Funktion messbar?

10.09.2012, 18:03

bibber

Funktion messbar?

Sei X eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R, \mathbb B \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R, \mathbb B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(\omega)=\begin{cases}0&\omega rational\\1&\omega irrational,\end{cases} \end{eqnarray*}$
so ist $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ messbar.

Untersuchen sie ob X eine messbare Abbildung ist.

Welche Fallunterscheidung muss ich denn machen?
Oder wie gehe ich weiter voran?

10.09.2012, 18:14

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktion messbar?
Wie ist denn eine messbare Funktion definiert? Was ist zu zeigen?

10.09.2012, 19:49

bibber

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Fall, dass die Abbildung nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ geht, muss $\begin{eqnarray*} \{\omega\in\Omega:\chi(\omega)>c\} \end{eqnarray*}$ für jedes [l]c\in\mathbb R[/l

Welche Fallunterscheidungen soll ich denn machen?

10.09.2012, 21:03

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bibber
Im Fall, dass die Abbildung nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ geht, muss $\begin{eqnarray*} \{\omega\in\Omega:\chi(\omega)>c\} \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

Das ist so noch keine Aussage.

Gemeint ist wohl
$\begin{eqnarray*} \left\{\omega\in\Omega:\chi(\omega)>c\right\}\in\mathbb B \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von bibber
Welche Fallunterscheidungen soll ich denn machen?

Due Funktion ist doch über eine Fallunterscheidung definiert, eine Fallunterscheidung nach rationalem/irrationalem Argument liegt doch da nahe

PS: Mal redest du von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , mal von $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ ... was ist gemeint?

12.09.2012, 20:50

bibber

Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe ist:
$\begin{eqnarray*} X(\omega)=\begin{cases}0&\omega \in \mathbb Q \\1&\omega \in \mathbb R /\mathbb Q,\end{cases} \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich eine Zufallsvariable:
So:
$\begin{eqnarray*} \left\{\omega\in\Omega:X(\omega)>c\right\}\in\mathbb B \end{eqnarray*}$

So wie löse ich nun diese Aufgabe

Für Tipps wäre ich dankbar.

Vielen Dank im Voraus!

12.09.2012, 21:07

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau ist jetzt Deine Frage?
Ja, Du musst zeigen

Zitat:

Original von bibber
$\begin{eqnarray*} \left\{\omega\in\Omega:X(\omega)>c\right\}\in\mathbb B \end{eqnarray*}$

...für alle $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und die Borelsche $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} \mathbb B \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Welche Möglichkeiten gibt es denn überhaupt nur für die Mengen $\begin{eqnarray*} \{ X > c \} : = \left\{\omega\in\Omega:X(\omega)>c\right\} \end{eqnarray*}$ ?

12.09.2012, 21:27

bibber

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde jetzt mal sagen:

1. $\begin{eqnarray*} c < 0 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} 0 \leq c < 1 \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} c \geq 1 \end{eqnarray*}$

12.09.2012, 23:42

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist die richtige Fallunterscheidung. Welche Mengen entstehen dabei jeweils?

13.09.2012, 10:22

bibber

Auf diesen Beitrag antworten »

Also für dne ersten Fall ist es so,
dass
$\begin{eqnarray*} \omega \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega \in \mathbb R /\mathbb Q \end{eqnarray*}$

Für den zweiten Fall ist es so, dass
$\begin{eqnarray*} \omega \in \mathbb R /\mathbb Q \end{eqnarray*}$

Und im dritten Fall ist es die leere Menge.

13.09.2012, 22:01

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt, wobei man den ersten Fall noch etwas sinnvoller zusammenfassen könnte und für das mengentheoretische Komplement $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$ schreiben sollte:

code:
1:	\mathbb R \setminus \mathbb Q

Warum ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nun messbar? (Und aus dem gleichen Grund jede andere charakteristische Funktion einer Lebesgue-messbaren Menge?)

Neue Frage »

Antworten »

Funktion messbar?

Verwandte Themen