rekursive folge explizit darstellen

03.09.2012, 04:29

rez

rekursive folge explizit darstellen

Meine Frage:
Hallo, ich hänge hier wirklich sehr stark fest :/ bitte hilfe?

Stelle die Folge explizit dar:
a(n) = 1 + (1/a(n-1)).
a(0) = 1.

Falls es hilfreich ist, die lösungstabelle:
a(0)=1; a(1)=2; a(2)=3/2; a(3)=5/3; a(4)=8/5; a(5)=13/8; a(6)=21/13; a(7)=34/21

Meine Ideen:
Ich hab wirklich schon alles mögliche ausprobiert, hänge aber hier fest:

a(1) = a(0)^(-1) + 1
a(2) = (a(0)^(-1) +1)^(-1) + 1
a(3) = ((a(0)^(-1) +1)^(-1) + 1)^(-1) + 1

Man sieht ja, dass a(0) immer ^(-1) genommen wird und mit eins addiert wird, leider nicht einfach n-mal, aber trotzdem wird das ja mit jedem weiteren n einmal öfter durchgeführt, die lösung/der zusammenhang müsste also nah sein, aber ich komm nicht drauf... unglücklich

durch umstellen hab ich auch nur sowas nutzloses rausbekommen...
a(0) = a(1)*a(0)-1
a(0) = a(2)*a(0)+a(2)-2

Danke im Voraus falls mich jemand erlöst...

03.09.2012, 07:13

IfindU

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RE: rekursive folge explizit darstellen
Der Zähler ist eine Fibonaccizahl, und der Nenner ist die vorige Fibonaccizahl. Und für diese gibt es eine explizite Darstellung.

03.09.2012, 15:20

rez

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RE: rekursive folge explizit darstellen
Was meinst du mit der vorigen Fibonacciazahl? Ich sehe immer noch keinen weg, durch das wissen dass zähler n = zähler(n-1) + zähler (n-2) ist,
den zähler n unabhängig von a(n-irgendwas) darzustellen.. und dass der nenner immer die fibonacciazahl "vor" dem nenner ist sagt mir nichts, weil ich da auch keine formel finde, was man allgemein immer vom nenner abziehen kann um den zähler zu kriegen, also auch von den a(n-1...) abhängig :P

03.09.2012, 15:29

IfindU

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RE: rekursive folge explizit darstellen
Betrachte einmal nur den Nenner:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,... - das ist die Fibonaccifolge.
Und nun nur den Zähler:
1,2,3,5,8,13,21,34,.... - das ist wieder die Fibonaccifolge, allerdings etwas versetzt, weil man den ersten weggelassen hat. Alles was du brauchst ist die explizite Formel für die n-te Fibonaccizahl F_n und dann lautet die Formel F_{n+1} / F_n.

03.09.2012, 15:37

HAL 9000

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Wobei man meistens die Fibonacci-Folge mit $\begin{eqnarray*} F_0=0,F_1=1 \end{eqnarray*}$ starten lässt, wodurch sich hier noch eine kleine Indexverschiebung ergibt, wenn es um $\begin{eqnarray*} a(n) \end{eqnarray*}$ gehen soll:

$\begin{eqnarray*} a(n) = \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} \end{eqnarray*}$

03.09.2012, 15:52

rez

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RE: rekursive folge explizit darstellen
Gerade das krieg ich einfach nicht raus. Ich kann ja eine tabelle für den nenner und n machen, zwischen denen brauch ich ja einen zusammenhang, nicht zwischen dem vorigen wert (des nenners) und dem jetzigen, aber da ist keiner :/

Hal 9000: Das ist immer noch rekursiv odr?... in rekursiver form kenne ich jetzt glaub ich alle möglichen formelvarianten, die zutreffen xD nur explizit will es einfach nicht werden..

03.09.2012, 15:59

HAL 9000

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Ich verstehe dein Klagen nicht: Wir sind uns doch erstmal einig, dass

$\begin{eqnarray*} a(n) = \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} \end{eqnarray*}$

gilt, oder? Also brauchst du nur noch eine explizite Darstellung der Fibonacci-Folge, und die liefert z.B. die Binet-Formel.

03.09.2012, 16:12

rez

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sorry, bin wohl mit den nerven fertig...
Also bei der Binet-Formel verstehe ich die beiden Zeichen im Bruch nicht, und die erklärung der zeichen zeigt auch nur, dass ich die lösung, falls ich sie fände, nicht verstehen könnte....

