Inverse Matrix

02.02.2007, 21:47

begbie

Inverse Matrix

Hallo, komme bei einer Aufgabe nicht weiter.
Und zwar sollen wir von dieser Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & a+10 & -6 \\ -1 & -2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die inverse Matrix bilden. Das Verfahren mit der Einheitsmatrix auf der rechten Seite ist mir klar, allerdings weiß ich nicht was ich mit dem a+10 anfangen soll, da an dieser Stelle ja eine Null auf der linken Seite erscheinen soll.

Weiß jemand wie man da vorgeht?

02.02.2007, 22:37

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das a+10 ist auch nur eine Zahl. Du rechnest damit während dem Algorithmus genau so wie du es auch mit den anderen machst. Einfach durch Zeilenoperationen auf Diagonalform bringen

02.02.2007, 22:58

begbie

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OK, so habe ich es auch gemacht, dass heißt ich habe die +10 einfach in die Berechnungen mit einbezogen. Was ich allerdings immer noch nicht verstehe ist wie ich aus der a+10 dann die benötigte 0 mache?

Hier mein erster Schritt (ohne die Einheitsmatrix zu posten):

- Pivotelement die 1 oben links
- mal -2 mit 2. Zeile
- addiert mit 3. Zeile ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & a+12 & -4 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie nun weiter? Nehme ich jetzt die a+12 als Pivot und rechne mal 0?
Brauche mal noch einen kleinen Denkanstoß ...

02.02.2007, 23:01

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an der a+12 musst du dich gar nicht orientieren. Die ist eines der Diagonalelemente, die nicht 0 werden sollte! Nächster Schritt wäre die -3 in der 3. Zeile zu eliminieren. Danach machst du das gleiche überhalb der Diagonale.

02.02.2007, 23:32

begbie

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OK, hab das Verfahren wohl doch nicht ganz verinnerlicht, da ich mich irgendwie verfranzt habe!

Also 2. Schritt:

- erste Zeile mal -3 und zur dritten Zeile addiert ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & a+12 & -4 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3. Schritt:

- dritte Zeile zur zweiten addiert und dividiert durch 4 zur ersten addiert ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & a+12 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auch auf die Gefahr hin, dass ich mich total blöd anstelle, wie komme ich nun weiter?

02.02.2007, 23:38

kiste

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Durch a + 12 teilen, dafür musst a /= -12 sein also ist sie nur für a /= -12 invertierbar

02.02.2007, 23:40

Bjoern1982

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Zitat:

- erste Zeile mal -3 und zur dritten Zeile addiert ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & a+12 & -4 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann wird aber aus der 0 links unten eine -3
Deshalb bringt diese Umformung nichts.

Um die zweite null in der 3. Zeile zu erzeugen muss man schon die zweite und dritte Zeile benutzen.

Trau dich ruhig und rechne 3*II+(a+12)*III smile

Gruß Björn

03.02.2007, 00:38

begbie

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Klingt nicht schlecht, ich hab mich mal getraut Freude

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 3a+36 & -12 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Naja, jetzt ist unten zwar eine Null aber auch das a, welches mich zusätzlich irritiert. Habe ich den besagten Rechenschritt überhaupt richtig verstanden?

03.02.2007, 12:09

klarsoweit

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Soweit ok, wobei du im Hinterkopf behalten mußt, daß die Umformung nur geht, wenn a<>-12 ist. Jetzt mußt du noch 2 Fälle untescheiden: a=0 und a<>0.

03.02.2007, 13:11

bounce

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Hey, hattet ihr schon Determinanten ?

Ich glaube damit würde es schneller gehen die Inverse zu bestimmen, kann mich aber auch irren.

03.02.2007, 16:55

klarsoweit

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Zitat: