Von "Satz von Stewart" auf "Satz des Heron" schließen

07.09.2012, 17:13

Chrimi8

Auf diesen Beitrag antworten »

Von "Satz von Stewart" auf "Satz des Heron" schließen

Meine Frage:
Ich habe eigentlich dasselbe Problem wie hier beschrieben:

http://www.matheboard.de/archive/299482/thread.html

Leider hat darin keiner direkt auf die Frage geantwortet. Mir wäre nämlich der Weg vom Satz von Stewart zum Satz des Heron wichtig.
Immerhin steht bei fast jedem Beweis von Stewarts Satz dabei, dass Herons Satz die driekte Folgerung daraus sei.
Nur leider ist nirgendwo diese "Folgerung" zu finden.

Meine Ideen:
[attach]25768[/attach]

Satz von Stewart (Ausgangspunkt):
$\begin{eqnarray*} xa^{2} + yb^2- c\cdot h^2= yxc \end{eqnarray*}$

Satz von Stewart (Endpunkt):
$\begin{eqnarray*} h= \frac{2}{a}\sqrt{s\left(s- a\right)\left(s- b\right) \left(s- c\right) } \end{eqnarray*}$

Daraus ist ja der Satz des Heron dann leicht abzuleiten.

Leider hab ich überhaupt keinen Ansatz, bis darauf, die teilstrecken x und y vielleicht über cos/sin oder mithilfe des Satz des Phythagoras anzugeben.

Danke schonmal für die Hilfe!

Chrimi8

Edit opi: Dateianhang hochgeladen, Link zu externem Hoster entfernt, Link zu unserem eigenen Board "scharf" gemacht.

07.09.2012, 18:22

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Von "Satz von Stewart" auf "Satz des Heron" schließen
ein weg:
versuche auf

$\begin{eqnarray*} x(c^2+a^2-b^2)=2a(c^2-h^2_a) \end{eqnarray*}$

zu kommen,
der rest ist einfache wurstrechnerei Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.09.2012, 23:27

Chrimi8

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh nicht genau, wie du auf den 2. Teil der Gleichung komst aber ich habs so annähernd hinbekommen:

$\begin{eqnarray*} xa^{2} + yb^2- c\cdot h^2= yxc \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xa^{2} + cb^2-xb^2- ch^2= xc^2-cx^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xa^{2} + xa^2-xb^2- xc^2= -cx^2+ch^2-cb^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(a^2-b^2- c^2)= c(-x^2+h^2-b^2) \end{eqnarray*}$

08.09.2012, 00:30

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

da ich grundsätzlich keine externen links anschaue, konnte ich deine zeichnung bei meiner antwort noch nicht sehen.
da du weiters geschrieben hast

$\begin{eqnarray*} h=\frac{2}{a}.... \end{eqnarray*}$ habe ich dir - wie ersichtlich - die "entwicklung" für $\begin{eqnarray*} h_a \end{eqnarray*}$ hingemalt.

für $\begin{eqnarray*} h_c \end{eqnarray*}$ bekommst du durch zyklische vertauschung

$\begin{eqnarray*} x(-a^2+b^2+c^2)=2c(b^2-h^2) \end{eqnarray*}$

was du, wenn du scharf hinschaust und an pythagoras denkst, eh berechnet hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.09.2012, 11:22

Chrimi8

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, so weit hab ichs jetzt, danke!
Hab nur nicht beachtet, dass du die Formel für die Höhe auf a hattest.

Nur wie gehts jetzt weiter?
Kannst du mir vielleicht noch einen Tipp geben?

Und wodurch ersetzt ich "x"? Gibt's irgendetwas anderes außer $\begin{eqnarray*} \sqrt{b^2-h^2} \end{eqnarray*}$ , was Sinn macht?

08.09.2012, 11:40

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

na klar

Freude

und beachte nun (oder schon vorher), was rechts (in der klammer) steht!

Anzeige

08.09.2012, 12:15

Chrimi8

Auf diesen Beitrag antworten »

Das rechts in der Klammer entspricht $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ .
Also kürzt sich ein x weg.
Jetzt hab ich allerdings h in der Wurzel, also quadrieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-a^2 + b^2 + c^2)^2}{4c^2}= b^2-h^2 \end{eqnarray*}$

Und dann nach h² auflösen:

$\begin{eqnarray*} h^2=b^2-\frac{(-a^2 + b^2 + c^2)^2}{4c^2} \end{eqnarray*}$

Ich frag mich nur, wie ich nun auf s kommen soll.

08.09.2012, 13:03

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Chrimi8
Das rechts in der Klammer entspricht $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ .
Also kürzt sich ein x weg.
Jetzt hab ich allerdings h in der Wurzel, also quadrieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-a^2 + b^2 + c^2)^2}{4c^2}= b^2-h^2 \end{eqnarray*}$

Und dann nach h² auflösen:

$\begin{eqnarray*} h^2=b^2-\frac{(-a^2 + b^2 + c^2)^2}{4c^2} \end{eqnarray*}$

Ich frag mich nur, wie ich nun auf s kommen soll.

man kann´s immer kopmpliziert machen unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} (-a^2 + b^2 + c^2)^2= 4c^2\cdot b^2-4c^2\cdot h^2 \end{eqnarray*}$

das quadriesrt du jetzt aus und stellst alles außer dem term mit h² auf eine seite.

und nun machst du am einfachsten einen "koeffizientenvergleich", indem du

in $\begin{eqnarray*} s(s-a)(s-b)(s-c) \end{eqnarray*}$ für s einsetzt und quadrierst

08.09.2012, 16:17

Chrimi8

Auf diesen Beitrag antworten »

"Koeffizientenvergleich" hatten wir noch nicht in der Schule, kommt wahrschenlich erst dieses Jahr in der 12.

