Ring der konvergenten Potenzreihen: diskreter Bewertungsring

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11.09.2012, 11:32	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ring der konvergenten Potenzreihen: diskreter Bewertungsring Hallo, ich möchte zeigen, dass der Ring der konvergenten Potenzreihen $\begin{eqnarray} \mathbb{C}\{z\} = \{ \sum_{j=0}^{\infty} a_jz^j \| \exists r > 0: \sum_{j=0}^{\infty} a_jz^j \text{ konvergiert für } \|z\| < r \} \end{eqnarray}$ ein diskreter Bewertungsring ist. Dazu bezeichne $\begin{eqnarray} K := Quot(\mathbb{C}\{z\}) \end{eqnarray}$ den Quotientenkörper des Ringes der konvergenten Potenzreihen. Ich brauche jetzt eine surjektive Abbildung $\begin{eqnarray} v: K^ \to \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , die ein Gruppenhomomorphismus ist und für die gilt $\begin{eqnarray} v(f+g) \geq \text{min}(v(f),v(g)) \end{eqnarray}$ . Nun die Frage: wie könnte ich eine solche Abbildung $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ definieren? Grad macht keinen Sinn, da es sich ja um Potenzreihen und somit um unendliche Summen handelt... wenn ich $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ mit dem Konvergenzradius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray*}$ in Zusammenhang bringe, dann habe ich erstens keine Abbildung in die ganzen Zahlen und zweitens wäre sie nicht surjektiv, da ein Konvergenzradius immer positiv ist. Ich stehe vermutlich nur auf dem Schlauch. Würde mich aber trotzdem über eine kleine Hilfe freuen und bedanke mich dafür schon einmal im Voraus. Viele Grüße
11.09.2012, 11:42	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Tipp, der dir vielleicht weiterhilft, aber nicht alles löst, weil er die Bewertung noch nicht explizit angibt (ok, eigentlich schon...): Ein diskreter Bewertungsring ist ein lokaler Ring, d.h. er hat genau ein maximales Ideal. Hast du eine Idee, welches Ideal das sein könnte? Frage dich dazu, welche Elemente des Rings invertierbar sind.
11.09.2012, 11:58	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und Danke für deine Antwort. In diesem Ring sollten genau die Elemente invertierbar sein, für die $\begin{eqnarray} a_0 \neq 0 \end{eqnarray}$ gilt. Wenn ich also ein maximales Ideal möchte, dann muss das von einem Element erzeugt sein, für das $\begin{eqnarray} a_0 = 0 \end{eqnarray}$ gilt, sonst wäre die Potenzreihe eine Einheit und somit das Ideal der ganze Ring. Ich könnte mir also vorstellen, dass das maximale Ideal durch sowas wie $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{\infty}z^j = \frac{1}{1-z}-1 \end{eqnarray}$ erzeugt wird, richtig sicher bin ich mir aber hier auch nicht... Muss da noch mal drüber nachdenken.
11.09.2012, 12:05	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit $\begin{eqnarray} a_0 \neq 0 \end{eqnarray}$ stimmt. Aber es ist einfacher als du denkst. Wenn also $\begin{eqnarray} a_0=0 \end{eqnarray}$ ist, dann betrachten wir $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^\infty a_j z^j \end{eqnarray}$ und wie kann man diesen Ausdruck faktorisieren?
11.09.2012, 12:29	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann offensichtlich (mindestens) ein $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ausklammern und hat dann ein Produkt aus $\begin{eqnarray} z \cdot \text{Einheit} \end{eqnarray}$ (vorausgesetzt $\begin{eqnarray} a_1 \neq 0 \end{eqnarray}$ ). Demzufolge müsste das maximale Ideal $\begin{eqnarray} (z) \end{eqnarray}$ sein. Wenn das stimmt, dann hätte ich eine Idee, worauf du hinaus möchtest. Aber mal schauen, vielleicht irre ich mich ja.
11.09.2012, 12:36	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Man hat nicht unbedingt $\begin{eqnarray} z\cdot \text{Einheit} \end{eqnarray}$ , aber ja, das maximale Ideal ist $\begin{eqnarray} (z) \end{eqnarray}$ .
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11.09.2012, 12:42	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann gilt offensichtlich $\begin{eqnarray} (z) \supset (z^2) \supset (z^3) \supset ... \end{eqnarray}$ , was mich dazu führt, zu setzen: $\begin{eqnarray} v(f) := \text{min}\{j \in \mathbb{N} \| a_j \neq 0 \} \end{eqnarray}$ Die Erweiterung von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} K^ \end{eqnarray}$ erhält man dann durch $\begin{eqnarray} v(fg^{-1}) = v(f) - v(g) \end{eqnarray*}$ . Ist das richtig?
11.09.2012, 12:47	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, auf $\begin{eqnarray} K^ \end{eqnarray}$ kann man aber auch direkt $\begin{eqnarray} v(f):=\min\{ j \in \mathbb{Z} ~\|~ a_j \neq 0\} \end{eqnarray*}$ setzen.
11.09.2012, 12:48	Slash123	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, danke dir für deine (gute) Hilfe.

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