Ableitungsaufgabe komplex

09.09.2012, 16:57

patfan1980111

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Ableitungsaufgabe komplex

Hallo,

folgende Aufgabenstellung: "Welche Steigung hat der Graph der dritten Ableitungsfunktion an den Stellen x= 1 und x= -1 von folgenden Funktionen?"

Zunächst einmal: Sehe ich es richtig, dass ich bis einschließlich zur 4. Ableitung ableiten muss? Also f'(x), f''(x), f'''(x) und schließlich f''''(x)?

Mit dieser 4. Ableitung: Muss ich dann 1 und -1 als f(x) bzw. y ersetzen? Also

1 =... die gleichung und nach x auflösen?

Als Antwortsatz hätte ich dann sowas wie: "An der Stelle x=1 beträgt die Steigung ..." (das, was dann halt als x bei mir rauskommt).

Stimmt der Ansatz?

09.09.2012, 17:08

Kasen75

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Hallo,

Ich würde eher in die 4. Ableitung für x = 1 bzw. x = -1 einsetzen.

Mit freundlichen Grüßen.

09.09.2012, 17:16

patfan1980111

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Also f(1) und f(-1) dann?

Und wenn die Aufgabenstellung lauten würde: "An welcher Stelle hat die vierte Ableitung die Steigung/den Wert 1?" wäre es umgekehrt? Also 1 = Gleichung?

1 dann als f(x) ersetzen?

Und ich müsste in diesem Fall mit der fünften Ableitung arbeiten, richtig? Weil ja die fünfte Ableitung die Steigung der vierten Ableitung ist?

09.09.2012, 17:22

Kasen75

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Dein Überlegungen sind richtig.

Ich würde nur statt f(x) wirklich die fünfte Ableitung hinschreiben.

Mit freundlichen Grüßen.

09.09.2012, 17:24

patfan1980111

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Hm, wie ist das gemeint? Die fünfte Ableitung hinschreiben und gleich 1 setzen?

09.09.2012, 17:33

patfan1980111

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In meinem Buch steht zum Aufgabentyp "An welcher Stelle hat die vierte Ableitung den Wert 0", dass man bis zur einschl. 4. Ableitung macht und dann die 4. Ableitung = 0 setzt und dann mit p/q-formel die beiden x ausrechnet. Kann ich das dann so anwenden?

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09.09.2012, 17:38

Kasen75

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Genauso kannst du es machen, wenn die 4. Ableitung eine quadratische Funktion ist. Freude

Freude

Ich wollte mit meinem letzten Beitrag ausdrücken, dass du für die 5. Ableitung von f(x) nicht einfach f(x) hinschreiben kannst.

Sondern eher $\begin{eqnarray*} f^v(x) \end{eqnarray*}$ . v soll die römische 5 darstellen.

09.09.2012, 18:12

patfan1980111

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Danke.

Nehmen wir also mal bei diesem Aufgabentyp: "Welche Steigung hat der Graph der dritten Ableitungsfunktion an den Stellen x1=1 und x2=-1 von folgenden Funktionen?"

a) Die Funktion lautet: $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{30}x^5 - \frac{1}{48}x^4 + 2x^2 - x \end{eqnarray*}$

Zunächst einmal: Wie rechne ich mit den Brüchen? Normalerweise mache ich die ers timmer zu Kommazahlen, weils mir dann leichter fällt, aber bei diesen und vielen anderen sind das zu viele Kommazahlen und die Ergebnisse sind dann ungenauer, wenn ich aufrunde. Kann mir bitte jemand hier meine nicht vorhanden Bruchrechnungkenntnisse auffrischen?

09.09.2012, 18:22

Kasen75

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In diesem Fall ist das mit Brüchen kein Problem, da x nicht im Nenner steht.

Also ganz normal ableiten. Wenn man jetzt z.B. den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{1}{30} \cdot x^5 \end{eqnarray*}$ ableitet steht da:

$\begin{eqnarray*} 5 \cdot \frac{1}{30} \cdot x^4 = \frac{5}{30} \cdot x^4 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kann man den Bruch noch kürzen.
Soweit klar?

09.09.2012, 18:48

patfan1980111

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Sieht die Aufgabe dann so bis dahin richtig aus?

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{30}x^5 - \frac{1}{48}x^4 + 2x^2 - x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{6}x^4 - \frac{1}{12}x^3 + 4x - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^2 + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)= \frac{2}{1}x^2 - \frac{1}{2}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(x)= 2x - 0,5 \end{eqnarray*}$

Und dann f(1) und f(-1) machen? Also so?

a) $\begin{eqnarray*} f''''(1)= 2 * (1) - 0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(1)= 1,5 \end{eqnarray*}$

Antwortsatz: An der Stelle x=1 hat der Graph der dritten Ableitungsfunktion die Steigung 1,5.

b) $\begin{eqnarray*} f''''(-1)= 2 * (-1) - 0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(-1)= -1 \end{eqnarray*}$

Antwortsatz: An der Stelle x=-1 hat der Graph der dritten Ableitungsfunktion die Steigung 1.

