Surjektivität beweisen |
| 04.09.2012, 02:44 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Surjektivität beweisen Hallo, ich habe grundsätzlich ein Problem Surjektivität zu beweisen. Nehmen wir als Beispiel die Funktion Z->Z:h(x) = x + 5. Ich weiß und ahne, dass sie Surjektiv ist, aber ohne den gelesenen Beweis hätte ich keine Idee, dies zu beweisen. Gibt es einen ganz einfachen Trick hierbei? Ich tue mich leider schwer mit so etwas abstrakten... Entschuldigt evtl. nicht eingehaltene Formalitäten, ich schreibe derzeit von meinem Tablet. Danke schon einmal. Meine Ideen: Der Beweis ist folgender: x = y + 5 Einsetzen: h(x) = y - 5 + 5 = y Das ist mir irgendwie zu simpel und gleichzeitig zu hoch. |
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| 04.09.2012, 03:01 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
hier gibt es nicht viel zu beweisen. die Funktion sollte aber definiert sein: hier ist die Zielmenge auch die Wertemenge. Die Funktion ist injektiv. jedes Element der Wertemenge hat genau ein Urbild. Das ist surjektiv. Demnach auch bijektiv. |
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| 04.09.2012, 03:16 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich denke hier ist wirklich gemeint. Hier ist die Frage nach dem Urbild etwas empfindlicher. |
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| 04.09.2012, 12:31 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok, das noch im nach hinein relativ klar sein aber ich habe grundsätzlich mit so etwas ein Problem. Im Grunde ist das nachweisen von injektivität und surjektivität doch nur kluges raten, denn mann kann auch für nicht injektivie oder nicht surjektive einen beweis machen, dass sie angeblich injektiv/surjektiv wären. Z.B. die Funktion Z -> Z f(x) = x^2 - 5 Durch das x^2 erkennt man ja eig. schon, dass sie mit ziemlich hoher Wahrscheinlichkeit nicht injektiv ist. Mit f(1) = -4 = f(-1) ist das auch fix bewiesen. Aber genauso könnte ich sagen: x,y Element von Z, x != y, f(x) = f(y) daraus folgt: y^2 - 5 = x^2 - 5 <-> y^2 = x^2 <-> x = y im Widerspruch zu x != y. Versteht ihr was ich meine? Ich würde das ganz gerne mal eindeutig verstehen lernen. Nehmen wir mal diese Formel: Z -> Z x Z f(x) = ((x - 2)^2, x^2) für alle x Element von Z. Ist sie injektiv? Ich würde sagen: ja. Beweis: x, y Element von Z, x != y, f(x) = f(y) daraus folgt: ((x - 2)^2, x^2) = ((y - 2)^2, y^2) I: (x - 2)^2 = (y - 2)^2 <-> x^2 - 4x + 4 = y^2 - 4y + 4 II: x^2 = y^2 I - II: -4x + 4 = -4y + 4 <-> -4x = -4y <-> x = y im Widerspruch zu x != y Ist das so richtig? Und wegen surjektiv: Nehmen wir an f(x) = 2 I: 2 = (n - 2)^2 II: 2 = n^2 <-> n = sqrt(2) -> nicht Element von Z und damit nicht surjektiv. |
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| 04.09.2012, 23:06 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich bin gerade leider ziemlich beschäftigt, aber um dich nicht ganz sitzen zu lassen. Bei der ersten hast du recht - sie ist nicht injektiv. Dein Beweis für die Injektivität hat einen Fehler, nämlich . Du kannst leicht überprüfen, dass für x = -1 und y = 1 die linke Gleichung erfüllt ist, die rechte aber nicht. Was aber gilt ist , und damit folgt daraus nicht mehr Injektivität. Bei der zweiten Funktion stimmt Injektivität, aber Surjektivität ist falsch, da dein Bild 2 Einträge haben muss, und das benutzt du auch, du willst also lösen. Das Wurzelziehen bei dem Beweis ist wieder leicht nachlässig und lässt sich sparen, wenn du das Paar (0,1) z.b. lösen willst. |