Das versteh ich auch nicht, a(3)= a(5)/a(4) nicht.
Was genau besagt diese Formel denn dann? (und was bringt sie, da sie ja auch nicht von n abhängig ist)...

03.09.2012, 16:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von rez
Das versteh ich auch nicht, a(3)= a(5)/a(4) nicht.

Ich verstehe daran nur, dass du wohl jetzt endgültig mit den Nerven fertig bist und deswegen rechts $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ verwechselst. Vielleicht tut eine Pause not.

03.09.2012, 16:27

rez

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Ich hab schon gemerkt, dass es nicht a heißt, wie es bei diesem [ a(3)= a(5)/a(4) ]
verständnis heißen müsste, aber ich wusste auch nicht was F dann sonst bedeuten soll. einfach nur n+1 ist es auch nicht.

03.09.2012, 16:40

HAL 9000

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Ich hab jetzt keine Ahnung, wo es noch klemmt: Ist es

(a) die Darstellung $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} \end{eqnarray*}$ ,

(b) dass $\begin{eqnarray*} (F_n) \end{eqnarray*}$ die Fibonacci-Folge ist,

(c) was überhaupt die Fibonacci-Folge ist,

(d) inwieweit die explizite Darstellung der Fibonacci-Folge (d.h. die Binet-Formel) die explizite Darstellung von $\begin{eqnarray*} a(n) \end{eqnarray*}$ ermöglicht,

(e) ganz was anderes? verwirrt

03.09.2012, 16:55

rez

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Ich würde sagen alles Big Laugh

oder inwiefern es mir eben hilft, a(n) in abhängigkeit von a(o) oder n darzustellen, dafür hab ich noch keinen einzigen anhaltspunkt gefunden/verstanden.

bei (a) weiß ich wie gesagt nicht wofür F steht,

(b) und (c) verstehe ich soweit schon denke ich, nur nicht inwieweit es hilft, ich wusste ja dass es zusammenhänge gibt zwischen den vorhergegangenen werten und dem jetzigen, die suche ich nicht, das wäre ja rekursiv,

und (d): doch, denke ich weiß dass die explizite Darstellung der Fibonacci-Folge die explizite darstellung von a(n) ermöglicht. nur kann ich ebendiese darstellung nicht finden, egal wieviele tausend versuche ich mache. :P

Aber danke für deine geduld. smile

03.09.2012, 17:01

HAL 9000

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Also ehrlich, mach doch mal die Augen auf:

Zitat:

Original von rez
bei (a) weiß ich wie gesagt nicht wofür F steht,

Die Antwort dazu ist (b): $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ steht für die Fibonacci-Folge. Das ist hier im Thread schon zig-mal gesagt worden.

Und wieso kannst du Darstellung (d) "nicht finden"? Sie steht doch direkt da im Wikipedia-Artikel. unglücklich

Zitat:

Auszug aus dem oben verlinkten http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-F...on_Moivre-Binet

[...] erhält man die explizite Formel von Moivre-Binet

$\begin{eqnarray*} f_n = \ldots = \frac1{\sqrt 5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt 5}2\right)^n \right] \end{eqnarray*}$

Expliziter geht es nicht. Ich hoffe, es scheiterte jetzt nicht daran, dass ich oben mit $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ operiert habe und die Wikipedia mit $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ? Gemeint ist da jedenfalls dasselbe.

03.09.2012, 17:09

rez

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Ok, das mit F war wirklich dumm. Versteh jetzt auch http://www.matheboard.de/latex2png/latex...a_n%20=%20\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}
wegen dieser verschiebung, weil es ja nicht der anfangswert 0 sondern 1 ist.

Nur bei der formel in wikipedia erklären sich mir die zeichen (außer n) im bruch nicht durch die erklärung in wikipedia, wie gesagt.

Achso, dann versteh ich nur die herleitung der formel nicht/verstehe sie nicht. habe sie aber. das ist nicht gut oder?

03.09.2012, 17:21

HAL 9000

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Ans sich geht es zunächst ja mal drum, eine explizite Formel für $\begin{eqnarray*} a(n) \end{eqnarray*}$ aufzustellen, dazu gehört im Anschluss dann aber auch, sie zu beweisen. D.h., zu zeigen, dass diese Formel die geforderten Eigenschaften

$\begin{eqnarray*} a(n) = 1 + \frac{1}{a(n-1)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} a(0) = 1 \end{eqnarray*}$

auch tatsächlich hat. Und der Beweis der ersten Eigenschaft ist natürlich dem Beweis der Binet-Formel in weiten Teilen gleich.