Ist das so korrekt oder habe ich was übersehen? Die Aufgabenstellung lautete ja: "Welche Steigung hat der Graph der dritten Ableitungsfunktion an den Stellen x= 1 und x= -1?"

Und da die Steigung der dritten Ableitungsfunktion die vierte Ableitung ist, musste ich mit der vierten Ableitung arbeiten.

09.09.2012, 19:30

Kasen75

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Dein Vorgehen war absolut korrekt. Freude

Freude

Nur die vierte Ableitung stimmt leider nicht. Die musst du Wohl oder Übel nochmal berechnen.

09.09.2012, 19:36

patfan1980111

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Ist die vierte Ableitung so?

$\begin{eqnarray*} f''''(x)= 4x - 0,5 \end{eqnarray*}$

Dann ändert sich das folgendermaßen?

a) $\begin{eqnarray*} f''''(1)= 4 * (1) - 0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(1)= 3,5 \end{eqnarray*}$

Antwortsatz: An der Stelle x=1 hat der Graph der dritten Ableitungsfunktion die Steigung 3,5.

b) $\begin{eqnarray*} f''''(-1)= 4 * (-1) - 0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(-1)= -4,5 \end{eqnarray*}$

Antwortsatz: An der Stelle x=-1 hat der Graph der dritten Ableitungsfunktion die Steigung -4,5.

09.09.2012, 19:56

Kasen75

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Perfekt.

Freude

09.09.2012, 20:16

patfan1980111

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Danke.

smile

Und wie würde es bei dieser Aufgabe hier aussehen?

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{60}x^6 + \frac{1}{30}x^5 + \frac{1}{3}x^4 + 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{1}{10}x^5 + \frac{1}{6}x^4 + \frac{4}{3}x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{1}{2}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{4}{1}x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)= 2x^3 + 2x^2 + 8x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(x)= 6x^2 + 4x + 8 \end{eqnarray*}$

Mit dieser vierten Ableitung wieder f(1) und f(-1) machen?

Ab wann kommt denn die p/q-Formel ins Spiel?

Bei einem anderen Aufgabentyp "An welcher Stelle hat die vierte Ableitung den Wert 0" steht in meinem Buch ein Bsp. mit der p/q-Formel. Ist das nicht die Nullstellenberechnung? Ich setze die Gleichung ja gleich 0 und mache p/q-Formel.

Und wenn die Aufgabe "An welcher Stelle hat die vierte Ableitung den Wert 1" mache ich bei so einer Gleichung wie 6x^2 + 4x + 4 ebenfalls die pq-Formel und setze statt 0 gleich 1? Ist das richtig?

09.09.2012, 20:28

Kasen75

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Die Ableitungen sind schon mal richtig. Freude

Freude

Du schreibst: Mit dieser vierten Ableitung wieder f(1) und f(-1) machen?

Wenn du die Steigung der dritten Ableitung an der Stelle x=1 bzw. x=-1 berechnen willst, dann genau so.

Zitat:

Bei einem anderen Aufgabentyp "An welcher Stelle hat die vierte Ableitung den Wert 0" steht in meinem Buch ein Bsp. mit der p/q-Formel. Ist das nicht die Nullstellenberechnung? Ich setze die Gleichung ja gleich 0 und mache p/q-Formel.

Richtig.

Freude

Zitat:

Und wenn die Aufgabe "An welcher Stelle hat die vierte Ableitung den Wert 1" mache ich bei so einer Gleichung wie 6x^2 + 4x + 4 ebenfalls die pq-Formel und setze statt 0 gleich 1? Ist das richtig?

Im Prinzip richtig. Nur das die 4. Ableitung $\begin{eqnarray*} 6x^2 + 4x + 8 \end{eqnarray*}$ ist.
Hast du ja selber ermittelt. Big Laugh

Big Laugh

09.09.2012, 20:37

patfan1980111

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Ja, danke dafür smile

smile

Kann man eigentlich eine Probe machen? Also bei der Aufgabe eben, wo ich als Steigung 3,5 und -4,5 raushatte. Um selber zu gucken, obs stimmt?

Ich hab einfach nach x wieder aufgelöst.

$\begin{eqnarray*} 3,5 = 4x - 0,5 \end{eqnarray*}$ / + 0,5

$\begin{eqnarray*} 4 = 4x \end{eqnarray*}$ /: 4

$\begin{eqnarray*} 1 = x \end{eqnarray*}$

An der Stelle x=1 war die Steigung der 3. Ableitungsfunktion 3,5. Kann man das so bei jeder Aufgabe selbst überprüfen?

Aber wie würde das bei dieser hier gehen:

$\begin{eqnarray*} f''''(x)= 6x^2 + 4x + 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1)= 6 * 1^2 + 4 * 1 + 8 \end{eqnarray*}$
= 18

$\begin{eqnarray*} f(-1)= 6 *(-1)^2 + 4*(-1) + 8 \end{eqnarray*}$
= 10

Und: Ich habe eben die Steigungen berechnet. In einer normalen Funktion wäre das f(x)=mx+ b. Mein m ist dann aber nicht 18, 10 oder 3,5 oder? In welchem Zusammenhang steht das?

09.09.2012, 21:02

Kasen75

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Die Probe ist schon mal richtig. Die machst du ja, weil du die Ableitung schon hast. Deshalb brauchst du die richtigen Ableitungen.

Wenn du $\begin{eqnarray*} f''''(-1) \end{eqnarray*}$ berechnest, dann ermittelst du ja die Steigung der dritten Ableitung an der Stelle x = -1. Soweit richtig. Freude

Freude

Deine "normale Funktion" ist eine lineare Funktion. Damit könnte man eine Tangente an die dritte Ableitung (nicht-lineare Funktion) legen, mit der Steigung 10. Also m=10.

Den x-Wert hast du auch schon. x=-1. Wenn du den in die dritte Ableitung einsetzt hast, hast du auch schon den y-Wert bzw. f(x).

Somit bleibt nur noch, von der Gleichung y=mx+b, b zu bestimmen. Das geht ja dann.

Bei x=1 wäre m=18.

Die 3,5 war ja ein anderes Beispiel. Ich gehe erstmal nicht näher darauf ein, sonst werde ich ganz konfus.

Gerne. smile

smile

09.09.2012, 21:06

patfan1980111

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Aber wie löst man das nach x auf um die Probe zu machen?

$\begin{eqnarray*} f''''(x)= 6x^2 + 4x + 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-1)= 6 *(-1)^2 + 4*(-1) + 8 \end{eqnarray*}$
= 10

$\begin{eqnarray*} 10= 6x^2 + 4x + 8 \end{eqnarray*}$
Da müsste dann als x=-1 rauskommen.

09.09.2012, 21:17

Kasen75

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Hier machst du die Probe, in dem du einfach noch mal nachrechnest.
Du setzt einfach für x nochmal -1 ein und schaust ob 10 herauskommt.

Dein Weg ist zu umständlich. Du sagst, da muss doch 10 herauskommen. Wie groß ist das x?

Erstens weißt du wie groß das x sein muss. Also einfach einsetzen.
Zweitens bekommst du, wenn du die quadratische Gleichung löst, möglicherweise zwei Lösungen heraus. Von der uns nur x=-1 interessiert.

Kurzum: Einfach nochmal -1 für x einsetzen und überprüfen ob 10 herauskommt.

09.09.2012, 21:22

patfan1980111

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Ja, jetzt gehts. Danke!! smile

smile

Jetzt machens mir aber wiedr die Klammern schwerer. Wie macht man das nochmal hiermit?

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{24}x^4 (x-5) - \frac{1}{6}x^2 (x-2) + 4x-7 \end{eqnarray*}$

09.09.2012, 21:24

Kasen75

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Klammern ausmultiplizieren. Weiß du noch wie das geht?

09.09.2012, 21:29

patfan1980111

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Bin mir nicht sicher, so vielleicht mit Brüchen?

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{24}x^4 (x-5) - \frac{1}{6}x^2 (x-2) + 4x-7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{24}x^5 - \frac{5}{24}x^4 - \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{3}x^2 + 4x-7 \end{eqnarray*}$

09.09.2012, 21:37

Kasen75

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Fast. Vorzeichenfehler.

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{24}x^4 (x-5) - \textcolor{red}{\frac{1}{6}x^2} (x\textcolor{red}{-2}) + 4x-7 \end{eqnarray*}$

09.09.2012, 21:39

patfan1980111

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So?
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{24}x^5 - \frac{5}{24}x^4 - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{3}x^2 + 4x-7 \end{eqnarray*}$

09.09.2012, 21:40

Kasen75

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Sehr gut.

Freude

09.09.2012, 21:57

patfan1980111

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Vielen Dank!! smile

smile

Letzte Aufgabe für heute. Wie verhält es sich denn hierbei?

$\begin{eqnarray*} f(x)= -\frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= -\frac{1}{3}x^3 + 1x^2 - 2x^2 + 3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= -1x^2 + 2x - 4x + 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)= -2x + 2 -4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(x)= -2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit? Falls das stimmen sollte und ich für x=1 und -1 einsetzen muss. Dann bleibt es ja bei beiden Fällen -2. Hat der Graph der dritten Ableitungsfunktion somit sowohl an der Stelle x=1 als auch an der Stelle x=-1 die Steigung -2?

