Aufgabenstellung mach keinen Sinn - Relation: Prüfung ob injektiv, surjektiv, bijektiv
Neue Frage »

07.09.2012, 09:14 fahrstuhl Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabenstellung mach keinen Sinn - Relation: Prüfung ob injektiv, surjektiv, bijektiv
Meine Frage:
Hallo,

habe Problem bei folgender Aufgabenstelung:

Seien A = {O, 1, 2, 3}, B = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6} und C = { 0, 1, 2 }, sowie f: A ~ B mit f(x) = (1-x)2 und g ~ B x C mit g = { (0, 0), (1,1), (3,2)}

c) Ist g injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?

d) Überprüfen Sie für jede der unter c) angegebenen Eigenschaften, die nicht erfüllt ist, ob sich g so erweitern läßt, daß die jeweils gewünschte Eigenschaft erfüllt ist.

Meine Ideen:
Bei der Überprüfung in c) komme ich darauf das sie sowohl injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv ist, weil:

injektiv: Jedes Element der Zielmenge in C wird höchstens einmal getroffen
surjektiv: Jedes Element der Zielmenge in C wird mindestens einmal getroffen

Damit ist sie natürlich auch bijektiv.

Meine Frage ist nun die Aufgabenstellung d) macht ja nur Sinn wenn mindestens eines in c) nicht erfüllt ist, oder ?

Weiss einer wo mein Denkfehler sein könnte ?

Danke und viele grüße
07.09.2012, 10:41 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabenstellung mach keinen Sinn - Relation: Prüfung ob injektiv, surjektiv, bijektiv
Ich verstehe deine Notation nicht, bitte beachte Wie kann man Formeln schreiben?

Ich verstehe das, was du beschrieben hast, wie folgt:



mit
mit

Stimmt das so? Und was bedeutet ~ in deinem Kontext?

g ist so keine Funktion, sondern eine Teilmenge von (bzw eine Relation zwischen diesen Mengen. Dann weiß ich haber nicht, wie ihr Injektivität bzw Surjektivität für Relationen definiert habt. Könntest du deine Begründungen zur Injektivität und Surjektivität etwas mehr ausformulieren?
07.09.2012, 11:15 fahrstuhl Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ja so wie du es schreibst stimmt es - sorry wusste adhoc nicht wie das geht.

Anhand deiner Fragestellung hab ich auch schon gemerkt das mir da was durchgerutscht ist und ich bisher die Definitionen von reinen Funktionen genommen habe, die anders definiert sind als die folgenden aus dem Lehrbuch :-)

Also:

Totale Funktion: Die Funktion f heisst total, falls D(f) = A, ansonsten heisst f partiell

surjektiv: Die Funktion f heisst surjektiv, falls W(f) = B ist

injektiv: Die Funktion f heisst injektiv, falls aus f(x1) = y und f(x2) = y folgt x1 = x2

bijektiv: Die Funktion heisst bijektiv, falls sie total, injektiv und surjektiv ist.

Prüfe ich nun auf "total", sehe ich das sie NICHT total ist, gehe ich von folgender Annahme aus: A ist in unserem Fall B und B ist in unserem Fall C.
Der Definitionsbereich von A ist demzufolge dann 0, 1 und 3 und das ist nicht gleich 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 - korrekt ?

Prüfe ich nun auf surjektiv, dann sehe ich das sie surjektiv ist, da der Wertebereich dann 0, 1, 2 ist und das gleich dem Wertebereich von B ist mit 0, 1, 2.

Wie prüfe ich nun auf injektivität ?
07.09.2012, 11:47 fahrstuhl Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich komme da nicht wirklich weiter - es sei denn folgender Sachverhalt stimmt:

Prüfung Injektivität: soll ja unterm Strich, so wie ich das deute heissen, das aus der Menge A (in unserem Fall also B) genau nur ein Pfeil auf die Elemente in B (in unserem Fall C) zeigt. Das ist hier der Fall, demzufolge ist sie Injektiv.