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| 04.09.2012, 23:14 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sehr nett danke. Was genau meinst du mit "nachlässig"? Sie ist doch aber nicht surjektiv oder? Mit dem Paar (0, 1) würde ich II: 1 = n^2 <-> sqrt(1) = n <-> 1 = n rausbekommen, oder nicht? Das wäre ja dann ein Beweis _für_ Surjektivität. Entschuldige meine Verwirrung. |
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| 04.09.2012, 23:19 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Und noch einmal: aus folgt nicht , sondern . Das meine ich mit nachlässig. Und dass ein Paar getroffen würde, ist keine Surjektivität, dafür bedarf es alle Paare. Desweiteren ist f(1) nicht (0,1) wie gefordert war. |
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| 04.09.2012, 23:20 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ach stimmt, +-1. Ich werde mir das am besten morgen in aller Frische noch einmal angucken und dann wenn ich darf nochmal nachfragen. |
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| 05.09.2012, 14:12 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also damit ich es richtig verstanden habe, habe ich sie nochmal gerechnet. Z -> Z x Z, f(x) = ((x - 2)^2, x^2) für alle x Element von Z Beh. f ist injektiv Bew. x, y Element von Z, x != y, f(x) = f(y) Daraus folgt: I: (x - 2)^2 = (y - 2)^2 <-> x^2 - 4x + 4 = y^2 - 4y + 4 II: x^2 = y^2 <-> +-x = +-y <-> |x| = |y| und somit ein Widerspruch zur Annahme x != y, damit injektiv. Aber was mir gerade einfällt: Wenn ich zwei Formeln habe (also I und II), dann muss ich die doch entweder addieren oder subtrahieren um daraus eine zu machen, oder nicht? Oder kann ich mir auch nur eine von beiden aussuchen? Dann wäre es ja: I - II: -4x^2 + 4 = -4y^2 + 4 | -4 -4x^2 = -4y^2 | (-4) |x| = |y| und damit Widerspruch (wie zuvor) zur Annahme x != y und damit injektiv. Bei surjektivität wäre es ja dann: Beh. f ist nicht surjektiv Bew. Es sei f(x) = (0, 1) I: 0 = x^2 - 4x + 4 II: 1 = x^2 I - II: -1 = -4x + 4 | -4 -5 = -4x | (-4) 5/4 = x -> nicht Element von Z und damit nicht surjektiv. Jetzt verstehe ich dein (0, 1). Aber ganz ehrlich: wie kommt man darauf? Gibt es irgendeine vernünftige Rechnung dazu oder ist das wirklich nur angucken und rumprobieren ob oder ob nicht? Ich meine woran sieht man, ob eine injektiv oder surjektiv ist, ohne rumzuprobieren/kluges raten? Ich bin wirklich ein absoluter Mathe Idiot, aber da ich kommendes Semester meinen letzten Versuch in Mathe habe, dachte ich, es könnte nicht schaden mir diese Dinge mal etwas vorher einzuprügeln. Ich bin für jede Hilfe dankbar. |
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| 05.09.2012, 14:42 | SinaniS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also erstmal: x^2 = y^2 <=>+-x=+-y ist auch nicht ganz richtig. Man schreibt x=+-y (also nicht +- auf beiden Seiten). Dann: aus |x|=|y| folgt noch nicht unmittelbar der Widerspruch zu x != y. Ist naemlich x=-y, so sind die Betraege gleich, aber x und y sind verschieden, wenn sie nicht zufaellig beide =0 sind. Also musst du noch zeigen, dass f(x)!=f(-x) fuer alle x aus Z.
Du kannst so viele Formeln benutzen wie du gerade hast und benoetigst, um den Widerspruch zu zeigen. Du kannst diese dann entweder addieren oder subtrahieren oder was auch immer, alternativ kannst du eine Formel nach einer Variablen umstellen (geht besonders gut, wenn man keine Quadrate oder hoehere Potenzen, oder etwa "komplizierte" Funktionen in den Variablen hat) und dann in die anderen Gleichungen einsetzen.
Genau.