Ich hab mir jetzt zwar ein Video dazu angeschaut und das Prinzip auch verstanden, weiß aber keinen Ansatz dazu für diese Aufgabe (könnte auch daran liegen, dass ich folgenden Teil deiner Antwort nicht ganz verstehe:

Zitat:

und nun machst du am einfachsten einen "koeffizientenvergleich", indem du

in $\begin{eqnarray*} s(s-a)(s-b)(s-c) \end{eqnarray*}$ für s einsetzt und quadrierst

Indem ich was für s einsetze?

08.09.2012, 19:41

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Chrimi8
"Koeffizientenvergleich" hatten wir noch nicht in der Schule, kommt wahrschenlich erst dieses Jahr in der 12.

Ich hab mir jetzt zwar ein Video dazu angeschaut und das Prinzip auch verstanden, weiß aber keinen Ansatz dazu für diese Aufgabe (könnte auch daran liegen, dass ich folgenden Teil deiner Antwort nicht ganz verstehe:

Zitat:

und nun machst du am einfachsten einen "koeffizientenvergleich", indem du

in $\begin{eqnarray*} s(s-a)(s-b)(s-c) \end{eqnarray*}$ für s einsetzt und quadrierst

Indem ich was für s einsetze?

dafür solltest du dich aber schämen unglücklich

unglücklich

wovon reden wir denn da verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} s=\frac{a+b+c}{2} \end{eqnarray*}$ wie seit HERON Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.09.2012, 20:16

Chrimi8

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich es so mache, setzte geh ich ja schon vom eigentlichen Ergebnis aus.
Ich würd es gern beweisen, wie man auf diesen Satz des Heron gekommen ist.
Ich glaub dabei vom Ergebnis direkt auszugehen ist nicht sogamz zulässig, oder?

Also mir gehts wirklich um das Schritt für Schritt auflösen und kürzen der Gleichung bis zum Satz des Heron.

08.09.2012, 20:22

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

dann tu´s halt schritt für schritt unglücklich

unglücklich

08.09.2012, 23:31

Chrimi8

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!

Ich konnte zwar jetzt den Koeffizientenvergleich nicht durchführen
(Wie gesagt, ich wusste bis zu deinem Post nichts davon)
aber dank einem tollen Rechner (Wolfram Alpha) weiß ich wenigstens, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2}{8} \end{eqnarray*}$

in

$\begin{eqnarray*} s(s-a)(s-b)(s-c) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \frac{(a+b+c)}{2}\frac{(-a+b+c)}{2}\frac{(a-b+c)}{2}\frac{(a+b-c)}{2} \end{eqnarray*}$

zerlegbar ist.

Wäre zwar schön, zu wissen, wie genau das funktioniert, aber ich hab immerhin einen halbwegs guten Beweis (mit ein paar fehlenden Zwischenschritten Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Also nochmals Danke
Chrimi8

08.09.2012, 23:38

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

noch einmal: dreh das ganze um, zeige, daß

$\begin{eqnarray*} s(s-a)..... \end{eqnarray*}$ das gewünschte liefert unglücklich

unglücklich

08.09.2012, 23:41

Chrimi8

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von riwe
noch einmal: dreh das ganze um, zeige, daß

$\begin{eqnarray*} s(s-a)..... \end{eqnarray*}$ das gewünschte liefert unglücklich

unglücklich

Das werde ich auch tun, da ichs ja andersherum leider nicht beherrsche traurig

traurig

.

Danke!
Super Forum hier, dachte nicht, dass man hier in so kurzer Zeit kompetente Hilfe und Antworten bekommt Freude

Freude

09.09.2012, 09:41

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles ausmultiplizieren ist irgendwie Overkill, es geht auch etwas behutsamer durch mehrfachen gezielten Einsatz der dritten binomischen Formel. Ausgehend von $\begin{eqnarray*} h^2 = b^2-\frac{(-a^2 + b^2 + c^2)^2}{4c^2} \end{eqnarray*}$ erhält man durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} 4c^2 \end{eqnarray*}$ sowie der doppelten Dreiecksfläche $\begin{eqnarray*} ch = 2F \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16F^2 = (2bc)^2 - (-a^2+b^2+c^2)^2 = (-a^2+(b+c)^2)(a^2-(b-c)^2) = (b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c) \end{eqnarray*}$ ,

und das ist de facto dann schon der Heron.

EDIT: Danke an "Fragen über Fragen" für den Fehlerhinweis - ist nun korrigiert.

09.09.2012, 15:06

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Schreibfehler: im mittleren Term muss das Quadrat in die Klammer

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »