Beweis

05.09.2012, 17:59

Monoid

Beweis

Hallo,

Ich habe die Aufgabe:

Man bestimme für jedes $\begin{eqnarray*} [n] \in \mathbb Z / q \mathbb Z , |[n]|. \end{eqnarray*}$ .

Ich habe leider keinen vernünftigen ansatz. Könntet ihr mir helfen?

Mmm

05.09.2012, 18:13

weisbrot

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RE: Beweis
aber du weißt schon wie die nebenklassen von Z/qZ gebildet werden(?) - $\begin{eqnarray*} [n] = \left\{ n + qk | k\in \mathbb Z\right\} \end{eqnarray*}$ . dann sollte klar sein was die für ne mächtigkeit haben. lg

05.09.2012, 18:20

Monoid

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RE: Beweis
Also |[n]|=unendlich?

05.09.2012, 18:29

weisbrot

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RE: Beweis
wär ne idee Augenzwinkern

05.09.2012, 18:39

tmo

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Meinst du mit $\begin{eqnarray*} |[n]| \end{eqnarray*}$ wirklich die Mächtigkeit der Nebenklasse als Menge? Nicht eher die Ordnung in der additiven Gruppe?

05.09.2012, 18:43

weisbrot

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@tmo:

Zitat:

Meinst du mit $\begin{eqnarray*} |[n]| \end{eqnarray*}$ wirklich die Mächtigkeit der Nebenklasse als Menge? Nicht eher die Ordnung in der additiven Gruppe?

würde man das dann so schreiben? wenn ja dann tuts mir leid dass ich hier quatsch erzähle:S

05.09.2012, 19:39

tmo

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Also ich würde das nicht Big Laugh

Aber Mmm hat diese Notation hier schon irgendwann mal für die Ordnung eines Elements gebraucht.

07.09.2012, 07:18

Monoid

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RE: Beweis

Zitat:

Original von weisbrot
- $\begin{eqnarray*} [n] = \left\{ n + qk | k\in \mathbb Z\right\} \end{eqnarray*}$ lg

Ist q von n abhängig?

07.09.2012, 08:58

tmo

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Zitat:

Original von tmo
Meinst du mit $\begin{eqnarray*} |[n]| \end{eqnarray*}$ wirklich die Mächtigkeit der Nebenklasse als Menge? Nicht eher die Ordnung in der additiven Gruppe?

Vielleicht sollten wir das erstmal klären. Es ist mehr als kontraproduktiv auf Rückfragen nicht zu antworten. Vor allem, wenn sie so fundamental sind, dass wir noch nicht mal wissen, was du meinst.

Und nein, q hängt nicht von n ab. Im Anfangspost hast du von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/q\mathbb Z \end{eqnarray*}$ gesprochen. Damit ist $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ eine beliebige, aber feste natürliche Zahl. Das hast du so definiert.

PS: Der Grund für meine Annahme, es sei die Ordnung gemeint, ist übrigens hier zu sehen.

07.09.2012, 11:34

Monoid

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Mit |[n]| meine ich #[g] . Die ordnung von [g].

07.09.2012, 13:23

tmo

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Da jetzt geklärt ist, worum es geht, könntest du ja mal deine Ideen vortragen. Als kleine Starthilfe werfe ich das Stichwort "ggT" in die Runde...

07.09.2012, 13:26

Monoid

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Nun habe ich aber keine idee.,,.

07.09.2012, 13:30

tmo

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Dann probiere doch mal ein paar Zahlen aus. Z.b. $\begin{eqnarray*} q = 12 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \in \{0, 1, \dotsc, 11 \} \end{eqnarray*}$ .

Mache dir eine Tabelle, in der du für jedes n die zugehörige Ordnung hinschreibst. Versuche dann einen Zusammenhang zum ggT zu finden.

Mathematiker schauen sich nicht Probleme an und lösen sie auf den ersten Blick, sondern man muss auch mal ausprobieren und sich in ein Problem hineinarbeiten.

Viel spaß dabei Wink

07.09.2012, 16:37

Monoid

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Hallo,

Aber $\begin{eqnarray*} |{n+qk | k \in \mathbb Z}|=\infty.? \text{ da ist es doch egal, was q ist.?} \end{eqnarray*}$ .

