Drehwinkel einer Drehmatrix

11.09.2012, 12:29	Soral	Auf diesen Beitrag antworten »
Drehwinkel einer Drehmatrix Hallo Leute, habe soeben den Drehwinkel ( $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ) folgender Matrix berechnen wollen $\begin{eqnarray} A := \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So habe $\begin{eqnarray} det(A) = 1 \end{eqnarray}$ raus dementsprechend ist es eine einfache Drehung um die Drehachse $\begin{eqnarray} d=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (Eigenvektor zum EW 1) Nun kommt mein Problem. Soweit ich weiss muss ich mit Hilfe eines Basiswechsel und der "Sinus-Kosinus-Form" den Winkel erkennen können richtig? Wenn ich das jedoch mache mit folgender Basis S mache, $\begin{eqnarray} S:=\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} \end{pmatrix} \} \end{eqnarray}$ so erhalte ich nach Basiswechsel in die ONB S folgende Gestalt der Drehmatrix $\begin{eqnarray} A_{S}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -0,5 & 0,75 \\ 0 & -1 & -0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Was bedeutet das dann für meinen Drehwinkel?? Ich meine theoretisch wäre ja nach $\begin{eqnarray} \cos^{-1}(-0,5)= \dfrac{2 \pi }{3} = \varphi \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} sin(\dfrac{2 \pi}{3}) = 0,866 \end{eqnarray}$ Kann mir Jemand bitte helfen, weiss echt nicht was da schief gelaufen ist... MfG Soral
12.09.2012, 09:51	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Drehwinkel gibts eine fertige Formel. Man kann sich aber auch ohne deren Kenntnis durch folgende einfache Überlegung helfen: ------------ Dein Eigenvektor $\begin{eqnarray} \vec d=(1\|-1\|1) \end{eqnarray}$ ändert sich bei der Drehung nicht, also $\begin{eqnarray} D\vec d=\vec d \end{eqnarray}$ . Deshalb kann man $\begin{eqnarray} \vec d \end{eqnarray}$ als Drehachse eines Rades interpretieren, die sich ebenfalls bei einer Drehung nicht ändert. Offenbar steht der Vektor $\begin{eqnarray} \vec s=(1\|1\|0) \end{eqnarray}$ senkrecht auf dieser Achse und kann somit als "Speiche des Rades" interpretiert werden. Nach der Drehung hat diese "Speiche" $\begin{eqnarray} \vec s \end{eqnarray}$ die Position $\begin{eqnarray} D\vec s=(0\|-1\|-1) \end{eqnarray}$ . Der Drehwinkel ergibt sich aus der Definition des Skalarproduktes wie folgt $\begin{eqnarray} \cos(\phi)=\tfrac{\vec s\cdot D\vec s}{\|\vec s\|\cdot \|D\vec s\|}=-\tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$
12.09.2012, 10:07	EinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehwinkel einer Drehmatrix @Soral das Problem bei deinem Lösungsweg ist, dass deine Basis $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ nicht orthonormal ist - die Vektoren haben nicht die Länge 1
12.09.2012, 11:59	Soral	Auf diesen Beitrag antworten »
@EinGast: Ja das mit der Basis S, dass die nicht normiert ist, habe ich heute morgen auch noch gesehen, aber auch nach normierung kommt ein Widerspruch. @Ehos: Danke

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