03.09.2012, 17:24

rez

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ich meine, die fibonacci-folge ist ja etwas nachvollziehbares. kann man dann ihre darstellung (explizit) nicht auch so ausdrücken? (d.h. nur durch die gegebenen folgenwerte, ohne diese explizite darstellung wie Abraham de Moivre schnell zu entdecken oder zu googlen?

die wurzel 5 in der formel zB...
Ich hab verstanden, dass x = ((1+wurzel5)/2)^2 - ((1+wurzel5)/2) - 1 = 0...
aber wie soll man darauf kommen?

03.09.2012, 19:25

HAL 9000

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Was ist "auch so ausdrücken"? Und dann dieses unsägliche, nicht ausrottbare "wie soll man drauf kommen"? Es lässt sich eben nicht alles in der Mathematik mit Unterstufenkenntnissen und zwei, drei Schritten erklären.

03.09.2012, 22:21

rez

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Auch so ausdrücken = na in eine formel schreiben, die man in einem stück nachvollziehen kann. ich brauch doch keine seite voll musterlösungen, ich wills verstehen. Und ich glaube dass jemand, der es einem, ders nicht versteht, nicht erklären kann, es auch kein bisschen versteht.

ich sage "wie soll MAN darauf kommen", weil es eben eine erklärung gibt, die es JEDEM erklärt, egal wie wenig vorwissen er hat.

und zum letzten punkt.. doch lässt es, das ist der punkt. was hab ich wegen mathe schon nervenzusammenbrüche gehabt wegen leuten, die so denken Big Laugh

wie kann man glauben, es zu verstehen, wenn man es nicht in logischen schritten herleiten kann? ich weiß jetzt immerhin dass ich nicht auf hilfe von leuten warten darf, die das nicht können/wollen, sondern selbst solange drauf rumhacken muss, bis ichs rauskrieg... so kommt man von ner 6 auf 15 punkte, und anders nicht in tausend jahren...

03.09.2012, 22:53

IfindU

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Es würde mich überraschen, wenn HAL nicht mindestens 2 Herleitungen der Formel im Kopf hat. Aber du erwartest wirklich, dass man ein Semestervoll von Stoff in 2-3 kurzen Schritten erklären kann? Das würde wohl bedeuten, dass man ein komplettes Mathestudium leicht in wenigen Wochen absolvieren kann und man den ganzen Stoff in höchsten 2-3 Seiten zusammenfassen kann.

03.09.2012, 23:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von rez
ich sage "wie soll MAN darauf kommen", weil es eben eine erklärung gibt, die es JEDEM erklärt, egal wie wenig vorwissen er hat.

Soll ich hier ganze Lehrbücher bzw. Vorlesungen vortragen? Und vom Hundertsten ins Tausendste kommen, weil mir immer monoton entgegenschlägt "Kenn ich nicht", "Versteh ich nicht", ...

Wenn der Wille zur Mitarbeit fehlt, bin ich ganz klar hier auf verlorenem Posten, das ist mir schon klar.

03.09.2012, 23:33

Mystic

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Es wäre vielleicht den Versuch wert, dass man die verwandte Folge

$\begin{eqnarray*} \tilde{a}_n:=\binom {F_{n+2}}{F_{n+1}} \quad (n \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$

betrachtet, für welche dann offensichtlich die Rekursion

$\begin{eqnarray*} \tilde{a}_n=\begin{pmatrix} 1 &1\\1 &0 \end{pmatrix} \tilde{a}_{n-1} \quad n>0 \end{eqnarray*}$

gilt, die man aber leicht wie folgt auflösen kann:

$\begin{eqnarray*} \tilde{a}_n=\begin{pmatrix} 1 &1\\1 &0 \end{pmatrix}^n \binom 11 \quad (n \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$

Vielleicht ist rez ja damit schon zufrieden, sonst könnte man hier noch ein Stück weitermachen, indem man auch noch versucht eine explizite Formel für die auftretenden Matrixpotenzen zu finden... Augenzwinkern

04.09.2012, 03:35

rez

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Nein, gerade das erwarte ich nicht, die aufgabe IST fast unterstufenniveau bzw. das buch, und es ist dort klar angeregt, die aufgaben durch überlegen zu lösen.
und ich war nah dran und dachte, den letzten schritt könnte mir ein master-mind nahelegen. smile

ich wollte einfach so ne alternativ-lösung, keine perfekte, nur nachvollziehbar, zB wie hier:

rekursiv: a(n) = (2/3) a(n-1)-1. a(0)=3.
explizit: a(n) = a(0) *(2/3)^n - (2/3)^(n-1) - (2/3)^(n-2) -...- (2/3)^1 - 1 .