Mmm

08.09.2012, 07:42

tmo

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Wie kommst du denn darauf? Der Satz von Lagrange (mit du dich auch schon auseinandergesetzt hattest) besagt doch gerade, dass die Ordnung ein Teiler der Gruppenordnung ist, d.h. insbesondere endlich.

Vielleicht solltest du erstmal eine intuitive Vorstellung davon gewinnen, wie man in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/q \mathbb Z \end{eqnarray*}$ rechnet. Das ist nämlich eigentlich sehr einfach.

Es gibt die Zahlen 0 bis q-1 und wenn man zwei Zahlen addiert, so addiert man sie wie natürliche Zahlen. Wenn das Ergebnis größer als q-1 ist, so geht man zum Rest bei der Division durch q über.

Z.b. für $\begin{eqnarray*} q = 12 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 7+7 = 14 = 2 \end{eqnarray*}$ .

So und jetzt versuche mal die Ordnungen der Zahlen 0 bis 11 herauszufinden.

Einfache solange addieren bis es 0 ergibt.

08.09.2012, 09:42

Monoid

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Häh???

$\begin{eqnarray*} q=12: |{n+12k | k \in \mathbb Z}| =|{n+12,n+24,n+36+.... ,n-12,n-24,n-36....}|=\infty \end{eqnarray*}$ .?

Wie schreibe ich die Mengenklammern?

Danke,
Mmm smile

08.09.2012, 10:14

ollie3

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hallo Mmm und tmo,
ich glaube, dass hier ein paar missveständnisse vorliegen.
Mmm meint, wieviel elemente in einer äquivalenzklasse liegen,
und das sind natürlich unendlich viele, und tmo meint, welche
ordnung die einzelnen elemente in der additiven gruppe Z/nZ haben,
und das ist ja etwas grundsätzlich anderes.
griss ollie3

08.09.2012, 10:38

Mystic

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@ollie3

Dem widerspricht aber ganz klar dieses hier

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Mit |[n]| meine ich #[g] . Die ordnung von [g].

als Anwort auf die Frage

Zitat:

Original von tmo
Meinst du mit $\begin{eqnarray*} |[n]| \end{eqnarray*}$ wirklich die Mächtigkeit der Nebenklasse als Menge? Nicht eher die Ordnung in der additiven Gruppe?

Edit: Naja, bei näherer Betrachtung ist das jetzt wirklich nicht so ganz klar, ob jetzt zumindestens Mmm sich des Unterschieds bewußt ist... verwirrt

08.09.2012, 10:59

Monoid

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Haloo,

Klar bin ich mir dem Unterschied bewusst.

Mmm

08.09.2012, 11:07

Mystic

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Zitat:

Original von Mathemathemathe
Klar bin ich mir dem Unterschied bewusst.

Hm, der Dativ ist dem Genitiv sein Feind... Big Laugh

Aber egal: Wenn du dich des Unterschieds bewußt bist, warum antwortest du dann auf die Fragen von tmo in einer Weise, als ob das nicht der Fall wäre? verwirrt

Zum eigentlichen Thema: Wenn du eine Gruppe G hast mit einer additiv geschriebenen Verknüpfung und wenn H eine Untergruppe von G ist, so gilt stets

$\begin{eqnarray*} |a+H|=|H| \quad \forall a \in G \end{eqnarray*}$

wenn man hier von Mächtigkeiten spricht...Deine Frage ist von daher ziemlich trivial... Der Begriff Ordnung ist in diesem Zusammenhang nur auf H und nicht auf a+H anwendbar...

08.09.2012, 16:48

Equester

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OT:

Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Mathemathemathe
Klar bin ich mir dem Unterschied bewusst.

Hm, der Dativ ist dem Genitiv sein Feind... Big Laugh

Aber egal: Wenn du dich des Unterschieds bewußt bist,...

Immerhin der Genetiv ist gerettet, aber:

Zitat:

Wenn du dir des Unterschieds bewußt bist,...

08.09.2012, 16:55

Che Netzer

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@Equester:
Na was glaubst du, wie die übliche Aufzählung der Fälle zustanden gekommen ist?
Genitiv < Dativ < Akkusativ.
Sei froh, dass der Ablativ weggesperrt wurde Teufel