Meiner Meingung nach: Uebung, Uebung, und nochmal Uebung 
Bei dieser Funktion waere mir spontan ein anderes Gegenbeispiel zur Surjektivitaet eingefallen: Man sieht sofort, dass genau dann f(x)=(*,0), wenn x=0 (* soll eine natuerliche Zahl sein). Nun ist f(0)= (4,0). Also nehmen wir irgendein Element der Form (*,0) mit * !=4. Also haette ich z.B. gezeigt, dass f(x) != (1,0) fuer alle x aus Z ist. Oder noch eine andere Moeglichkeit hier heranzugehen. Ist f(x)=(a,b), so sind a und b Quadrate aus ganzen Zahlen. Aber es gibt eine Menge ganzer Zahlen, die keine Quadrate sind, etwa negative Zahlen, oder 2,3,5,... d.h. alle Tupel die in der ersten oder zweiten Komponente so eine Zahl stehen haben, koennten gar nicht im Bild sein. |
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| 05.09.2012, 14:49 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ah, ok, da setz ich mich gleich nochmal ran. Danke. In der Zwischenzeit habe ich hierzu eine Frage (hier im Forum gefunden): f: Z -> Z, f(x) = x^2 + 6x + 5 für alle x Element von Z Nun auf den ersten Blick fiel mir keine Eingaben ein, die zum gleichen Ergebnis führen, also war ich drauf und dran zu schreiben "f ist injektiv". Doch im Grunde sind Funktionen des 2. Grades ja immer nicht injektiv. Also habe ich durcprobiert (sicherlich etwa 5 min oder mehr) und kam zu dem Schluss, dass f(-1) = 0 = f(-5)- Nun hatte ich einen Beweis, wieso es nicht injektiv ist. Aber 5 min. oder mehr ist einfach zuviel für so eine Rechnung. Also daher kommt die Frage: wie komme ich ganz schnell zu diesen Zahlen? Und wie bekomme ich ganz schnell auch für andere Funktionen raus, ob sie injektiv oder surjektiv sind? Bisher verlasse ich mich irgendwie auf eine Mischung aus Gespür, herum probieren und dem Wissen, dass Funktionen 2. Grades nicht injektiv sind. Aber das kann es doch nicht sein, oder? So komme ich in der Klausur sicher nicht sehr weit. |
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| 05.09.2012, 15:07 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ah, PQ - Formel. 
Oder?Aber trotzdem bleibt die Frage: wie macht man es bei den anderen? |
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| 05.09.2012, 15:08 | SinaniS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hmm, vielleicht hilft es dir, wenn du einfach versuchst, die Injektivitaet zu beweisen, auch wenn du davon ausgehst, dass die Funktion nicht injektiv ist (genauso natuerlich mit Surjektivitaet). Denn wenn man erstmal anfaengt f(x)=f(y) zu setzen, sieht man leichter, welche Bedingungen sich dadurch an x und y stellen. Oder was generell bei dem Beweis schief geht. Vllt hilft es ja, wenn ich auch fuer dieses Bsp mal "meinen" Ansatz aufschreibe. Also, angenommen, es gilt f(x)=f(y), also Waere x+3=y+3, so waere auch x=y. Ist x+3=-(y+3)=-y-3, so ist x=-y-6. Also setzt man z.B. y=0 und kommt dann auf x= -6, und hat x!= y, aber f(x)=f(y) Fuer die Rechnung hab ich auf Papier nichtmal eine Minute gebraucht. |
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| 05.09.2012, 15:22 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Kannst du mir sagen, wie du auf x^2 + 6x + 9 = y^2 + 6y + 9 kommst? Also woher stammt die 9? Bei mir bleibt nach dem ersten Schritt lediglich: x^2 + 6x = y^2 + 6y über wegen | - 5. |
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| 05.09.2012, 15:27 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Geht auch in zwei Sekunden im Kopf: , also ist . Was genau als konstanter Term bei der quadratischen Ergänzung dabei entsteht, kann einem egal sein. |
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| 05.09.2012, 15:32 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
'schuldige aber wieso aus (x + 3)^2 + ? auf einmal f(-2) = f(-4) folgt ist mir rätselhaft. Also -4 kann ich mir erklären weil ? = -4 sein muss damit es aufgeht (oder?) aber woher stammt die -2? |
