LGS mit Gauß lösen

11.09.2012, 18:10

svenhk1990

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LGS mit Gauß lösen

Leider ist hier noch eine weitere Aufgabe bei der ich nicht zum Ergebnis komme:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2x & y & 4z \\ 6x & & z \\ & 3y & 11z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nachdem ich Gauß angewandt habe siehts so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 & 9\\ 0 & -3 & -11& -19\\ 0 & 0 & 0 &0\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich, dass es unendlich viele Lösungen gibt.
Aber wie rechne ich x,y,z aus?
In einem anderen Beitrag hab ich etwas gefunden mit einem Faktor der eingefügt wird!?
traurig

traurig

traurig

11.09.2012, 21:50

Dopap

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dein System besteht nun aus 2 Gleichungen in x,y,z , das sind Ebenen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

die Schnittmenge ist eine Gerade. Du kannst nicht nach allen 3 Variablen zugleich auflösen, eine davon sollte als Parameter dienen.

Etwa so: sei z=z beliebig aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

dann sind x und y Funktionen von z.

zum Beispiel: $\begin{eqnarray*} g=\{(x,y,z) \in \mathbb R^3 | x=5-3z~\land ~ y=33+5z ~\land ~ z\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

12.09.2012, 14:35

svenhk1990

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Okay also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe,
löse ich die Gleichungen in den noch vorhandenen Zeilen nach z.B x und y auf.
In diesen Gleichungen lasse ich z als (Variabele stehen).

Sieht nun so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{9}{2}-\frac{19-z}{6} \\ \frac{19-11z}{3} \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt hängt es bei mir noch etwas wenn ich auf die Lösung meines Profs. schaue:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4\\ 19 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} -22 \\ -1\\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das scheint mir jetzt als müsste ich meine Lösung noch irgendwie "aufteilen" Orts und Richtungsverktor?

12.09.2012, 15:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von svenhk1990
Sieht nun so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{9}{2}-\frac{19-z}{6} \\ \frac{19-11z}{3} \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mir scheint, du hast in der x-Komponente einen Vorzeichenfehler.

Zitat:

Original von svenhk1990
Jetzt hängt es bei mir noch etwas wenn ich auf die Lösung meines Profs. schaue:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4\\ 19 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} -22 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese müßte aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4\\ 19 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} -1 \\ -22 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lauten.

Zitat:

Original von svenhk1990
Das scheint mir jetzt als müsste ich meine Lösung noch irgendwie "aufteilen" Orts und Richtungsverktor?

Richtig.

12.09.2012, 15:38

svenhk1990

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Okay dann sehe ich nochmal nach.
Danke erstmal!!! Freude

Freude

Ähmmm wie teile ich das den in Orts bzw. Richtungsvektor auf???

12.09.2012, 16:34

svenhk1990

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Hab einen Fehler gefunden. Nun siehts so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{9}{2}-\frac{(19-23z)}{6} \\ \frac{19-11z}{3} \\ z\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Allerding stört mich die 23 wo in der Lösung doch eine 22 steht,....
Ich hoffe ich hab mich nicht wieder verrechnet!
Nun müsste ich (falls es richtig ist) noch in die andere Form umwandeln verwirrt

verwirrt

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12.09.2012, 18:29

Dopap

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deine "Matrix" mit Brüchen ist schlecht lesbar. Und evtl. ein $\begin{eqnarray*} \vec x = \end{eqnarray*}$ davor setzen.
Nach Gauss ( Diagonalform ) komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} 6x+z=8<br /> 6y+22z=38 \end{eqnarray*}$ , was der Lösung zufällig entspricht. Die Parameterform der Geraden gestattet vielfältig verschiedene Schreibfiguren.

Apropo Prof: auch die verdrehen mal 2 Zahlen.
Nochmal nachrechnen.

12.09.2012, 18:42

svenhk1990

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Habs gerade nachgerechnet.
Komme wieder auf das gleich Ergebnis wie zuvor.
Ich habe meine "obere Dreiecksform" zu beginn einmal dargestellt.
Ist dort etwa schon was schief gelaufen?
Ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} 2x+y+4z=9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3y-11z=-19 \end{eqnarray*}$

Das ist der Ansatz den ich nach "Gauß" zur Lösung genutzt habe. unglücklich

unglücklich

12.09.2012, 19:16

Dopap

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Zitat:

Original von svenhk1990

1.) $\begin{eqnarray*} 2x+y+4z=9 \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} -3y-11z=-19 \end{eqnarray*}$

Das ist der Ansatz den ich nach "Gauß" zur Lösung genutzt habe. unglücklich

unglücklich

Das ist Gauss-Jordan, führt aber wieder auf Brüche, besser
nochmal eliminieren:

$\begin{eqnarray*} L_1:=3L_1+L_2 \end{eqnarray*}$ , dann ist die Diagonalform erreicht.