Bei Aufgabenstellung d) kann ich demzufolge dann nur überprüfen ob ich es hinbekomme das sie auch Total wird. Das wird ja aber nicht gehen, da ich dann die Werte 2, 4, 5 und 6 noch vergeben müsste - diese würden dann aber aufgrund der geringeren Anzahl an Elementen in B dafür sorgen das ein Element aus B zwangsläufig 2 mal getroffen wird. Damit würde die Injektivität aber wegfallen und es wäre unterm Strich wieder keine Bijektivität gegeben.

Ist das soweit richtig gedacht oder unterm Strich Blödsinn :-)
07.09.2012, 12:17 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fahrstuhl
Anhand deiner Fragestellung hab ich auch schon gemerkt das mir da was durchgerutscht ist und ich bisher die Definitionen von reinen Funktionen genommen habe, die anders definiert sind als die folgenden aus dem Lehrbuch :-)
Welche andere Definition? verwirrt

Zitat:
Original von fahrstuhl
Totale Funktion: Die Funktion f heisst total, falls D(f) = A, ansonsten heisst f partiell

surjektiv: Die Funktion f heisst surjektiv, falls W(f) = B ist

injektiv: Die Funktion f heisst injektiv, falls aus f(x1) = y und f(x2) = y folgt x1 = x2

bijektiv: Die Funktion heisst bijektiv, falls sie total, injektiv und surjektiv ist.
Redest du nun wieder von Funktionen? Das zu betrachtende g ist hier doch eine Relation verwirrt
Zitat:
Original von fahrstuhl
... gehe ich von folgender Annahme aus: A ist in unserem Fall B und B ist in unserem Fall C.
Was soll das denn jetzt? Diese Umbenennung in der Annahme ist vollkommen überflüssig und verwirrend, vor allem weil in der Aufgabenstellung auch ein B und ein C vorkommen und so dringende Verwechslungsgefahr besteht. für einen Außenstehenden ist völlig unklar, welches C nun gemeint ist. Bleib bei der gegebenen Bezeichnung.

Zitat:
Original von fahrstuhl
Der Definitionsbereich von A ist demzufolge dann 0, 1 und 3 und das ist nicht gleich 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 - korrekt ?
Diese Aussage hat keinen Sinn. A ist eine Menge, es hat also keinen Sinn, von dem "Definitionsbereich von A" zu sprechen. Von dem Definitionsbereich welcher Funktion redest du nun?

Zitat:
Original von fahrstuhl
Prüfe ich nun auf surjektiv, dann sehe ich das sie surjektiv ist, da der Wertebereich dann 0, 1, 2 ist und das gleich dem Wertebereich von B ist mit 0, 1, 2.
Wer oder was ist surjektiv?
07.09.2012, 12:18 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fahrstuhl
Prüfung Injektivität: soll ja unterm Strich, so wie ich das deute heissen, das aus der Menge A (in unserem Fall also B) genau nur ein Pfeil auf die Elemente in B (in unserem Fall C) zeigt.
Wiso ist A in unserem Fall B, und B in unserem Fall C? geschockt
 Anzeige 
 
07.09.2012, 13:31 fahrstuhl Auf diesen Beitrag antworten »

Mit anderer Definition meine ich das was man bei wikipedia zu Funktionen findet.

Beispiel: http://de.wikipedia.org/wiki/Injektivität

Bei den von mir beschriebenen Angaben über Totalität usw. handelt es sich um die Angaben aus meinem Lehrbuch in der es - ich zitiere - "um eine besondere Klasse der Relationen handelt, nämlich um die Funktionen"

Die Aufgabenstellung b) der Aufgabe war auch ob g eine Funktion sei ?