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| 05.09.2012, 16:08 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Was ist, ist vollkommen egal (solange man weiß, dass es konstant ist). Aber ist symmetrisch zu , deswegen haben alle Werte die den gleichen Abstand zu haben, denselben Funktionswert. Wie bei der Symmetrie von , nur verschoben. |
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| 05.09.2012, 16:17 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok, -3 ist die logische Nullstelle, aber wie kommst du dann trotzdem auf f(-2) und f(-4)? |
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| 05.09.2012, 16:36 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Weil . mit Verschiebung um . Edit: Wieso sollte eigentlich Nullstelle sein? Und wen interessiert die Nullstelle überhaupt? |
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| 05.09.2012, 17:11 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich brauch eine Anlaufstelle deswegen versuch ich mir das irgendwie zu erklären. Ich kann mir sowas leider sonst nicht in irgendeiner weise vorstellen. Also -3 ist der Scheitelpunkt und dann können wir jeweils 1 nach links/rechts gehen und gucken, oder wie? Sorry ich bin da schwer von Begriff. Also 1 kommt raus weil je -2 auf y = 1 hinausläuft und -4 ebenso, oder? |
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| 05.09.2012, 17:13 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Es geht nur um den Abstand zur und ja, der ist jeweils für und . bzw. hingegen muss nicht sein; wegen dem Fragezeichen. Das ist aber auch vollkommen egal. |
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| 05.09.2012, 17:14 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich glaub ich bin zu blöd dazu. Mir erscheint nichts davon irgendwie logisch zusammenhängend. Edit: also was mich nervt ist, dass ich irgendwie nicht zu dem Schritt kommen würde, -2 und .4 einzusetzen um das zu beweisen. Da fehlt mir irgendwie der Zusammenhang allgemein für alle anderen Funktionen. |
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| 05.09.2012, 17:49 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nochmal 2 Funktionen wobei ich bei der einen nicht weiß, wie ich sie beweise. f: Z x Z -> Z x Z f(x, y) = (2x - y, x + y) Beh. f ist injektiv Bew. Angenommen: (x, y), (n, m) Element von Z x Z, (x, y) != (n, m) Daraus folgt: I: 2x - y = 2n - m II: x + y = n + m I + II: 3x = 3n | :3 x = n Einsetzen in I: 2n - y = 2n - m | -2n -y = -m | * (-1) y = m daraus folgt: (x, y) = (n, m) was im Widerspruch zu (x, y) != (n, m) steht. Damit ist f injektiv. Ist das so formal korrekt? Und zweitens wäre da ein Beweis zur surjektivität, aber ich weiß eig. nicht wie man surjektivität beweisen kann. :/ g: Z x Z -> Z g(x, y) = x + y + 3 Ich behaupte diese Funktion ist surjektiv. Dich wie beweise ich das am einfachsten? |
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| 05.09.2012, 19:10 | SinaniS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Argumentation ist gut so, nur eine Kleinigkeit. Du hast geschrieben:
Aus (x, y) != (n, m) folgen nicht die beiden Gleichungen I und II, sondern aus f(x,y)=f(n,m). Man würde also sowas schreiben wie: Seien (x,y), (n,m) aus ZxZ mit (x,y) != (n,m) und f(x,y)=f(n,m). Dann kannst du mit "Daraus folgt: ..." weitermachen
Surjektivität: Sei (n,m) aus ZxZ beliebig. Zu zeigen: Es gibt (x,y) aus ZxZ mit f(x,y)=(n,m). Hier sieht man, dass die Abbildung gar nicht surjektiv ist! So hat z.B. (n,m)=(1,1) kein Urbild, denn nach obiger Rechnung wäre dann x=2/3, also nicht aus Z, es sei denn, ich habe mich irgendwo verrechnet.
Na ja, kannst du nicht einfach für jede ganze Zahl ein Urbild angeben? Wenn also eine ganze Zahl z gegeben ist, wie könnte man dann x und y wählen, so dass f(x,y)=z? |
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| 06.09.2012, 22:00 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wow, genial. Dein einer Surjektivität Beweis hat mich enorm weitergebracht. Aber was meinst du hiermit?