12.09.2012, 19:32

svenhk1990

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Moment, ich habe garnicht den Gauß angewendet den du meinst?
Ich bin bisher nur mit diesem in Kontakt gekommen.
Ist meine Lösung dann jetzt komplett falsch? oder anders berechnet?

12.09.2012, 19:42

Dopap

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nur die Ruhe! was du Gauss nennst, nenne ich Gauss-Jordan.

Der Befehl im Schultaschenrechner ist "ref"

( reduced echolon form ): Stufen-Staffelform

Der Gauss ist für mich ist im Schulrechner "rref"

( row reduced echolon form ): Diagonalform.

alles in Ordnung. Führe nun die vorgeschlagene Zeilenoperation durch und aus

Gauss-Jordan wird Gauss oder aus "ref" wird "rref"

13.09.2012, 14:41

svenhk1990

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Okay,

jetzt kann ich nur L1 bzw. L2 nicht klar für die Umwandlung zuordnen.
Ist L1 mein erster noch in der Gleichung verbliebener Koeffizient?

14.09.2012, 00:03

Dopap

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Line 1.) $\begin{eqnarray*} 2x+y+4z=9 \end{eqnarray*}$
Line 2.) $\begin{eqnarray*} -3y-11z=-19 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_1:=3L_1+L_2 \end{eqnarray*}$ , dann ist die Diagonalform erreicht.

L= Line ( Zeilen !)

Das ist die Kurzform für eine Zeilenoperation:

Ersetze Zeile 1 durch die Summe aus dem 3-fachen von Zeile 1 und der Zeile 2.

dachte, dass das klar sein müsste.sorry.

14.09.2012, 15:23

svenhk1990

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Erklärt mich jetzt bitte nicht für total bescheuert, aber wende ich diese Umformung nur für die erste Zeile an oder auch für die zweite nochmal?
Auf eines der Ergebnisse komme ich damit jetzt auch. Das zweite sieht für mich nach meiner zweiten Formal * -2 aus!?

14.09.2012, 18:31

Dopap

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Zitat:

Original von svenhk1990
[...] aber wende ich diese Umformung nur für die erste Zeile an oder auch für die zweite nochmal?

Ich kann nur eine Anweisung entdecken.

Zitat:

Auf eines der Ergebnisse komme ich damit jetzt auch. Das zweite sieht für mich nach meiner zweiten Formal * -2 aus!?

Na endlich! Was das zweite sein soll, ist mir mangels Hinweisen unklar.

15.09.2012, 08:52

svenhk1990

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Ich verstehe, dass du mit 3L_1+L_2 auf: $\begin{eqnarray*} 6x+z=8 \end{eqnarray*}$ kommst.
Aber wie du auf: $\begin{eqnarray*} 6y+22z=38 \end{eqnarray*}$ kommst ist mir mir der aufgeführten Anweisung unklar.

15.09.2012, 20:23

Dopap

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muss dann irgendwo mal Zeile 2 mit -2 multipliziert haben.

Aber nur in einer früheren post. Und wenn schon.

Die Lineare Abhängigkeit ist doch offensichtlich.

16.09.2012, 12:18

svenhk1990

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Das ist für mich als Anfänger sehr unklar.
"Irgendwo" die 2. Zeile mit -2 multipliziert,...
Wo warum? und wovon ist es abhängig? von sich selbst?
Das ist doch ein Teil der Lösung oder etwa nicht?

16.09.2012, 20:42

Dopap

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RE: LGS mit Gauß lösen

Zitat:

Original von svenhk1990
Leider ist hier noch eine weitere Aufgabe bei der ich nicht zum Ergebnis komme:

Nachdem ich Gauß angewandt habe siehts so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 & 9\\ 0 & -3 & -11& -19\\ 0 & 0 & 0 &0\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Das war deine erste Post. Dann hatte ich später noch L1:=3L1+L2 empfohlen was auf

1.) 6x+z=8
2.) -3y-11z=-19 führt.

Irgendwo in der Mitte sprach ich auch mal von

1.) 6x+z=8
2.) 6y+22z=38 warum weiss ich nicht mehr. Wo ist da der Unterschied?

Die zweiten Zeilen unterscheiden sich doch nur um den Faktor -2. ( sind daher linear abhängig )

17.09.2012, 14:31

svenhk1990

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Jaaaaa jetzt kann ich schon mehr nachvollziehen!

Ich möchte es dabei jetzt aus belassen, da ich morgen meine Klausur im Mathe schreibe und mich jetzt nicht mehr unnötig verrückt machen will.
Ich dank Dir aber recht herzlich für deinen Tipps und Anregungen.
Hast mich ein ganzes Ende weiter gebracht! Freude

Freude

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