Symmetrische Matrix orthogonal

12.09.2012, 18:26

Kjuh

Symmetrische Matrix orthogonal

Hallo,
warum ist eine reell-symmetrische Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , bei der alle Eigenwerte entweder $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ sind, orthogonal.

Ich weiß einfach nicht wie ich anfangen soll,
mir ist klar das $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar ist, da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ reell-symmetrisch ist.
Kann man irgendwie so argumentieren das, wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nur die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ haben muss, das dann $\begin{eqnarray*} det(A) = \pm 1 \end{eqnarray*}$ ist? Weil dann wäre $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ja orthogonal.
Nur wie zeige ich das die Determinante nur $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ ist.
Kann mir jemand helfen?

LG Kjuh

12.09.2012, 18:31

jester.

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Argumentiere wie folgt: reelle symmetrische Matrizen sind nicht nur diagonalisierbar, sondern? Ferner ist eine Diagonalmatrix mit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ auf der Diagonalen, orthognal. Was folgt also insgesamt?

12.09.2012, 18:39

Kjuh

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Sie sind auch normal.
Oder meinst du etwas anderes?
Wenn die Matrix normal ist, dann gibt es eine unitäre Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A = S D S^T \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ die Diagonalmatrix mit $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ ist.
Aber jetzt stehe ich vor dem Problem das ich das $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ nicht habe?
Oder versteh ich was falsch?

12.09.2012, 18:44

jester.

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Ich wollte auf folgende Aussage hinaus: Ist $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb{R}^{n\times n} \end{eqnarray*}$ symmetrisch, so existiert ein $\begin{eqnarray*} T \in O_n ( \mathbb{R} ) \end{eqnarray*}$ (orthogonale Gruppe vom Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ), sodass $\begin{eqnarray*} T^{tr}AT \end{eqnarray*}$ in Diagonalgestalt ist.

Ist nun die Diagonalmatrix auch orthogonal, so wie im vorliegenden Fall, was folgt dann für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?

Ansonsten hast du zwar recht, dass in einem unitären Vektorraum normale Endomorphismen unitär diagonalisierbar sind, aber das hat man hier ja gar nicht vorliegen, insbesondere ist die analoge Aussage (à la normale Endomorphismen sind orthogonal diagonalisierbar) in Euklidischen Vektorräumen nicht richtig. Einfach nur aus dem Gedächtnis und ohne das nachgerechnet zu haben, meine ich, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0&-1 \\ 1&0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ dafür ein Gegenbeispiel war.

Edit: Ok, das ist natürlich in der Tat ein Gegenbeispiel, nachzurechnen ist da nichts. Big Laugh

12.09.2012, 18:59

Kjuh

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wissen tue ich es nicht, also rate ich ^^
A ist dann auch orthogonal?
Wieso ist die Diagonalmatrix jetzt orthogonal?

12.09.2012, 19:02

jester.

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Na ja, wenn die Diagonalmatrix auch orthogonal ist, dann ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ das Produkt dreier orthogonaler Matrizen und somit selbst orthogonal.

Warum ist die Diagonalmatrix orthogonal? Dazu: Wie verhalten sich Diagonalmatrizen unter Transposition? Wie werden Diagonalmatrizen miteinander multipliziert? Und was ist das Quadrat von $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ? Die letzte Frage ist natürlich die einfachste, die anderen sind aber auch nicht schwer. Und wenn du alle drei Fragen beantworten kannst, weißt du, warum die Diagonalmatrix orthogonal ist.

12.09.2012, 19:17

Kjuh

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Oh...
so offensichtlich das ich es nicht gesehen habe...peinlich..
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe ^^

14.09.2012, 11:56

Micha1234

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Eine kleine Frage wegen jesters aussage

Ist $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R^{n x n} \end{eqnarray*}$ symmetrisch,
so existiert ein (orthogonale Gruppe vom
Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ,
sodass $\begin{eqnarray*} T^tr A T \end{eqnarray*}$ in Diagonalgestalt ist.

Gilt das nicht nur, wenn die Eigenvektoren zu verschiedenen
Eigenwerten orthogonal sind?
Und laut Bedingung existiert doch nur ein
mehrfacher Eigenwert?

14.09.2012, 12:35

Che Netzer

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Zitat:

Original von Micha1234
Gilt das nicht nur, wenn die Eigenvektoren zu verschiedenen
Eigenwerten orthogonal sind?

Das ist bei symmetrischen Matrizen auch der Fall.
Seien $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ Eigenwerte mit Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt betrachte $\begin{eqnarray*} \langle Ax_1,x_2\rangle \end{eqnarray*}$ .

16.09.2012, 11:00

Micha1234

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Die Bedingung hier lautet doch aber das es nur einen einzigen Eigenwert
gibt ( 1 oder -1), dann können Eigenvektoren doch nicht orthogonal zu verschiedenen Eigenwerten sein,
wenn es nur einen Eigenwert gibt.
Oder?

16.09.2012, 11:31

Che Netzer

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Ich hatte das so verstanden, dass die Eigenwerte jeweils $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ sein müssen, nicht entweder alle $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ oder alle $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ .
Und zu gleichen Eigenwerten kann man ja die Eigenvektoren orthogonal wählen (zur Not Gram-Schmidt anwenden).

16.09.2012, 12:50

Micha1234

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Dann habe ich es anders verstanden.
Nur steht in der Bedingung: entweder alle 1 oder -1. Deshalb finde ich die
Lösungswege seltsam.

16.09.2012, 12:56

Che Netzer

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Da steht "alle entweder 1 oder -1" und nicht "entweder alle 1 oder (alle) -1".

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