g(x, y) = z? Wie krieg ich das denn damit raus? Was wäre da der einfachste Weg? g(x, y) = irgendeine Zahl und dann probieren? Das würde mich durch das "probieren" wieder irgendwie stören, das müsste doch konkreter gehen. |
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| 07.09.2012, 11:36 | SinaniS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Funktion g ist ja surjektiv, wenn es fuer jedes z ein Tupel (x,y) gibt mit g(x,y)=z. Also, z soll eine beliebige ganze Zahl sein. Wir koennen jetzt versuchen, eine "Formel" fuer x und y in Abhaengigkeit von z anzugeben, so dass g(x,y)=z. Schauen wir uns das mal an. Es gilt Man darf fuer x und y ganze Zahlen einsetzen. z-3 ist auch eine ganze Zahl. Es gibt hier diverse Moeglichkeiten, wie man x und y waehlen kann, damit obige Gleichung erfuellt ist. Faellt dir eine ein? |
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| 07.09.2012, 11:43 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
edit: zu spät meinerseits aber trotzdem: Danke bisher, echt geniales Forum. edit2: Man könnte x = 1 und y = 2 setzen. dann wäre es: 1 + 2 = z - 3 <-> 3 = z - 3 <-> 0 = z Meinst du das oder bin ich grad daneben? |
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| 07.09.2012, 14:13 | SinaniS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein, so meinte ich das nicht. Ich weiss auch nicht, wie ich naeher erklaeren soll, was ich meine, ohne die Loesung hinzuschreiben, also schreibe ich einfach die Loesung, und hoffe, du verstehst es dann 
Beh.: g ist surjektiv, d.h. fuer jede beliebige ganze Zahl z gibt es (x,y) aus ZxZ mit g(x,y)=z. Beweis: Sei z aus Z beliebig. Dann ist g(x,y)=z genau dann, wenn x+y= z-3. Setze x=z-3, y=0. Dann ist (x,y) aus ZxZ und g(x,y)=x+y+3 = (z-3)+0+3=z. Somit gibt es fuer jedes z aus Z ein Tupel (x,y) aus Z x Z, mit g(x,y)=z. Das war schon der Beweis zur Surjektivitaet. z.B. ist also z=1 im Bild von g. Dazu setzen wir x=z-3= -2 und y=0. Dann ist g(x,y)=1=z. Genauso kann man fuer z jede andere Zahl einsetzen, denn setzen wir x=z-3 und y=0, so ist immer g(x,y)=z, daher ist jedes z aus Z im Bild von g. Alles klar? |
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| 07.09.2012, 16:38 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hmm, irgendwie ja und irgendwie nein. Am besten ich probiere noch ein paar Rechnungen aus um das zu verinnerlichen. Ich melde mich dann nochmal. Aber vorher eine Frage: Wenn dort ceil(x) oder floor(y) steht, wie behandele ich dann diese Variablen? Hab' gerade leider keine Aufgabe zur Hand, erinnere mich aber, dass in der letzten Klausur sowas dran kam. |
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| 07.09.2012, 16:46 | SinaniS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich glaube nicht, dass es da ein 0815-Verfahren gibt, wie man damit umzugehen hat. Am besten suchst du nach einer Aufgabe, die dir Probleme bereitet. Ist dir denn klar, was diese Funktionen bedeuten? |
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| 07.09.2012, 16:47 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ceil, das x aufgerundet wird, also aus 1.4, 1.5, 1.6 2 wird, und floor das auf die nächste Zahl abgerundet wird, also 1.9, 1.8, 1.7 werden zu 1. Stimmt doch soweit, oder? |
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| 07.09.2012, 16:56 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sorry für den Doppelpost, aber das hier lässt mir gerade keine Ruhe. Ich hab' hier das: f: QxQ -> QxQxQ f(v, w) = (v * w^2, v*w^2 - 2*v, (v^2 - 2) * w) Beweisen Sie, dass f injektiv ist. Also: Seien (x, y), (v, w) Element von QxQ mit: (x, y) != (v, w) f(x, y) = f(v, w) Daraus folgt: I: v*w^2 = x*y^2 II: v*w^2 + 2v = x*y^2 + 2x III: (v^2 - 2) * w = (x^2 - 2) * y II - I: 2v = 2x | :2 v = x In I einsetzen: x * w^2 = x * y^2 | :x 1 * w^2 = 1 * y^2 |sqrt +-w = +-y Damit auch: (x, y) = (v, w) im Widerspruch zu (x, y) != (v, w) Soweit korrekt? Du sagtest ich müsse nochmal etwas beweisen, wegen dem +-w und dem +-y. Wie mache ich das? Und hier war ja gegeben, dass f injektiv ist. Daher war es eig. nicht so schwer. Aber wie hättet ihr/du ohne diese Angabe leicht (und hoffentlich für mich verständlich) rausgefunden, dass f injektiv sein muss? Ich hätte da spontan keine Idee, ob oder ob nicht. Jedenfalls nicht binnen 5 Minuten. Ziemlich peinlich, ich weiß. Ich programmiere wirklich leidenschaftlich, und solange ich Mathe Bildhaft oder mit konkreten Zahlen vor mir habe geht auch alles, aber bei sowas setzt mein Hirn einfach aus. |
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| 07.09.2012, 17:05 | SinaniS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Japp, richtig.
