Basiswechsel, Ähnlichkeitstransformation

03.09.2012, 16:07	nima93	Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechsel, Ähnlichkeitstransformation Meine Frage: Hallo, Ich habe ein Grundlegendes Verständnisproblem bei Ähnlichkeitstransformationen. Dort wird immer angesetzt mit einem Basiswechsel: $\begin{eqnarray} A \Rightarrow Q^{-1} A Q \end{eqnarray}$ Das verstehe ich allerdings schon nicht. Wie kommt man auf diese Gleichung, warum wird mit Q und mit dem Inversen multipliziert und wieso soll gerade das ein Basiswechsel sein? Ich hätte erwartet, dass es genügt, mit einer Drehmatrix zu multiplizieren, um einen Basiswechsel zu vollziehen. Warum stimmt das nicht? Vielleicht kann mir mal jemand von dem Schlauch, auf dem ich stehe, runterhelfen^^ Vielen Dank schonmal im Voraus! viele Grüße nima93 Meine Ideen: .
04.09.2012, 02:32	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechsel, Ähnlichkeitstransformation Nehmen wir mal ein Beispiel Du möchtest ein Dreieck (oder eine beliebige Form) entlang der y-Achse um den Faktor 1,5 strecken. Für diese einfache lineare Abbildung genügt eine Linksmultiplikation ("A") mit der Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dadurch wird der erste Standardbasisvektor e1* unverändert auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , der zweite e2 auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ abgebildet. Nun has du ein gedrehtes Dreieck der gleichen Form und Größe. Es hat die gleichen Eckpunktkoordinaten bezogen auf eine neue "gedrehte" Basis $\begin{eqnarray} b1=\begin{pmatrix} 0,5 \\ -0,87 \end{pmatrix},b2=\begin{pmatrix} 0,87 \\ 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es soll jetzt genauso entlang seiner senkrechten Achse/ b2 gestreckt werden. Dazu dreht man es erst zurück (= bildet die neue Basis auf die Standardbasis ab) durch $\begin{eqnarray} Q^{-1} \end{eqnarray}$ , dann entlang e2 gestreckt ( $\begin{eqnarray} A* \end{eqnarray}$ ) und nun Standardbasis* auf b1,b2 abbilden: $\begin{eqnarray} Q=\left(b1,b2\right) = \begin{pmatrix} 0,5 & 0,87 \\ -0,87 & 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Würde man nicht zweimal drehen, würde das Dreieck gestreckt und gedreht. Ähnlichkeitstransformation heißt aber: Die Koordinaten des zweiten Dreiecks bezogen auf b1,b2 werden durch M genauso verändert wie die des ersten durch A. Die Matrix $\begin{eqnarray} M=QAQ^{-1} \end{eqnarray}$ ist deshalb ähnlich zu A und es gilt: $\begin{eqnarray} A=Q^{-1}MQ \end{eqnarray}$
05.09.2012, 01:26	nima93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechsel, Ähnlichkeitstransformation Hallo und vielen Dank für deine Mühe! Das klingt ansich sehr plausibel, aber warum kann ich nicht einfach in der neuen Basis in Richtung des dem y-Vektor entsprechenden Basisvektors strecken? Oder macht das alles unnötig kompliziert?
05.09.2012, 23:26	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechsel, Ähnlichkeitstransformation Genau das macht die Matrix M: Sie streckt in Richtung b2. Wenn du "direkt" auf M kommen willst, musst du umständlich zwei Punkte mit der unbekannten Matrix multiplizieren, sie mit deren Bildpunkten gleichsetzen und ein vierzeiliges LGS lösen. Außerdem erkennt man so nicht den Zusammenhang zwischen A und M. Es ist immer leichter, Streckungen, Drehungen, etc. an der Standardbasis durchzuführen als an "krummen" Vektoren. Auch eine Spiegelung an irgendeiner Ursprungsgeraden lässt sich auf eine Spiegelung an der Y-Achse mit anschließender Basistransformation zurückführen. Als Übung kannst du ja mal an der Geraden g(x)=2x spiegeln. b2 entspricht dem Vektor parallel zu g geteilt durch seinen Betrag.
07.09.2012, 15:18	nima93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechsel, Ähnlichkeitstransformation Ah, ok, jetzt verstehe ich das langsam, vielen Dank! Man glaubt einfach immer, es sei alles komplizierter, als es ist

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