Vollständige Induktion für 2^(n!) > (n+1)! für n>=3

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derperplexe Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion für 2^(n!) > (n+1)! für n>=3
Meine Frage:
Hallo liebes Board. Es geht um folgende Aufgabe:

"Zeigen SIe, für ganze gilt "

Ich habe beschlossen, dass es sich hier besonders anbietet, die vollständige Induktion anzuwenden (der einzige Beweis, den wir bisher in den Vorkursen wirklich hinreichend besprochen haben).

Meine Ideen:
Also die Induktionsvoraussetzung ist erfüllt, da für n=3

richtig ist, da 64>24.

Unter der Annahme, dass richtig ist (Induktionsvoraussetzung)ist jetzt ja zu beweisen.

Dann hab ich gleich wie folgt losgelegt:




Und das ist genau der Punkt, an dem ich gerade stehe. Ich komme so ziemlich gar nicht mehr weiter, obwohl ich eigentlich glaube, dass ich gar nicht so weit vom Ziel entfernt bin. =&

Ich dachte, dass ich einfach schreiben könne , aber das ist ja kein hinreichender Beweis, da (n+2)! ja größer als (n+1)! und somit der Bezug zu fehlt.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm ein wenig auseinander und schätze dann ab.

Die von Dir zitierte "Abschätzung" bringt natürlich Null, da sie keinerlei Beziehung zwischen dem linken und rechten Term herstellt. (z.B. sind 2>1<3 und 2>1<1,5 richtige Aussagen, die aber rein gar nichts über das Verhältnis von 2 zu 3 bzw. 2 zu 1,5 aussagen.)
derperplexe Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Helferlein und danke für deine Antwort. Wink

Ich hab auch vor meinem Post schon versucht, auseinanderzuziehen und das Ergebnis dessen wäre ja

Ich sehe leider aber noch nicht so ganz, wie ich das Ganze jetzt mit der genannten Voraussetzung verknüpfen kann. verwirrt

Liebe Grüße zu später Stunde,

derperplexe
derperplexe Auf diesen Beitrag antworten »

Es war natürlich gemeint. smile
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht doch nur darum zu zeigen, dass

Die linke Seite enthält schon einen Teil des rechten Terms.
derperplexe Auf diesen Beitrag antworten »

Hallöchen nochmal, Helferlein! smile

Ginge das eventuell so:



(, da )

Es sieht jedenfalls auf den ersten Blick ganz vernünftig aus? smile

Liebe Grüße,

derperplexe
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Idee, aber wieso diese Ungleichung gilt, muss schon noch bewiesen werden (Auch wenn sie anschaulich klar ist).

Warum gilt ?
derperplexe Auf diesen Beitrag antworten »

Da muss ich echt passen verwirrt

Also in der Schule hätten man die Ungleichung ja nach n auflösen müssen, aber das erweist sich hier ja als fast schon unmöglich. =&
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast so viele Möglichkeiten. Die linke Seite wächst ja deutlich schneller wie die rechte

Versuch es mit oder .
Beides führt zum Ziel und es gibt sicher noch etliche andere Ansätze.
derperplexe Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, danke Helferlein. Ich schätze deine Hilfe echt sehr, aber momentan hab ich so das Gefühl, dass ich richtig festhänge.

Natürlich ist in der Aufgabe schon gegeben, dass n größer gleich 3 sein soll, aber der Beweis, dass gilt, überlastet mich.

Ich weiß nicht so recht, wie ich verfahren soll, um auf n>1 zu kommen. (Rein durch ausprobieren würde ich sagen, dass n>1 sein muss, denn





Aber der Beweis im Allgemeinen unglücklich
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Du schon richtig sagst: n>2 gilt nach Aufgabenstellung. Also brauchst Du n=1 und n=2 gar nicht zu betrachten.

Wenn Du mit meinen Formeln oben nicht klar kommst, versuch es doch mal mit dem Ansatz und wende die Definition der Fakultät an. Auch das wird Dich zur gewünschten Ungleichung führen.
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