Laut Definition in meinem Buch - ich zitiere - "Die Relation R ist Teilmenge von A kreuzt B heißt eine Funktion, wenn von jedem Element der Menge A höchstens ein Pfeil in die Menge B zeigt." Demzufolge habe ich angenommen das g sehr wohl eine Funktion ist.

g ist ja nun in unserem Fall laut Aufgabenstellung eine Relation aus der Kreuzmenge von B und C. Daher hatte ich die Definitionen umgestellt von A in B und B in C, damit der Leser die Zahlen zuordnen kann Augenzwinkern Kann natürlich sein das das mehr verwirrt als alles andere, aber ich finde es somit eindeutiger.

Hoffe das ich damit weiterhelfen konnte, wobei mich das der Beantwortung der Frage natürlich nicht näher gebracht hat Big Laugh
07.09.2012, 13:48 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fahrstuhl
Mit anderer Definition meine ich das was man bei wikipedia zu Funktionen findet.

Beispiel: http://de.wikipedia.org/wiki/Injektivität
Das bezieht sich auf Funktionen. g ist aber keine Funktion, sondern "nur" eine Relation. Für Relationen ist damit die Linkseindeutigkeit gemeint.
Zitat:
Original von fahrstuhl
Bei den von mir beschriebenen Angaben über Totalität usw. handelt es sich um die Angaben aus meinem Lehrbuch in der es - ich zitiere - "um eine besondere Klasse der Relationen handelt, nämlich um die Funktionen"

Die Aufgabenstellung b) der Aufgabe war auch ob g eine Funktion sei ?

Laut Definition in meinem Buch - ich zitiere - "Die Relation R ist Teilmenge von A kreuzt B heißt eine Funktion, wenn von jedem Element der Menge A höchstens ein Pfeil in die Menge B zeigt." Demzufolge habe ich angenommen das g sehr wohl eine Funktion ist.
g ist eine Funktion (deren Definitionsbereich aber nicht B abdeckt). Das stimmt. Wenn wir nun davon ausgehen, ist diese Funktion dann injektiv bzw surjektiv?



Zitat:
Original von fahrstuhl
g ist ja nun in unserem Fall laut Aufgabenstellung eine Relation aus der Kreuzmenge von B und C. Daher hatte ich die Definitionen umgestellt von A in B und B in C, damit der Leser die Zahlen zuordnen kann Augenzwinkern Kann natürlich sein das das mehr verwirrt als alles andere, aber ich finde es somit eindeutiger.
Es macht überhaupt nichts eindeutiger, sondern nur verwirrender. Der Leser muss dann im Kopf die Menge A der Menge B zuordnen (wobei es ebreits eine Menge B gibt), was die Zuordnung natürlich wesentlich erschwert.
07.09.2012, 14:17 fahrstuhl Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, dann verstehe ich den ganzen Ansatz nicht verwirrt

Die Definition in meinem Buch schreibt von der Kreuzmenge A und B

Die Funktion g bezieht sich doch doch aber auf die Kreuzmenge von eben B und C.

Ich kann doch dann bei der Überprüfung nicht einfach A nutzen die mit g überhaupt nichts zu tun hat ? Damit es für die allgemeinverbindliche Formel passt hatte ich halt aus B A gemacht und aus C B .

Wenn man hier mit der tatsächlichen Menge aus A prüfen soll - die mit g meiner Meinung nach nichts zu tun hat, dann habe ich den ganzen Ansatz nicht verstanden, Setz mich wieder hin und akzeptier die 6 verwirrt

Aber vielleicht liegt da auch der Hund begraben, weswegen ich nicht weiter komme ?
07.09.2012, 14:26 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fahrstuhl
Sorry, dann verstehe ich den ganzen Ansatz nicht verwirrt

Die Definition in meinem Buch schreibt von der Kreuzmenge A und B

Die Funktion g bezieht sich doch doch aber auf die Kreuzmenge von eben B und C.

