1000-stelle wechseln sich +1 und -1 immer ab. gruss ollie3 |
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| 02.09.2012, 14:43 | Ezrael | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ah, natürlich! Dann haben wir also im Endeffekt: Was nichts anderes als die alternierende 3er-Gruppensumme ist. Danke für die Hilfe! |
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