Erstmal hast du wieder +- auf beide Seiten geschrieben. Schreibe besser w=+- y. Ist dir klar, was dieses +- bedeutet? Das heisst ja, entweder ist w=y ODER w=-y. Und wenn w=-y ist, hast du eben noch nicht den Widerspruch zu (x, y) != (v, w). Das heisst, jedes mal, wenn dieser Fall auftritt, musst du nochmal zeigen, dass auch wirklich f(v,w)!=f(v,-w) gilt. Also einfach nochmal Einsetzen. Ohne die Angabe, ob die Funktion injektiv ist oder nicht, haette ich genau die gleiche Rechnung gemacht. Man sieht ja am Ende, ob da irgendwo ein Widerspruch kommt oder nicht. Hier sieht man den Widerspruch jedenfalls. Es ist natuerlich nicht immer so "leicht" zu sehen, aber das scheint mir die sinnvollste Herangehensweise zu sein. |
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| 07.09.2012, 17:13 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ah, ok einfach nochmal einsetzen. Werde ich gleich mal probieren. Aber der Rest ist richtig, auch formal? Und naja, so dachte ich Anfangs, aber als ich dann sah das man somit ja auch für nicht injektive einen Beweis erbringen kann, dass sie eben injektiv sind, war mir das ganze irgendwie suspekt. Z.B. ich habe f(x) = x^2 + 3, x Element von Z. Mit f(1) = 4 = f(-1) sehe ich ganz schnell: die ist garantiert _nicht_ injektiv. Aber mit der Herangehensweise, direkt einen Beweis anzufangen und zu gucken, ob es Widersprüche gibt, kommt etwas falsches dabei heraus: Beh.: f _ist_ injektiv. Bew.: Seien x, y Element von Z mit x != y und f(x) = f(y) Daraus folgt: x^2 + 3 = y^2 + 3 | -3 x^2 = y^2 | sqrt x = +- y Nun nochmal einsetzen: x^2 + 3 = y^2 + 3 <-> -y^2 + 3 = y^2 + 3 | -3 | +y^2 <-> 0 = 0 Wenn ich das Einsetzen jetzt richtig verstanden (und damit richtig umgesetzt habe) kommt 0 = 0 heraus, und das bedeutet ja eig.: f ist injektiv, oder etwa nicht? |
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| 08.09.2012, 16:56 | SinaniS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das ist falsch. Wenn man einen Injektivitätsbeweis für eine nichtinjektive Abbildung hat, ist da irgendwo ein Fehler drin.