Da hatte ich probleme und bin dann durch überlegen und ausprobieren (OHNE seitenlangen hochschulstoff) auf zumindest eine notlösung gekommen.
bei dieser aufgabe hab ichs ohne hilfe nicht geschafft (vereinfachen ging nicht, weil nenner nicht teilbar ist).

@mystic, danke dass du die hoffnung nicht aufgegeben hast, aber ich glaube ich hab für eure methoden wirklich nicht genug wissen, ist nunmal so (@HAL 9000)... die matrixdarstellung (?) hab ich noch nie gesehen außer bei LGS, weiß nicht was das für eine folge bedeutet, und ich sollte eure geduld vielleicht nicht noch weiter strapazieren, mir das zu erklären....

04.09.2012, 07:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von rez
die aufgabe IST fast unterstufenniveau

Das ist natürlich Unsinn, und das weißt du. Ich weiß nicht, woher die Aufgabe stammt, aber ich schätze mal Klasse 11/12, Leistungskurs. Und von einem Schüler, der diesen LK wählt, kann man dann schon verlangen, dass er nach diesen Vorarbeiten und dem Stichwort "Fibonaccifolge" hier im Thread sich zu dieser Fibonaccifolge kundig macht. Dazu muss man sich heutzutage nicht mal von seinem Stuhl erheben und in die Bibliothek gehen, sondern kann z.B. im Internet recherchieren. Und wenn einem der Wikipediaartikel dazu zu kompliziert geschrieben ist, dann sucht man sich etwas was anderes - gerade zur Fibonaccifolge gibt es ja Informationen wie Sand am Meer, selbst hier im Matheboard (tipp das mal in der Suche ein).

Aber man muss sich eben bewegen und nicht einfach nur rumjammern und fordern, dass hier die Helfer alles auf Unterstufenniveau erklären.

04.09.2012, 11:45

Mork vom Ork

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Zitat:

Original von rez
...die aufgabe IST fast unterstufenniveau bzw. das buch, und es ist dort klar angeregt, die aufgaben durch überlegen zu lösen...

Könntest Du diese Behauptung bitte durch einen konkreten Quellverweis belegen?
Bitte versteh mich nicht falsch, ich will Dir nichts unterstellen. Es würde mich einfach nur der genaue Wortlaut und der Kontext dieser Aufgabe interessieren.

04.09.2012, 12:47

rez

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@HAL: ok nicht unterstufenniveau (hab das auch irgendwie mit mittelstufe verwechselt, meinte halt FAST-noch-nicht-oberstufe), also es ist knapp oberstufe, aber eben doch so weit weg von euren hochschulsemestern, dass ich mir nicht vorstellen kann, dass eine lösung seitenlanges material von euch enthalten sollte.
Man wählt mathe-LK nicht mehr, man kriegt ihn aufgezwungen.
Ich hab die folge natürlich sofort gegooglelt (wusste vorher nichtmal ansatzweise was das ist), habs auch verstanden, nur nicht die umwandlung zu explizit, also wieso das die lösung ist. nur die lösung, ohne das zu wissen, bringt natürlich nichts.

MOrk: Lambacher Schweizer, Mathematik Gymnasien, Kursstufe. 11. Klasse G8. Wie schon zugegeben, unterstufe ist nicht wahr, aber ist schon sehr weit von hochschulstoff entfernt (von der art wie ihr hier schreibt :P ).
Die aufgabe gibts eigentlich gar nicht, ich wollte nur von allen vorkommenden formeln schauen, ob ich die jeweils andere darstellung finden kann (hier explizit). Bei dieser aufgabe sollte man nur einen graphen aus der rekursiven erstellen.

