Fast sichere Konvergenz

12.09.2012, 20:45

bibber

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Fast sichere Konvergenz

Guten Tag!

Ich habe eine Frage zu der fast sicheren Konvergenz. Die Definition dafür ist ja.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } X_{n} (\omega) = X(\omega) \end{eqnarray*}$ P-f.s.

Bedeutet das:
Falls eine Folge von Zufallsvariablen gegen eine ebenfalls eine Zufallsvariable konvergiert. Heißt die P-f.s.

Wie kann ich nun folgendes Beispiel dann lösen?

$\begin{eqnarray*} X_{n} (\omega)=\begin{cases}\frac{1}{n} &\omega \in \mathbb Q \\2-\frac{1}{n}&\omega \in \mathbb R / \mathbb Q,\end{cases} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für eure Hilfe!

12.09.2012, 21:20

zweiundvierzig

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RE: Fast sichere Konvergenz

Zitat:

Original von bibber
Bedeutet das:
Falls eine Folge von Zufallsvariablen gegen eine ebenfalls eine Zufallsvariable konvergiert. Heißt die P-f.s.

Was bedeutet eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} f = g \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -f.s. für messbare Funktionen denn?

Zitat:

Original von bibber
Wie kann ich nun folgendes Beispiel dann lösen?

$\begin{eqnarray*} X_{n} (\omega)=\begin{cases}\frac{1}{n} &\omega \in \mathbb Q \\2-\frac{1}{n}&\omega \in \mathbb R / \mathbb Q,\end{cases} \end{eqnarray*}$

Das ist leider keine vollständig formulierte Frage. Willst Du einen Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (X_n)_n \end{eqnarray*}$ im Sinne der $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ -f.s.-Konvergenz ausrechnen? Wo sind Deine Ansätze dafür?

12.09.2012, 21:28

bibber

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Zu 1.) Ich habe keine ahnung, habe ich nie im Bachelorstudium bisher durchgenommen.

Zu 2.) Die Frage lautet: Konvergiert die Folge fast sicher?

12.09.2012, 22:12

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von bibber
Zu 1.) Ich habe keine ahnung, habe ich nie im Bachelorstudium bisher durchgenommen.

Nicht schlimm, denn man kann die Frage auch so stellen: Was heißt für Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} X = Y \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ -f.s.?

13.09.2012, 10:27

bibber

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Ich weiß leider nicht worauf du möchtest.

13.09.2012, 10:34

HAL 9000

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Das ist eine einfache Nachfrage, ob du dir überhaupt über den Begriff "P-fast sicher" im klaren bist. "Keine Ahnung" ist da eine schlechte Antwort, das ist eine einfache Definition, die man eben nochmal nachschauen muss!

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17.09.2012, 18:44

bibber

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Ja ich habe mir die Definition angeschaut und verstehe sie für normale Funktionen.

17.09.2012, 18:55

HAL 9000

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Zufallsgrößen sind auch nur normale Funktionen $\begin{eqnarray*} X:\;\Omega\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Und wenn man vom Ereignis $\begin{eqnarray*} [X=Y] \end{eqnarray*}$ spricht, dann steht dahinter nichts weiter als die Teilmenge $\begin{eqnarray*} \left\{ \omega\in\Omega \bigm| X(\omega) = Y(\omega) \right\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

17.09.2012, 19:07

bibber

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Und wie überprüfe ich nun ob eine Folge von Zufallsvariablen P-fast sicher konvergiert

17.09.2012, 19:35

HAL 9000

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Na schau doch einfach mal, für welche $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ die Folge

Zitat:

Original von bibber
$\begin{eqnarray*} X_{n} (\omega)=\begin{cases}\frac{1}{n} &\omega \in \mathbb Q \\2-\frac{1}{n}&\omega \in \mathbb R / \mathbb Q,\end{cases} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ konvergiert!

17.09.2012, 19:39

bibber

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Ich überlege und komme erstmal auf keine Antwort. Würdest du mir noch einen Tipp geben oder für die erste Fallunterscheidung das Resultat sagen?

17.09.2012, 19:41

HAL 9000

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Wahnsinnig lange Leitung...

Dann eben noch weiter aufgedröselt: Betrachte erstmal ein rationales, festes $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , dann hast du die Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} X_n(\omega) = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Konvergiert die nun für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ , oder divergiert sie?

Gleiche Frage dann für irrationales, festes $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , in dem Fall ist es dann die Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} X_n(\omega) = 2-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

17.09.2012, 19:44

bibber

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Also die erste Zahlenfolge konvergiert gegen 0 und die zweite Zahlenfolge gegen 2

17.09.2012, 19:49

HAL 9000

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Na eben. Also konvergiert $\begin{eqnarray*} X_n(\omega) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ . Da ist noch mehr, als für "P-f.s." gefordert ist - da würde nämlich genügen, wenn $\begin{eqnarray*} X_n(\omega) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega\in A \end{eqnarray*}$ konvergiert, wobei $\begin{eqnarray*} P(A)=1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Tatsächlich hast du aber auch gar kein Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ genannt, mit dem man sowas ausrechnen könnte. Wie auch immer, da hier sogar für alle $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ die punktweise Konvergenz vorliegt, ist das ausnahmsweise mal egal.

17.09.2012, 20:01

bibber

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Okay verstehe ich. Was für ne praktische Bedeutung hat das P-f.s. ?

17.09.2012, 20:13

HAL 9000

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Blöde Frage in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Aber wenn du es gar nicht erwarten kannst, dann schau doch bei dem "starken Gesetz der großen Zahlen" vorbei.

17.09.2012, 20:22

bibber

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Nehmen wir mal an dass es diese Folge von Zufallsvariablen nicht P-f.s. konvergiert und ich jetzt prüfen möchte ob sie P-stochastisch konvergiert.

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to \infty} P(| X_{n} - x| \geq c) = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall c > 0 \end{eqnarray*}$

Wie weise ich nun nach ob es P-stochastisch konvergiert ist.

Es tut mir leid, das ich alles nicht so verstehe, aber ich versuche es langsam besser zu verstehen. Also sry für die dummen fragen

17.09.2012, 20:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von bibber (korrigiert)
Nehmen wir mal an dass es diese Folge von Zufallsvariablen nicht P-f.s. konvergiert und ich jetzt prüfen möchte ob sie P-stochastisch konvergiert.

$\begin{eqnarray*} \lim_{{\color{red}n} \to \infty} P(| X_{n} - x| \geq c) = 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall c > 0 \end{eqnarray*}$

Wie weise ich nun nach ob es P-stochastisch konvergiert ist.

Einfach von innen nach außen abarbeiten: Bestimme zunächst für festes $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Menge aller $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} |X_n(\omega)-X(\omega)|\geq c \end{eqnarray*}$ ist. Und dann schau nach, wie sich die Wahrscheinlichkeit dieser Menge für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ verhält.

P.S.: Muss ich jetzt eigentlich jede Formel in Sprache übersetzen oder bemühst du dich auch mal selbst drum? Das ist hier das Hochschulforum.

17.09.2012, 20:34

bibber

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Nein, muss du nicht. Es geht mir eher um Beispiele um die Formel besser zu verstehen.

17.09.2012, 20:37

HAL 9000

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Na hier ist mal ein Beispiel einer stochastisch, aber nicht fast sicher konvergenten Zufallsgrößenfolge:

Schätzer Erwartungswert

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