Lineare Abhängigkeit von Vektoren

11.09.2012, 21:33

ordnas

Lineare Abhängigkeit von Vektoren

Meine Frage:
Hallo alle zusammen!
Ich habe mit folgender Aufgabe ein Problem:
Sind die Vektoren v1 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , v2 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und v3 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ linear abhängig?
Dabei ist mein Hauptproblem, dass ich nicht weiß wie ich mit 4-dimensionale Spaltenvektoren umzugehen habe.

Meine Ideen:

Bei 3-dimensionalen kann man ja Gauß oder ein LGS anwenden, aber irgendwie funktioniert das ja hier nicht. Ich weiß das sie linear abhängig sind, da mein Prof es folgender Maßen aufgezeigt hat:

a=2 ;b=1; c=3

a $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + b $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + c $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nun addiert man (v1 * a) und (v2 * b) und addiert das Ergebnis mit (v3 * c) und man hat eine wahre Aussage und die Vektoren sind somit linear abhängig. Ich versteh aber einfach nicht wie er auf die Werte für die Variablen kommt. Muss man das einfach ausprobieren und gucken oder, was wahrscheilicher ist, gibt es da einen "vernünftigen" Lösungsweg?
Ich danke vielmals im Vorraus für eure Hilfe!

MfG
ordnas

11.09.2012, 21:40

lgrizu

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RE: Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Was ist denn die Definition von linearer abhängigkeit bzw. unabhängigkeit?

Dann kann man ein LGS aufstellen, das ist in diesem Fall überbestimmt und dieses Lösen.

Also mache dich einmal daran, dein LGS zu lösen, wo haperts?

11.09.2012, 23:24

ordnas

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RE: Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Erst einmal danke für die schnelle Antwort!

Naja linear abhängig bedeutet doch so viel wie, das die Vektoren Parallel bzw. das sie in der selben Ebene liegen sind. Man kann quasi den einen durch den anderen darstellen oder erzeugen(z.B. ist er ein vielfaches von den anderen).
Wenn linear unabhängig, dann verlaufen die Vektoren irgendwie im Raum, der eine ist also vom anderen unabhängig.

Also wenn ich mein LGS nach den Variablen auflösen möchte, dann ist a = 2b und c = 3b. Problem ist jetzt das wenn ich das wieder einsetze 0 = 0 erhalte und keine Variable ausrechnen kann.
Ich weiß echt nicht wo mein Poblem liegt oder ob ich irgendwo aufm Schlauch stehe...

12.09.2012, 09:46

lgrizu

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RE: Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Wir befinden uns in der HS, in der Schule hätte man das so durchgehen lassen können, aber die HS nutzt eindeutige Definitionen.

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur trivial darstellen lässt.

Das ist sicherlich äquivalent dazu, dass, wenn sich mindestens ein Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt, diese Menge linear abhängig ist.

Wenn man nicht sofort sieht, dass $\begin{eqnarray*} 2 \cdot v_1+v_2+3 \cdot v_3=\vec{0} \end{eqnarray*}$ sollte man das LGS lösen.

Lösen wir also einmal das LGS

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-2&0&|0 \\ -2&1&1&|0\\-1&2&0&|0\\2&-1&-1&|0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Addieren wir die erste zu der dritten Zeile und die zweite zu der vierten Zeile erhalten wir

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&-2&0&|0 \\ -2&1&1&|0\\0&0&0&|0\\0&0&0&|0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, nun standardmäßig weiter, eine Unbekannte parametrisieren usw....

13.09.2012, 01:53

ordnas

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RE: Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Hallo da bin ich wieder...hat ein bisschen gedauert sorry Wink

Also unter trivial versteh ich jetzt, dass die Variablen = 0 gesetzt werden können und somit die unabhängigkeit bewiesen werden kann.

Allerdings muss ich nun auch versuchen das Gegenteil zu beweisen, sprich: ich muss eine nicht-triviale Lösung finden, also a, b, c $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0.
Ich hoffe, dass ich das jetzt richtig verstanden habe...

Eins versteh jetzt aber nochnicht und zwar was du mit "Unbekannte parametrisieren" meinst?! Ich weiß da leider nich was ich darunter verstehen soll...
Wär dir echt dankbar, wenn du mir da nochmal weiterhelfen kannst.

Mfg

13.09.2012, 02:31

lgrizu

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RE: Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Setze $\begin{eqnarray*} b=\lambda \end{eqnarray*}$ und stelle alle Unbekannten in Anhängigkeit von lambda dar.

13.09.2012, 23:08

ordnas

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RE: Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Also ich bekomm jetzt a = 2 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und für c = 3 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ raus, was ja der Lösung entspricht.
Aber zum Verständnis, Lambda kann man jetzt für jede Variable ( a, b,c ) einsetzen?
Und was macht Lambda eigentlich mit der Gleichung? Da man es ja anschließend einfach weglassen kann.
Irgendwie brauch ich noch eine wörtliche Erklärung, um es endgültig zu kapieren.

14.09.2012, 08:42

klarsoweit

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RE: Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Lambda ist einfach nur ein Parameter, in den du beliebige Werte einsetzen kannst und dadurch jedesmal eine Lösung erhältst. In meinen Augen läßt sich die Fragestellung der linearen (Un)Abhängigkeit viel eleganter lösen:

Schreibe die betreffenden Vektoren zeilenweise in eine Matrix und bringe sie auf Zeilenstufenform. Entsteht dabei eine Nullzeile, dann sind die Vektoren linear abhängig, ansonsten nicht.

14.09.2012, 14:29

lgrizu

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RE: Lineare Abhängigkeit von Vektoren
@klarsoweit:

Es ging doch gar nicht um die Frage, ob sie linear abhängig sind sondern darum, wie die Linearkombination ausgerechnet werden kann, die den Nullvektor darstellt.

Zitat:

Ich versteh aber einfach nicht wie er auf die Werte für die Variablen kommt. Muss man das einfach ausprobieren und gucken oder, was wahrscheilicher ist, gibt es da einen "vernünftigen" Lösungsweg?

@ordnas

Das ist die Lösung, $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Also alle Vielfachen dieses Vektors lösen das LGS. Für lambda=1 erhälst du die angegebene Lösung, mögliche Lösungen ergeben aber auch $\begin{eqnarray*} \lambda=5 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda=\pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda= \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ etc...

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