Eulers Beweis zur Unendlichkeit der Primzahlen

10.09.2012, 14:23

bouni

Eulers Beweis zur Unendlichkeit der Primzahlen

Meine Frage:
Hallo smile

ich habe eine Frage zum folgendem Beweis zur Unendlichkeit der Primzahlen. (http://www.beweise.mathematic.de/primenumbers-euler2.html)
Bei dieser Ungleichung:
log x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1+ 1/2+ 1/3... + 1/n $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits 1/m \end{eqnarray*}$
Durch den Verleich mit der oberen Treppenfunktion verstehe ich den ersten Teil der Gleichung schon, aber den zweiten, dass die Summe von 1/m (wobei m die Summe aus den natürlichen Zahlen m gebildet wird, welche nur Primfaktoren p kleiner/gleich x enthalten) größer/gleich ist als 1+ 1/2+1/3 verstehe ich nicht so ganz..

Meine Ideen:
wenn ich z.B. Zahlen bis 10 einsetze wäre es ja 1+1/2+..1/10 und dann wäre ja m das Produkt aus den Primzahlen kleiner/gleich 10.. die Primzahlen wären dann 2,3,5,7. und wenn man das Produkt daraus bildet und in 1/m einsetzt, dann wäre daraus die Summe doch kleiner als bei 1+...1/10 oder?

kann mir das bitte, bitte jemand erklären? Ich verstehe es wirklich nicht.. :/ Danke smile

10.09.2012, 14:54

HAL 9000

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Einmal verwendest du $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , dann aber auch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als Obergrenze... einigen wir uns auf $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und setzen $\begin{eqnarray*} n=x \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von bouni
aber den zweiten, dass die Summe von 1/m (wobei m die Summe aus den natürlichen Zahlen m gebildet wird, welche nur Primfaktoren p kleiner/gleich x enthalten) größer/gleich ist als 1+ 1/2+1/3 verstehe ich nicht so ganz..

In der zweiten Summe wird über alle natürlichen Zahlen summiert, die ausschließlich Primfaktoren $\begin{eqnarray*} \leq x \end{eqnarray*}$ besitzen - und dazu zählen insbesondere auch die Zahlen von 1 bis $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , und selbstverständlich noch viele weitere. Aber diese weiteren sind kein Problem, da dadurch ja nur die Summe größer wird.

Oder kannst du mir eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} \leq x \end{eqnarray*}$ nennen, die einen Primfaktor $\begin{eqnarray*} >x \end{eqnarray*}$ besitzt?

10.09.2012, 16:10

bouni

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Danke für die Antwort smile

m ist ja die Summe aus den Zahlen von 1 bis x und noch viele weitere, und das ist natürlich größer als die Summe der Zahlen von 1 bis x, aber da steht ja der Kehrbruch von beiden.. und ist die Summe der Kehrbrüche von m dann nicht kleiner als die Summe von 1+ 1/2+...1/x? oder versteh ich da was komplett falsch.. :/

10.09.2012, 16:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von bouni
und ist die Summe der Kehrbrüche von m dann nicht kleiner als die Summe von 1+ 1/2+...1/x? oder versteh ich da was komplett falsch.. :/

Auwei - kann es sein, dass du hier Summandwert und Summenwert verwechselst???

Bleiben wir mal bei deinen x=10 und den Primzahlen 2,3,5,7: Du bist dann also der Meinung, dass

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{10} > 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24} + \frac{1}{25} + \frac{1}{27} + \ldots \end{eqnarray*}$

ist, obwohl die rechte Seite alle Summanden der linken Seite und noch mehr enthält???

Es ist doch nicht wichtig, dass das Summenglied $\begin{eqnarray*} m\mapsto \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist, sondern stattdessen, dass dieses Summenglied für alle $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ positiv ist, was demnach die Summe immer weiter wachsen lässt.

10.09.2012, 17:30

bouni

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uiui oh maaann.. ehrlich ich hab meinen Denkfehler einfach nicht weggekriegt und immer gedacht:

wenn m das Produkt aus den Primzahlen kleiner gleich x sein muss, also 2,3,5,7, dann müssen die Produkte dann 6,10,14,15,21,.. sein, und dann wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{14} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{15} \end{eqnarray*}$ .... $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1+ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ..+ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$

Vielen, vielen Dank für die Berichtigung smile

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