Allerdings lauten zwei spätere aufgaben:

5) Bestimmen Sie eine explizite Darstellung.
(Tipp: Rechnen Sie zunächst einige Folgenglieder aus.)
a.) a(n)=a(n-1)+5; a(0)=2.
...

8) Geben Sie eine rekursive Darstellung an.
(Tipp: Vergleichen Sie a(n) und a(n-1).)
a.) a(n)= n+5.

04.09.2012, 13:25

Mystic

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Bezugnehmend auf die Formel, die ich oben angegeben habe, nämlich

$\begin{eqnarray*} \tilde{a}_n =\begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix}^n \binom 11 \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \tilde{a}_n \end{eqnarray*}$ der Spaltenvektor ist, dessen Komponenten der Zähler bzw. Nenner von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ sind, hätte ich da auch noch ein paar Fragen:

a) Verstehst du diese Formel, jetzt nur einmal in dem Sinne, dass du sie anwenden kannst? *)
b) Erscheint sie dir in deinem Sinne "explizit" genug?
c) Ist die Anwendung dieser Formel jetzt noch Oberstufenniveau oder schon Hochschulniveau für dich?
d) Ist die Herleitung dieser Formel noch Oberstufenniveau oder schon Hochschulniveau für dich?

*) Hier noch ein paar Beispiele dazu:

$\begin{eqnarray*} \tilde{a}_0 =\begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix}^0 \binom 11=\binom 11 \Rightarrow a_0=\frac 11 =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tilde{a}_1 =\begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix}^1 \binom 11=\binom 21 \Rightarrow a_1=\frac 21 =2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tilde{a}_2 =\begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix}^2 \binom 11=\begin{pmatrix} 2 & 1\\1 & 1 \end{pmatrix} \binom 11=\binom 32 \Rightarrow a_2=\frac 32 \end{eqnarray*}$
usw.

04.09.2012, 13:29

Mork vom Ork

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Zitat:

Original von rez
Die aufgabe gibts eigentlich gar nicht, ich wollte nur von allen vorkommenden formeln schauen, ob ich die jeweils andere darstellung finden kann (hier explizit). Bei dieser aufgabe sollte man nur einen graphen aus der rekursiven erstellen.

Aha!
Offenbar hat es schon seinen guten Grund, dass für diese Folge nicht nach der expliziten Darstellung gefragt wurde.
Die explizite Darstellung liegt in diesem Fall, trotz recht simpler Rekursionsvorschrift, eben nicht einfach so auf der Hand.

Zitat:

Allerdings lauten zwei spätere aufgaben:...

Ja das sieht schon anders aus und da sind wir dann auch wieder auf Schulniveau!

04.09.2012, 14:34

rez

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@mystic: ja, mit wikipedia hab ich diese matrix-schreibweise jetzt kapiert,

a. Kann sie jetzt anwenden,
b. Ja, ist auf jeden fall eine explizite und gute lösung.
c. Anwenden auf jeden fall oberstufe, ist ja nicht schwer.
d. Rausfinden: hochschule. (also wenn ich die herleitung kenne/verstehe, ist es vielleicht auch machbar/ -> oberstufe... Muss es mir dann mal angucken, wenn ich nachher zeit hab.)

@mork: Ja bei mir ist es so, dass ich ein thema nur wirklich gut verstehe/ ALLES kann wenn ich es eben so durchgehe, nicht nur alle aufgaben mache, sondern auch alles was mir so einfällt was man können könnte, können muss Big Laugh

alles oder nichts :P wenn ich nicht alles alles checke hab ich nicht die motivation überhaupt zu lernen...
Ist mir schon klar, dass die aufgabe deshalb nicht gestellt war, aber durch rumrechnen konnte ich sehen, dass es eine lösung gibt und sie nah sein muss, und ich kann dann halt nicht aufhören bis ich sie raushab.

a(n)=1 + (1/a(n-1)).

a(0)=1.
a(1)=1+1/a(0).
a(2)=1+1/(1+1/a(0)).
a(3)=1+1/(1+1/(1+1/a(0))).
a(4)=1+1/1+1/(1+1/(1+1/a(0)))).

Das ist für mich ein lösungsansatz, weil man ja erkennen kann, wie das immer n-mal "durchgeführt" wird, also ein zusammenhang zwischen n und a(n), konnte es nur nicht fassen. nenner nicht teilbar, also nix vereinfachen :P

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