Diagonalierbarkeit

13.09.2012, 13:48

Gast314

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Diagonalierbarkeit

Hi,
ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} A^k \end{eqnarray*}$ ist die Einheitsmatrix, wobei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ komplex und quadratisch ist und $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Warum ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ dann diagonalisierbar?

Die Einheitsmatrix ist diagonalisierbar, aber wie mache ich weiter?
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.

13.09.2012, 14:29

SinaniS

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RE: Diagonalierbarkeit
Hast du schon einen Widerspruchsbeweis versucht? Und was weisst du alles ueber die Jordan-Normalform?

13.09.2012, 15:36

tmo

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Ich würde mir mal das Minimalpolynom von A angucken...

13.09.2012, 15:54

Gast314

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Nein, ein Widerspruchsbeweis habe ich nicht probiert.

Also wenn die Einheitsmatrix das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} X-1 \end{eqnarray*}$ hat, muss mein A laut der Aufgabe dann das gleiche Minimalpolynom haben?
Und was sagt mir das dann?
Danke für eure Hilfe

13.09.2012, 15:56

tmo

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Wenn A auch das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} X-1 \end{eqnarray*}$ hätte, wäre A ja schon die Einheitsmatrix...

Aber du weißt doch: $\begin{eqnarray*} A^k-E=0 \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet das für das Minimalpolynom?

13.09.2012, 16:12

Gast314

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Peinlich, aber ich weiß es nicht.

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13.09.2012, 16:14

tmo

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Du weißt aber, wie man eine Matrix in ein Polynom einsetzt?

Z.b. A in $\begin{eqnarray*} x^3+x^2-1 \end{eqnarray*}$ einsetzen.

13.09.2012, 16:22

Gast314

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Ja, wie das geht weiß ich.
Nur verstehe ich nicht worauf du hinaus willst.
Stelle mich grad etwas an, glaube ich.

13.09.2012, 16:25

tmo

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Dann setz mal A in $\begin{eqnarray*} x^k-1 \end{eqnarray*}$ ein. Was kommt raus?

13.09.2012, 16:27

Gast314

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$\begin{eqnarray*} A^k - E \end{eqnarray*}$
oder?

13.09.2012, 16:30

tmo

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Und was ist das in unseren konnkreten Fall?

13.09.2012, 16:34

Gast314

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$\begin{eqnarray*} A^k-E=0 \end{eqnarray*}$ Sagtest du bereits? Also was meinst du dann?

13.09.2012, 16:45

tmo

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Siehst du den Zusammenhang zum Minimalpolynom noch nicht?

Wir haben $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in das Polynom $\begin{eqnarray*} x^k-1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt und es kam 0 raus...

13.09.2012, 16:51

Gast314

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Dann lehne ich mich mal jetzt weit aus dem Fenster ^^
$\begin{eqnarray*} x^k-1 \end{eqnarray*}$ ist das Minimalpolynom zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?

13.09.2012, 16:54

tmo

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Fast. Wir wissen erstmal nur, das das Minimalpolynom von A ein Teiler von $\begin{eqnarray*} x^k-1 \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt zurück zum eigentlichen Thema: Was hat denn das Minimalpolynom mit Diagonalisierbarkeit zu tun?

13.09.2012, 16:56

Gast314

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$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist genau dann diagonalisierbar wenn das zugehörige Minimalpolynom in lauter verschiedene Linearfaktoren zerfällt.

13.09.2012, 16:58

tmo

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Und wie sieht es diesbezüglich bei $\begin{eqnarray*} x^k-1 \end{eqnarray*}$ aus?

13.09.2012, 17:00

Gast314

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Das tut es nicht?!?

13.09.2012, 17:04

tmo

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Wie kommst du darauf? Dann müsstest du mir ja eine Nullstelle angeben können, die doppelt auftaucht...

13.09.2012, 17:06

Gast314

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Als Nullstelle taucht nur die 1 auf, richtig?

13.09.2012, 17:09

tmo

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Wir sind doch in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ...

13.09.2012, 17:17

Gast314

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Ja, aber $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ würde doch nur gelten wenn $\begin{eqnarray*} k = 0 \end{eqnarray*}$ und ich darf k doch nicht einschränken? oder?

13.09.2012, 17:43

tmo

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Hast du schonmal von Einheitswurzeln gehört?

Oder kennst du irgenein Kriterium, dass die Separabilität von Polynomen liefert?

13.09.2012, 17:52

Gast314

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Einheitswurzeln kenne ich ja, habe ich aber nicht dran gedacht.
Die Einheitswurzel ist die Nullstelle vom Polynom $\begin{eqnarray*} x^k-1 \end{eqnarray*}$

Ein Kriterium kenne ich nicht.

13.09.2012, 17:55

tmo

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Zitat:

Original von Gast314
Die Einheitswurzel ist die Nullstelle vom Polynom $\begin{eqnarray*} x^k-1 \end{eqnarray*}$

Und wie viele verschiedenen k-ten Einheitswurzeln gibt es? Was beudetet das für das Polynom $\begin{eqnarray*} x^k-1 \end{eqnarray*}$ ? Und was bedeutet das für das Minimalpolynom von A?

13.09.2012, 18:01

Gast314

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k verschieden Einheitswurzeln
Polynom $\begin{eqnarray*} x^k-1 \end{eqnarray*}$ zerfällt in k verschiedene Linearfaktoren
Das Minimalpolynom von A ist gleich $\begin{eqnarray*} x^k-1 \end{eqnarray*}$

13.09.2012, 18:25

tmo

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Zweimal Ja. Das letzte ist aber falsch. Das hatten wir doch schon.

Wir wissen nur, dass das Minimalpolynom ein Teiler von $\begin{eqnarray*} x^k-1 \end{eqnarray*}$ ist. Dass solch ein Teiler aber auch in lauter verschiedene Linearfaktoren zerfällt, überlegst du dir zum Abschluss nun selbst.

13.09.2012, 20:19

Gast314

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Vielen lieben Dank für deine Geduld mit mir

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