Ja, das 0=0 am Ende bedeutet gerade, dass sie nicht injektiv ist. Warum? Du hast gezeigt, dass f(x)=f(y) genau dann, wenn x=y (was ja sowieso klar ist) oder x=-y (das hast du mit dem Einsetzen von x=-y ausgerechnet, denn wie du gezeigt hast, ist f(y)=f(-y) äquivalent zu der Aussage 0=0, die offensichtlich wahr ist). Das heisst z.B. dass f(1)=f(-1). Der Unterschied von "f(x)=f(y) genau dann, wenn x=y oder x=-y" und "f ist injektiv" steckt in dem "oder x=-y". Ist f injektiv, bedeutet das "f(x)=f(y) genau dann, wenn x=y". |
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| 08.09.2012, 17:18 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wow, herzlichen Dank für deine Geduld und Mühe. Dieser Irrglauben hat mich dann wohl von der eigentlichen Logik abgehalten. Dann kann ich ja im Grunde wirklich immer einen Beweis anfangen und gucken, ob er aufgeht, oder? Zum einsetzen noch eine kleine Frage: War mein obiges korrekt? Und bei der Aufgabe 5 Posts weiter unten mit f: QxQ -> QxQxQ f(v, w) = (v * w^2, v*w^2 - 2*v, (v^2 - 2) * w) im letzten Schritt: In I einsetzen: x * w^2 = x * y^2 | :x 1 * w^2 = 1 * y^2 |sqrt w = +-y Wie mache ich das hier richtig? Ich hab' das nun so: In I einsetzen: v * (-y)^2 = x * y^2 Ist das korrekt? Wenn ja: was nun? Wenn ich es abziehe, bekomme ich: v * (-y)^2 = x * y^2 | -y^2 v * (-2y)^2 = x Das ist nicht wirklich so richtig, was? Muss ich das v auch durch das x ersetzen, wegen x = v? Sorry ich stehe nochmal auf dem Schlauch. |
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| 08.09.2012, 17:38 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich muss glatt nochmal einen Doppelpost aufmachen, da ich gerade eine Aufgabe gefunden habe, wo ich nicht wüsste, wie ich den Widerspruchsbeweis machen sollte. o.O Und zwar: Z -> Z, f(x) = (x - 2)^2 <-> x^2 - 4x + 4 mit f(0) = 4 = f(4) weiß ich im Grunde, dass sie nicht injektiv ist (hab' allerdings wieder 3 Minuten daran verbraucht). Aber über den Weg beim Widerspruchsbeweis komme ich nicht weiter: Ich habe bisher: Beh. f ist injektiv Bew. Es sei n, x Element von Z mit x != n und f(x) = f(n) Daraus folgt: n^2 - 4n + 4 = x^2 - 4x + 4|: (-4) n^2 - 4n = x^2 - 4x Doch was nun? Mir fielen die Möglichkeiten Wurzel ziehen oder durch 4 dividieren ein. Wäre eines davon akzeptabel? edit: Evtl. so: (n - 2)^2 = (x - 2)^2 |sqrt (n - 2) = +-(x - 2) Dann ergibt sich für das einsetzen von -(x - 2) <-> -(x + 2)^2 = (x - 2)^2 <-> 0 = 0 und damit nicht injektiv. Wäre das korrekt? |
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| 09.09.2012, 17:43 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da das editieren leider nicht geht: Ich denke ich hab' das gelöst (wenn es das war, war es wirklich recht trivial und ich habe keine Ahnung wieso ich das gestern nicht gesehen habe): Z -> Z, f(x) = (x - 2)^2 <-> x^2 - 4x + 4 Wir wissen durch f(4) = 4 = f(0) das f _nicht_ injektiv ist. Nun der Beweis parallel dazu mit Widerspruchs Versuch: Beh. f ist nicht injektiv Bew. Es seien x, y Element von Z mit x != y und f(x) = f(y) Daraus folgt: x2 - 4x + 4 = y^2 - 4y + 4 |-4 x^2 - 4x = y^2 - 4y | +4x x^2 = y^2 - 4y + 4x Einsetzen: x^2 - 4x + 4 = y^2 - 4y + 4 <-> y^2 - 4y + 4x - 4x + 4 = y^2 - 4y + 4 <-> 0 = 0 Damit ist f _nicht_ injektiv. Ist das korrekt und auf andere Funktionen mit dem selben Schema übertragbar? |
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| 09.09.2012, 17:52 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du hast nur gezeigt, dass du aus der Annahme eine wahre Aussage ableiten kannst. Analog dazu: Behauptung: KEINE Funktion ist injektiv. Beweis: Seien mit , aber . Jetzt setzen wir dies in ein und erhalten , also eine wahre Aussage. Also gibt es keine injektiven Funktionen? Diese Art von Beweis funktioniert nur um zu zeigen, DASS eine Funktion injektiv ist, wenn man am Ende nämlich erhält. |
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| 09.09.2012, 18:08 | Nspace | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Schade, dann bleibt es also beim raten, ob eine injektiv ist, oder nicht und wenn nicht, wegen welchen Eingaben. Genau dieses raten macht es für mich so unlogisch. |
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