09.09.2012, 22:04

Kasen75

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Diese Ableitung ist leider falsch.

$\begin{eqnarray*} f'(x)= -\frac{1}{3}x^3 + 1x^2 - 2x^2 + 3x \end{eqnarray*}$

Aber deine Vermutung, dass in beiden Punkten die Steigung der dritten Ableitung gleich ist, nämlich -2, ist richtig. Freude

Freude

Freude

10.09.2012, 16:01

patfan1980111

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Stimmt es so?

$\begin{eqnarray*} f(x)= -\frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= -\frac{1}{3}x^3 + 1x^2 - 4x + 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= -1x^2 + 1x - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)= -2x + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''''(x)= -2 \end{eqnarray*}$

Fünfte Ableitung wäre 0.

Also f(1) = -2 und f(-1) = -2

weil kein x da ist, muss es ja so sein, oder?

10.09.2012, 16:09

Kasen75

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Dein Endergebnis ist wie letztes Mal im Endeffekt richtig. Freude

Freude

Die zweite Ableitung ist:

$\begin{eqnarray*} f''(x)= -1x^2 + \textcolor{red}{2}x - 4 \end{eqnarray*}$

Dieser kleine Fehler spielt aber bei der vierten Ableitung keine Rolle mehr, wie beim letzten Mal.

10.09.2012, 16:15

patfan1980111

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann noch etwas, das mich verwirrt. Bei dieser Aufgabe hier: "An welcher Stelle hat die Steigung -2?"

Hier muss ich ja f(x) bzw. y mit -2 gleichsetzen, richtig?

$\begin{eqnarray*} f(x)= (x-4)^2 + 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= x^2 - 2x + 16 + 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= x^2 - 2x + 19 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 2x-8 \end{eqnarray*}$

Was ich mich frage: Wie ist man auf die zweite Funktion gekommen, wo die Klammern wegfallen. Das ist doch dasselbe wie eben, aber irgendwas ist da anders gerechnet. Oder stimmt die Lösung nicht?

Als x kam 3 raus, also die AW: An der Stelle x=3 beträgt die Steigung -2.

10.09.2012, 16:22

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von patfan1980111

$\begin{eqnarray*} f(x)= x^2 - 2x + 16 + 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= x^2 - 2x + 19 \end{eqnarray*}$

Diese beiden Ausdrücke stimmen in der Tat nicht. Der Rest stimmt wieder.

10.09.2012, 16:25

patfan1980111

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie müssten die ersten beiden Ausdrücke stattdessen lauten? Versteh das nicht. Ist das wieder ganz normal ausmultiplizieren? Hier doch nicht, weil man da hinten +3 stehen hat, oder?

10.09.2012, 16:36

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Die +3 spielt ja ersmal keine Rolle. Die wird ja erstmal von Ausdruck zu Ausdruck mitgeschleppt. "Ausmultiplizieren" ist das richtige Stichwort.

$\begin{eqnarray*} (x-4)^2+3=(x-4) \cdot (x-4)+3 \end{eqnarray*}$

10.09.2012, 16:39

patfan1980111

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Also habe ich dort stehen:

$\begin{eqnarray*} (x^2 - 4x - 4x+ 16) + 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^2 - 8x + 16) + 3 \end{eqnarray*}$

10.09.2012, 17:00

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut.

smile

10.09.2012, 17:06

patfan1980111

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Und so gehts weiter?

$\begin{eqnarray*} x^2 - 8x + 19 \end{eqnarray*}$

Erste Ableitung

$\begin{eqnarray*} 2x -8 \end{eqnarray*}$

Usw...

?

Noch eine Frage zum Ausmultiplizieren. Bei dieser Funktion wäre das doch so oder? (Aufgabe hier ist, wieder die Steigung der dritten Ableitung herauszubekommen).

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{12}x^2 ( \frac{1}{6}x^4 - x^2 + 84) - 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{78}x^6 - \frac{1}{12}x^4 + 7x^2 - 6 \end{eqnarray*}$

Habe ich da irgendwas falsch gemacht? Weil am Ende bei mir x= 3,6 rauskommt bei f(1) bzw. 3,6 bei f(-1)

Die vierte Ableitung sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} f''''(x)= \frac{60}{13}x^2 -1 \end{eqnarray*}$

10.09.2012, 17:14

Kasen75

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Sieht ganz gut aus, außer das 12*6=72 ist. Und dass bei der vierten Ableitung die -1 falsch ist.

10.09.2012, 17:23

patfan1980111

Auf diesen Beitrag antworten »

5x^2 - 2 ist die richtige vierte Ableitung?

Bei f(1) und f(-1) würde dann beides 3 rauskommen.

10.09.2012, 17:26

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Well done. smile

smile

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