Ich kann doch dann bei der Überprüfung nicht einfach A nutzen die mit g überhaupt nichts zu tun hat ? Damit es für die allgemeinverbindliche Formel passt hatte ich halt aus B A gemacht und aus C B .
Ach, in dem Fall musst du wirklich mit den Mengen B und C rechnen. Ich hatte nur nicht verstanden, dass du von den Mengen A und B aus deinem Buch redest, da die Mengen A und B auch in dieser Aufgabe auftauchen.


Ja, hier musst du mit B und C rechnen.
07.09.2012, 14:28 fahrstuhl Auf diesen Beitrag antworten »

Dann zurück zu dieser Frage Freude

Prüfung Injektivität: soll ja unterm Strich, so wie ich das deute heissen, das aus der Menge A (in unserem Fall also B) genau nur ein Pfeil auf die Elemente in B (in unserem Fall C) zeigt. Das ist hier der Fall, demzufolge ist sie Injektiv.

Bei Aufgabenstellung d) kann ich demzufolge dann nur überprüfen ob ich es hinbekomme das sie auch Total wird. Das wird ja aber nicht gehen, da ich dann die Werte 2, 4, 5 und 6 noch vergeben müsste - diese würden dann aber aufgrund der geringeren Anzahl an Elementen in B dafür sorgen das ein Element aus B zwangsläufig 2 mal getroffen wird. Damit würde die Injektivität aber wegfallen und es wäre unterm Strich wieder keine Bijektivität gegeben.

Ist das soweit richtig gedacht oder unterm Strich Blödsinn :-)
07.09.2012, 14:33 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fahrstuhl
Prüfung Injektivität: soll ja unterm Strich, so wie ich das deute heissen, das aus der Menge A (in unserem Fall also B) genau nur ein Pfeil auf die Elemente in B (in unserem Fall C) zeigt. Das ist hier der Fall, demzufolge ist sie Injektiv.
Die Injektivität stimmt Freude

Wie gesagt: Die Schreibweise "A (in unserem Fall also B)" und "B (in unserem Fall C)" verwirrt jeden Leser, weil oben eine andere Menge A angegeben ist. Jemand, der deinen Text liest, weiß nicht, was mit A und B bei dir gemeint ist. Schreib einfach nur von B bzw C, dann kann man dir viel leichter folgen.

Was ist mit Surjektivität?
Zitat:
Original von fahrstuhl
Bei Aufgabenstellung d) kann ich demzufolge dann nur überprüfen ob ich es hinbekomme das sie auch Total wird. Das wird ja aber nicht gehen, da ich dann die Werte 2, 4, 5 und 6 noch vergeben müsste - diese würden dann aber aufgrund der geringeren Anzahl an Elementen in B dafür sorgen das ein Element aus B zwangsläufig 2 mal getroffen wird. Damit würde die Injektivität aber wegfallen und es wäre unterm Strich wieder keine Bijektivität gegeben.
Richtig.
07.09.2012, 15:08 fahrstuhl Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bedank ich mich an der Stelle Wink

Nun muss ich noch die Komposition herausfinden, also h = g Kringel f

Da komme ich auf h = (0,1), (1,0), (3,1)

Siehst du das auch so ?
07.09.2012, 16:53 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf (3,1) ? Der Rest stimmt.
07.09.2012, 17:02 fahrstuhl Auf diesen Beitrag antworten »

Weil ich das vertauscht hatte - also die Stellung der einzelnen Funktionen Big Laugh

Richtig müsste sein:

f(x) = (0,1), (1,0), (2,1), (3,4)
g(x) = (0,0), (1,1), (3,2)

hintereinander geschrieben also:

h= g Kringel f = (0,0), (1,1), (3,2) Kringel (0,1), (1,0), (2,1), (3,4)

h= (0,1), (1,0)


so korrekt ?
07.09.2012, 18:59 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dir müsste noch (2,1) fehlen, sonst stimmt es
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »


MatheBoard » Hochschulmathematik » Sonstiges » Aufgabenstellung mach keinen Sinn - Relation: Prüfung ob injektiv, surjektiv, bijektiv